7第七章-电容元件和电感元件

第七章电容元件和电感元件前几章讨论了电阻电路，即由独立电源和电阻、受控源、理想变压器等电阻元件构成的电路。描述这类电路电压电流约束关系的电路方程是代数方程。但在实际电路的分析中，往往还需要采用电容元件和电感元件去建立电路模型。这些元件的电压电流关系涉及到电压电流对时间的微分或积分，称为动态元件。含动态元件的电路称为动态电路，描述动态电路的方程是微分方程。本章先介绍两种储能元件—电容元件和电感元件。再介绍简单动态电路微分方程的建立。以后两章讨论一阶电路和二阶电路的时域分析，最后一章讨论线性时不变动态电路的频域分析。常用的几种电容器§7－1电容元件一、电容元件集总参数电路中与电场有关的物理过程集中在电容元件中进行，电容元件是构成各种电容器的电路模型所必需的一种理想电路元件。电容元件的定义是：如果一个二端元件在任一时刻，其电荷与电压之间的关系由u-q平面上一条曲线所确定，则称此二端元件为电容元件。图7-1(a)电容元件的符号(c)线性时不变电容元件的符号(b)电容元件的特性曲线(d)线性时不变电容元件的特性曲线电容元件的符号和特性曲线如图7-1(a)和(b)所示。其特性曲线是通过坐标原点一条直线的电容元件称为线性电容元件，否则称为非线性电容元件。图7-1线性时不变电容元件的符号与特性曲线如图(c)和(d)所示，它的特性曲线是一条通过原点不随时间变化的直线，其数学表达式为)17(Cuq式中的系数C为常量，与直线的斜率成正比，称为电容，单位是法[拉],用F表示。图7-1实际电路中使用的电容器类型很多，电容的范围变化很大，大多数电容器漏电很小，在工作电压低的情况下，可以用一个电容作为它的电路模型。当其漏电不能忽略时，则需要用一个电阻与电容的并联作为它的电路模型。在工作频率很高的情况下，还需要增加一个电感来构成电容器的电路模型，如图7-2所示。图7-2电容器的几种电路模型二、电容元件的电压电流关系对于线性时不变电容元件来说，在采用电压电流关联参考方向的情况下，可以得到以下关系式)27(ddd)(ddd)(tuCtCutqti此式表明电容中的电流与其电压对时间的变化率成正比，它与电阻元件的电压电流之间存在确定的约束关系不同，电容电流与此时刻电压的数值之间并没有确定的约束关系。在直流电源激励的电路模型中，当各电压电流均不随时间变化的情况下，电容元件相当于一个开路(i=0)。在已知电容电压u(t)的条件下，用式(6-2)容易求出其电流i(t)。例如已知C=1F电容上的电压为u(t)=10sin(5t)V，其波形如图7-3(a)所示，与电压参考方向关联的电容电流为A)5cos(50A)5cos(1050d)]5sin(10[d10dd)(66tttttuCti图7-3例7-1已知C=0.5F电容上的电压波形如图7-4(a)所示，试求电压电流采用关联参考方向时的电流iC(t),并画出波形图。图7－4例7－1A1=A101d)2(d105.0dd)(66CCtttuCti2.当1st3s时，uC(t)=4-2t，根据式7－2可以得到A1A101d)24(d105.0dd)(66CCtttuCti1.当0t1s时，uC(t)=2t，根据式7－2可以得到解：根据图7－4(a)波形，按照时间分段来进行计算图7－4例7－13.当3st5s时，uC(t)=-8+2t，根据式7－2可以得到A1A101d)28(d105.0dd)(66CCtttuCti4.当5st时，uC(t)=12-2t，根据式7－2可以得到A1A101d)212(d105.0dd)(66CCtttuCti图7－4例7－1根据以上计算结果，画出图7－4(b)所示的矩形波形。