动量守恒定律解题技巧

第1页共11页动量守恒定律解题技巧一、“寻”规、“导”矩学动量1、“寻”规：巧用“联想、对比”列图加深对动量定理的理解现行很多高中教材包括本书的编排次序是先学“动能定理”，再学“动量定理”。我们可以建立两者关系图谱（图1），增强对“动量定理”的认识。图中两竖表示“等于”，中间粗的一横表示“减号”，即分别反映两个式子：初末合合KKEESFW和初末合合PPtFI。两者在使用时程序大体相似，但要注意：前式中，“功”有正负，是标量式；后式中，冲量和初、末动量都会有正负区分，是矢量式，解题时要规定正方向。对于另一难点——动量守恒定律，则可以和机械能守恒定律的使用形成对比。例1：如图2，质量为0.4kg的A球，向右以20m/s的速度在水平面上与竖直墙壁碰撞，碰撞时平均冲力为100N，同时A还受到20N的摩擦阻力，碰撞时间为0.1s，求碰撞后A的速度。解析：A球的受力分析如图，设向左为正方向，有动量定理得：)-(-)(12mvmvtFF阻冲，所以smvtmFFv/10-12阻冲即碰后A球的速度大小为10m/s，过程量初状态（时刻）量末状态（时刻）量经历一段过程合外力的功初动能末动能一段位移合外力的冲量初动量末动量一段时间图1mgFNF冲F阻图2第2页共11页方向与碰前相反。2：“导”矩（即总结解题步骤）：巧学动量定理的解题步骤，做到不丢重力丢重力是使用动量定理时常见的错误。如果我们能够找出使用的规则，并按照一定的规矩和步骤解题，就可以减少错误。利用动量定理解题的一般步骤：a、选择恰当．．的物体或物体系作为研究对象；b、对研究对象进行受力分析（口诀：先重力、再弹力、再摩擦力、最后勿忘“电、磁、浮等其他力”），确定研究过程中各力的冲量；c、选定正方向，确定初、末状态的动量；d、根据动量定理列出方程，并统一到国际单位制中运算求出结果。例2：（95年·全国）一粒钢珠从静止状态开始自由下落,然后陷入泥潭中。若把在空中下落的过程称为过程Ⅰ,进入泥潭直到停住的过程称为过程Ⅱ,则()A、过程Ⅰ中钢珠动量的改变量等于重力的冲量；B、过程Ⅱ中阻力的冲量的大小等于过程Ⅰ中重力冲量的大小；C、过程Ⅱ中钢珠克服阻力所做的功等于过程Ⅰ与过程Ⅱ中钢珠所减少的重力势能之和；D、过程Ⅱ中损失的机械能等于过程Ⅰ中钢珠所增加的动能。解析：在过程Ⅰ中钢珠只受重力，重力的冲量等于钢珠动量改变量，选项A正确。同时，在过程Ⅰ中重力做功，钢珠重力势能减小，动能增加。在过程Ⅱ中钢珠除受阻力外，仍受重力，判断时最容易丢掉重力的冲量及重力的功。选项B、D就是犯了“丢重力”的错误。应该是过程Ⅱ中阻力冲量的大小等于过程Ⅰ和过程Ⅱ整个过程中重力的冲量；过程Ⅱ中损失的机械能等于过程Ⅰ中重力的冲量；过程Ⅱ中损失的机械能等于过程Ⅰ中钢珠增加的动能及过程Ⅱ中机械能（含重力势能）减少量之和。所以A、C正确第3页共11页二、巧用动量定理解释常见的两类物理现象由PtFΔ=Δ合，则tFΔΔΡ=合巧记推论：物体所受合外力等于它自身“动量变化率”。例3、玻璃杯从同一高度自由下落，掉落在硬质水泥板上易碎，掉落在松软地毯上不易碎，这是由于玻璃杯掉在松软地毯上：（）A、所受合外力的冲量较小B、动量的变化量较小C、动量的变化率较小D、地毯对杯子的作用力小于杯子对地毯的作用力解析：杯子从同一高度下落，与地面碰撞的瞬时速度、动量都是一定的。与地面相碰到刚静止时，不管玻璃杯是否破碎，动量的改变量都相等，由动量定理得：合外力的冲量也相等。可见A、B是错误的。由PtFΔ=Δ得，玻璃杯受到的合外力等于动量的变化率tFΔΔΡ=。玻璃杯掉在松软的地毯上，动量减小经历的时间tΔ较长，tΔΔΡ较小，玻璃杯受到的合力较小，玻璃杯就不易碎，故C选项正确。而杯子对地毯的作用力和地毯对杯子的作用力是一对相互作用力，应等值反向，所以D也错误。