2.4.1抛物线及其标准方程

2.4.1抛物线及其标准方程喷泉我们知道，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象是一条抛物线，而且还研究过它的顶点坐标、对称轴等问题。那么，抛物线到底有怎样的几何特征？它还有哪些几何性质？思考：复习回顾：我们知道,椭圆、双曲线有共同的几何特征：都可以看作是,在平面内与一个定点的距离和一条定直线(其中定点不在定直线上)的距离的比是常数e的点的轨迹.·MFl0＜e＜1(2)当e＞1时，是双曲线;(1)当0e1时,是椭圆;lF·Me＞1那么,当e=1时，它又是什么曲线？·FMl·e=1F如图，点是定点，是不经过点的定直线。是上任意一点，过点H作，线段FH的垂直平分线m交MH于点M，拖动点H，观察点M的轨迹，你能发现点M满足的几何条件吗？MHLLLHF提出问题：LMFH几何画板观察CM·Fl·e=1H在平面内,与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫抛物线.点F叫抛物线的焦点,直线l叫抛物线的准线d为M到l的距离准线焦点d一、抛物线的定义:即:若1MFd,则点M的轨迹是抛物线.那么如何建立坐标系,使抛物线的方程更简单,其标准方程形式怎样?解法一：以为轴，过点垂直于的直线为轴建立直角坐标系（如下图所示）,则定点设动点点，由抛物线定义得：LyFLx(,)Fpo(,)Mxyxypx22)(化简得：222(0)pxpyp.M(X,y).xyOFl二、抛物线标准方程的推导解法二：以定点为原点，过点垂直于的直线为轴建立直角坐标系（如下图所示），则定点，的方程为FFLx(0,0)FLxp设动点，由抛物线定义得(,)Mxy22yxxp化简得：222(0)pxpyp二、标准方程的推导l解法三：以过F且垂直于l的直线为x轴,垂足为K.以F,K的中点O为坐标原点建立直角坐标系xoy.22()||22ppxyx两边平方,整理得xKyoM(x,y)F二、标准方程的推导设(,)Mxy,FKp,则焦点(,0)2pF,准线:2plx依题意得22(0)ypxp这就是所求的轨迹方程.三、抛物线的标准方程把方程y2=2px(p＞0)叫做抛物线的标准方程.其中p为正常数,表示焦点在x轴正半轴上.p的几何意义是:焦点坐标是(,,0)2p2px准线方程为:想一想:坐标系的建立还有没有其它方案也会使抛物线方程的形式简单？﹒yxo方案(1)﹒yxo方案(2)﹒yxo方案(3)﹒yxo方案(4)焦点到准线的距离，简称焦准距y2=-2px(p0)x2=2py(p0)准线方程焦点坐标标准方程图形xFOylxFOylxFOylxFOyly2=2px(p0))0,2p(2px)0,2p(2px)2p0(，2pyx2=-2py(p0))2p0(，2py方程的特点:(1)左边是二次式,(2)右边是一次式;决定了焦点的位置.四．四种抛物线的对比思考：二次函数的图象为什么是抛物线？2(0)yaxa221(0)yaxaxya110)44aa焦点（，准线y=-当a0时与当a0时，结论都为：12payxoy=ax2+bx+cy=ax2+cy=ax2例1（1）已知抛物线的标准方程是y2=6x，求它的焦点坐标及准线方程（2）已知抛物线的焦点坐标是F（0，－2），求抛物线的标准方程（3）已知抛物线的准线方程为x=1，求抛物线的标准方程（4）求过点A（3，2）的抛物线的标准方程焦点F(,0)32准线：x=－32x2=－8yy2=－4xy2=x或x2=y4392课堂练习：1、根据下列条件，写出抛物线的标准方程：（1）焦点是F（3，0）；（2）准线方程是x=；14（3）焦点到准线的距离是2。y2=12xy2=xy2=4x、y2=-4x、x2=4y或x2=-4y2、求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：(1)y2=20x(2)x2=y(3)2y2+5x=0(4)x2+8y=012焦点坐标准线方程(1)(2)(3)(4)（5，0）x=-5（0，—）18y=-—188x=—5（-—，0）58（0，-2）y=2y2=-2px(p0)x2=2py(p0)准线方程焦点坐标标准方程图形xFOylxFOylxFOylxFOyly2=2px(p0))0,2p(2px)0,2p(2px)2p0(，2pyx2=-2py(p0))2p0(，2py方程的特点:(1)左边是二次式,(2)右边是一次式;决定了焦点的位置.四．四种抛物线的对比例2：一种卫星接收天线的轴截面如下图所示。卫星波束呈近似平行状态射入轴截面为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处。已知接收天线的径口（直径）为4.8m，深度为0.5m。建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程和焦点坐标。yxBFAo.例3：点M与点F（4,0）的距离比它到直线l:x+5=0的距离小1，求点M的轨迹方程。yxFo.x=-5x=-4.MHG(4,0)题型二：利用抛物线的定义求点的轨迹方程例4：已知抛物线y2=2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A（3，2），求|PA|+|PF|的最小值，并求出取最小值时P点的坐标yxFo..PA(3,2).题型三：抛物线应用于求最值问题