在已知电容电流iC(t)的条件下，其电压uC(t)为)37(d)(1)0(d)(1d)(1d)(1)(0CC00CCCCtttiCuiCiCiCtu其中0CCd)(1)0(iCu称为电容电压的初始值,它是从t=-∞到t=0时间范围内流过电容的电流在电容上积累电荷所产生的电压。式(7－3)表示t0某时刻电容电压uc(t)等于电容电压的初始值uc(0)加上t=0到t时刻范围内电容电流在电容上积累电荷所产生电压之和，就端口特性而言，等效为一个直流电压源uc(0)和一个初始电压为零的电容的串联如图7－5所示。)37(d)(1)0(d)(1d)(1d)(1)(0CC00CCCCtttiCuiCiCiCtu图7－5从上式可以看出电容具有两个基本的性质(1)电容电压的记忆性。从式（7－3）可见，任意时刻T电容电压的数值uC(T)，要由从-到时刻T之间的全部电流iC(t)来确定。也就是说，此时刻以前流过电容的任何电流对时刻T的电压都有一定的贡献。这与电阻元件的电压或电流仅仅取决于此时刻的电流或电压完全不同，我们说电容是一种记忆元件。)37(d)(1)0(d)(1d)(1d)(1)(0CC00CCCCtttiCuiCiCiCtu例7－2电路如图7－6(a)所示，已知电容电流波形如图7－6(b)所示，试求电容电压uC(t)，并画波形图。图7-6解：根据图(b)波形的情况，按照时间分段来进行计算1．当t0时，iC(t)=0，根据式7-3可以得到ttiCtu6CC0d0102d)(1)(2．当0t1s时，iC(t)=1A，根据式7-3可以得到V2)s1(s1220d10102)0(d)(1)(C066CCCutttuiCtutt时当图7-63．当1st3s时，iC(t)=0，根据式7－3可以得到V2)s3(s32V=0+V2d0102)1(d)(1)(C16CCCutuiCtutt时当4．当3st5s时，iC(t)=1A，根据式7－3可以得到6V=4V+V2)s5(s53)2(+2d10102)3(d)(1)(C366CCCuttuiCtutt时当5．当5st时，iC(t)=0，根据式7－3可以得到6V0+V6d0102)5(d)(1)(56CCCttuiCtu根据以上计算结果，可以画出电容电压的波形如图(c)所示，由此可见任意时刻电容电压的数值与此时刻以前的全部电容电流均有关系。例如，当1st3s时，电容电流iC(t)=0，但是电容电压并不等于零，电容上的2V电压是0t1s时间内电流作用的结果。图7-6图7－7(a)所示的峰值检波器电路，就是利用电容的记忆性，使输出电压波形[如图(b)中实线所示]保持输入电压uin(t)波形[如图(b)中虚线所示]中的峰值。图7－7峰值检波器电路的输入输出波形(2)电容电压的连续性从例7－2的计算结果可以看出，电容电流的波形是不连续的矩形波，而电容电压的波形是连续的。从这个平滑的电容电压波形可以看出电容电压是连续的一般性质。即电容电流在闭区间[t1,t2]有界时，电容电压在开区间(t1,t2)内是连续的。这可以从电容电压、电流的积分关系式中得到证明。将t=T和t=T+dt代入式(6－3)中，其中t1Tt2和t1T+dtt2得到)(0d)(1)()d(d0dCCC有界时当iiCTutTuutTTt当电容电流有界时，电容电压不能突变的性质，常用下式表示对于初始时刻t=0来说，上式表示为)46()0()0(CCuu)()(CCtutu利用电容电压的连续性，可以确定电路中开关发生作用后一瞬间的电容电压值，下面举例加以说明。例7－3图7－8所示电路的开关闭合已久，求开关在t=0时刻断开瞬间电容电压的初始值uC(0+)。解：开关闭合已久，各电压电流均为不随时间变化的恒定值，造成电容电流等于零，即0dd)(CCtuCti图7－8电容相当于开路。