例4、小笔帽放在一小纸条上，快拉纸条，小笔帽不动，慢拉纸条，小笔帽动起来，这是为什么？解析：当缓慢拉动纸条时，小笔帽与纸条之间是静摩擦力，由于作用时间长，小笔帽获得的冲量较大，可以改变它的静止状态，从而带动小笔帽一起运动；在快拉时，尽管这是小笔帽与纸条之间因分离产生滑动摩擦力，但由于作用时间很短，小笔帽获得的冲量并不大，还未来得及改变其静止状态，纸条已抽出来了。小结：用动量定理解释现象一般分为两类：一类是物体的动量变化一定，此时力的作用时间越短，力就越大；时间越长，力就越小（如例3）；另一类是作用力第4页共11页一定，此时力的作用时间越长，动量变化越大；力的作用时间越短，动量变化越小（如例4，力的区别不大，但时间差别较大是本题的主要因素）。三、巧用动量定理解三类含“变”的问题1、巧解变力的冲量：变力的冲量在中学物理阶段不能用I=Ft求解，但是用动量定理可以用ΔΡ来间接的表示变力的冲量。例5：（1994年·上海）物体A和B用轻绳相连挂在轻质弹簧下静止不动，如图（甲）所示，A的质量为m，B的质量为M。当连接A、B的绳突然断开后，物体A上升经某一位置时的速度大小为v，这时物体B下落速度大小为u，如图（乙）所示。在这段时间里，弹簧的弹力对物体A的冲量为（）A．mvB．mv－MuC．mv＋MuD．mv＋mu解析：欲求在指定过程中弹簧弹力的冲量，思路有两条：一是从冲量概念入手计算，I=Ft，二是由动量定理通过动量的变化计算，即I=△p。由于弹簧的弹力是变力，时间又是未知量，故只能用动量定理求解。剪断细绳后，A上升，B自由下落，但A在上升过程中弹簧是一变力。若设这段时间为t，以向上为正方向，对A、B分别用动量定理有：对A：mvmgtIT-对B自由落体：gtu联立可得)+(=uvmIT2、巧解曲线运动的动量变化图3第5页共11页：做平抛运动的物体，每秒钟的速度变化量总是（）A、大小相等，方向相同B、大小不等，方向不同C、大小相等，方向不同D、大小不等，方向相同解析：曲线运动的特点是运动方向不断变化。根据平抛运动的定义，物体在运动过程中只受重力作用，又由动量定理0-Fmvmvtt合得：恒量即==ΔΔ=Δ=mmgtvvmPmgt，注意到各式为矢量关系，所以选择A。3、巧建“管道”模型，锁定目标，巧解流体类变质量问题：例7：设水的密度为ρ，水枪口的截面积为S，水从枪口喷出的速度为v,若水平直射到煤层后速度为零，则水对煤层的平均作用力的大小为多少？解析：此类问题的特点是，随着时间变化，作用的主体会不断变化，对象难以锁定，对应的质量难以表达计算，假设水从水枪口射出之后还沿着一个“管道”（我们自己假象出来的）冲到煤层上，取Δt时间内射到煤层的水的质量Δm为研究对象，这些水分布在截面积为S，长为tvl的“管道”内，则tSvρSlρVρmΔ===Δ，根据动量定理得：tSvρmvtFΔ=Δ=Δ2，即2=SvρF注：此类题还很多，本题中的水改为“气体”、“称米机”中的米、“陨石”等，四、动量守恒定律的“三适用”“三表达”——动量守恒的判断“三适用”——以下三种情况可用动量守恒定律解题第6页共11页、若系统不受外力或受外力之和为零，则系统的总动量守恒例8：如图4，一车厢长为L，质量为M，静止于光滑的水平面上，厢内有一质量为m的物体以初速0v向右运动，与车厢来回碰撞n次后静止于车厢中，这时车厢的速度为：A、0v，水平向右B、零C、mMmv+0D、mMmv0解析：当物体在车厢内运动及与车厢碰撞过程中，物体与车厢组成的系统所受外力有重力和支持力，合力为零，故系统总动量守恒。系统初动量为0mv，当物体静止在车厢中时，二者具有相同的速度，设为v则：vmMmv)+(=0，解得mMmvv+=0，选项C对。2、若系统所受外力之和不为零，则系统的总动量不守恒，但如果某一方向上的外力之和为零，则该方向上的动量守恒例9：如图5，将质量为m的铅球以大小为0v，与水平方向倾角为的初速度抛入一个装着沙子的总质量为M的静止的砂车中，砂车与地面的摩擦不计，球与砂车的共同速度为多少？