此时电容电压为S212C)0(URRRu当开关断开时，在电阻R2和R3不为零的情况下，电容电流为有限值，电容电压不能跃变，由此得到S212CC)0()0(URRRuu图7－8例7－4电路如图7－9所示。已知两个电容在开关闭合前一瞬间的电压分别为uC1(0-)=0V,uC2(0-)=6V，试求在开关闭合后一瞬间，电容电压uC1(0＋),uC2(0＋)。解：开关闭合后，两个电容并联，按照KVL的约束，两个电容电压必须相等，得到以下方程图7－9)0()0(C2C1uu再根据在开关闭合前后结点的总电荷相等的电荷守恒定律，可以得到以下方程)0()0()0()0(C22C11C22C11uCuCuCuC联立求解以上两个方程，代入数据后得到V3)0()0(C2C1uu两个电容的电压都发生了变化，uC1(t)由0V升高到3V，uC2(t)则由6V降低到3V。从物理上讲，这是因为电容C2上有3μC的电荷移动到C1上所形成的结果，由于电路中电阻为零，电荷的移动可以迅速完成而不需要时间，从而形成无穷大的电流，造成电容电压可以发生跃变。三、电容的储能在电压电流采用关联参考方向的情况下，电容的吸收功率为tuCtutitutpdd)()()()(由此式可以看出电容是一种储能元件，它在从初始时刻t0到任意时刻t时间内得到的能量为)]()([21dddd)(d)(),(022)()(0000tutuCuuCuuCpttWtututttt当C0时，W(t)不可能为负值，电容不可能放出多于它储存的能量，这说明电容是一种储能元件。由于电容电压确定了电容的储能状态，称电容电压为状态变量。从式(7－5)也可以理解为什么电容电压不能轻易跃变，这是因为电容电压的跃变要伴随电容储存能量的跃变，在电流有界的情况下，是不可能造成电场能量发生跃变和电容电压发生跃变的。)57()(21)(2CtuCtW若电容的初始储能为零，即u(t0)=0,则任意时刻储存在电容中的能量为)57()(21)(2CtuCtW此式说明某时刻电容的储能取决于该时刻电容的电压值，与电容的电流值无关。电容电压的绝对值增大时，电容储能增加；电容电压的绝对值减小时，电容储能减少。1.两个线性电容并联单口网络，就其端口特性而言，等效于一个线性电容，其等效电容的计算公式推导如下：tuCtuCCtuCtuCiiidddd)(dddd212121四、电容的串联和并联图7－10列出图7－10(a)的KCL方程，代入电容的电压电流关系，得到端口的电压电流关系其中6)(721CCC2.两个线性电容串联单口网络，就其端口特性而言，等效于一个线性电容，其等效电容的计算公式推导如下：列出图7－11(a)的KVL方程，代入电容的电压电流关系，得到端口的电压电流关系图7－11tttdiCdiCdiCtututu)(1)(1)(1)()()(2121其中21111CCC7)(72121－CCCCC由此求得常用的几种电感器§7－2电感元件如果一个二端元件在任一时刻，其磁通链与电流之间的关系由i－平面上一条曲线所确定，则称此二端元件为电感元件。电感元件的符号和特性曲线如图7－12(a)和(b)所示。(a)电感元件的符号(c)线性时不变电感元件的符号(b)电感元件的特性曲线(d)线性时不变电感的特性曲线图7-12一、电感元件其特性曲线是通过坐标原点一条直线的电感元件称为线性电感元件，否则称为非线性电感元件。线性时不变电感元件的符号与特性曲线如图(c)和(d)所示，它的特性曲线是一条通过原点不随时间变化的直线，其数学表达式为)97(Liψ式中的系数L为常量，与直线的斜率成正比，称为电感，单位是亨[利],用H表示。图7-12实际电路中使用的电感