解析：把铅球和砂车看成一个系统，系统在整个过程中不受水平方向的外力，则水平方向上的动量守恒，而在竖直方向上，当铅球落在砂车中时，地面与系统的支持力不等于系统的总重力，故系统在竖直方向上动量不守恒（另外，也可以从结果上来看：初始状态系统在竖直方向上有速度θvsin0，而最终整个系统只有水平方向的速度，由此也能得到系统竖直方向上动量不守恒）。设系统后来共同速度为v，则vMmθmv)+(=cos0，Mmθmvv+cos=0mv0图4Θ0v图5第7页共11页、若系统所受外力之和不为零，但是外力远小于内力，可以忽略不计，则物体相互作痛过程动量近似守恒。如碰撞、爆炸等。例10：质量为M的木块静止在水平面上，木块与地面间的动摩擦系数为μ，一颗质量为m的子弹水平射入木块后，木块沿水平面滑行s后停止，试求子弹射入木块前的速度0v。解析：子弹射入木块过程中，木块受地面的摩擦力为F，此力即为子弹与木块组成的系统所受的外力，不为零。但子弹与木块打击时，相互作用力F内F外，摩擦力可忽略不计，系统的动量近似守恒。设子弹射入木块后，子弹与木块的共同速度为v，由动量守恒定律得：vMmmv)+(=0……①此后，子弹和木块一起做匀减速直线运动，由动能定理得2)(210)(vMmgsMm……②由①②得：gsμmmMv2+=0“三表达”——动量守恒定律有三种常用的数学表达式1、系统的初动量等于末动量，即PP′=。例题中很多见，读者自己查看。2、若A、B两物体组成的系统在相互作用过程中动量守恒，则BAPPΔ=Δ（负号表示APΔ与BPΔ方向相反）例11：质量相等的三个小球a、b、c在光滑的水平面上以相同的速率运动，它们分别与原来静止的三个球A、B、C相碰（a与A，b与B，c与C）。碰后，a球第8页共11页继续沿原来的方向运动，b球静止不动，c球被弹回而反向运动，这时ABC三球中动量最大的是（）A、A球B、B球C、C球D、由于A、B、C三球质量未知，无法判定解析：三球在碰撞过程中动量都守恒，且a、b、c三球在碰撞过程中，动量变化的大小关系为：abcPPPΔΔΔ。由动量守恒定律知：CcBbAaPPPPPP,,，所以A、B、C三球在碰撞过程中动量变化的大小关系为ABCPPPΔΔΔ。由于A、B、C三球初动量都为零，所以碰后它们的动量大小关系为ABCPPP，故选项C正确。3、若A、B两物体相互作用过程中动量守恒，则BBAAxmxm=。但此表达式仅适用于系统总动量恒为零的情况（Ax、Bx分别为A、B在作用过程中的位移大小），或系统某方向上总动量恒为零的情况（此时的Ax、Bx分别为A、B在作用过程中，在该方向上的位移大小）。比如人船模型。五、构建基本物理模型——学好动量守恒的法宝：1、人船模型：特点：系统初始动量为零，你动我反动，你快我快，你慢我慢，你停我也停。从能量的角度看，当系统运动时，人体内化学能转化为系统动能。例15：如图6所示，在平静的水面上浮着一只质量为M、长度为L的船(船处于静止状态)，船的右端(B端)站着一个质量为m的人，当人从船的右端走到船的左端(A端)的过程中，怎样求船的位移SM的大小?(水的阻力不计)解析：研究人和船组成的系统，以水平向左的方向为正方向。设Mmvv、分别为人、船在某同一时刻的速度，则MABmMABSMSm图6第9页共11页由动量守恒定律，有0)(MmvMmv,即MmvMmv=经很短时间△t(在这很短的时间内，可认为人、船分别以大小为Mmvv、的速度分别向左、向右做匀速运动)，有tvMtmvMmΔ=Δ所以tvMtvmMm因为mmStv=Δ，MMStv=Δ所以MmSMmS=因为LSSMm=+所以船的位移大小为LMmmSM+=,人对地面的位移大小为LMmmSm+=有些书