建筑力学第2章平面力系

1建筑力学第二章平面力系教师：邹定祺•主要内容：平面汇交力系力对点的矩和力偶平面任意力系的合成与平衡•重点：力在直角坐标轴上的投影合力投影定理力矩、力偶平面任意力系的合成与平衡平衡方程的应用22.1平面汇交力系的合成与平衡平面汇交力系—所有的力的作用线都相交于一点的平面力系2.1.1平面汇交力系的合成与平衡的几何方法平面汇交力系的合成—力的多边形法；平面汇交力系的平衡—多边形闭合，最后一个力的终点与第一个力的起点相重合。FRF4F5F4F1F3F2F1F2F3FR=F1+F2+F3+F4FR=F1+F2+F3+F4+F5=03F12F1232.1.2平面汇交力系的合成与平衡的解析法1.力在直角坐标轴上的投影Fx=FcosαyFy=FcosβF=√Fx2+Fy2b2Bcosα=Fx/FFyFyβFcosβ=Fy/Fa2AαFxoa1FXb1x4注意：51、力的投影为代数量有正负号；2、在直角坐标系下，投影的绝对值等于分力的大小；3、若分力指向轴的正向，则投影为正，否则为负。Fx=FcosαFy=-FsinαF=√Fx2+Fy2tanα=FyFxFYxyoa′b′FXαFBAab2.合力投影定理CFR=F1+F2+F3+F4F2F3FRx=aeF1x=abBF2x=bcF3x=cdF1DF4x=-deAae=ab+bc+cd-deFREF4FRX=F1X+F2X+F3X+F4XabcedxFRX=F1X+F2X+…+FnX=∑FiX同理：FRy=F1y+F2y+…+Fny=∑Fiy63.平面汇交力系合成的解析法α为合力FR与x轴所夹的锐角，合力的指向由FRX、Fry的符号判定。RRXniiyniiX2Ry2RxRniiyRyniiXRXFFFFFFFFFFFcos2274.平面汇交力系平衡的解析条件由可得平面汇交力系的平衡方程：022niiyniiX2Ry2RxRFFFFF00niiyRyniiXRXFFFF8【例2-4】重量为W的重物，放在倾角为α的光滑斜面上，如下图所示，求保持重物平衡时需沿斜面方向所加的力F和重物对斜面的压力FN。【解】∑Fx=0Wsinα–F=0∑Fy=0-Wcosα+FN=0解得F=WsinαFN=Wcosα则，重物对斜面的压力FN’=Wcosα，指向与FN相反。9FWWFFNyxααo【例2-5】重W=20kN的重物被绞车匀速吊起，绞车的绳子绕过光滑的定滑轮A,，滑轮由不计重量的杆AB、AC支撑，A、B、C三点均为光滑铰链，可忽略滑轮A的尺寸。求杆AB、AC所受的力。【解】（1）首先检查有无二力杆注意到AB、AC都是二力杆，分别画出其受力图，它们的受力方向未知，假设两杆都受拉。10ABCW3412AABCFABF’ABFBAFACFCAF’ACFT2FT1yxA（2）取滑轮A为研究对象（分离体），因忽略滑轮的尺寸，把A看成一个点。（3）画受力图重物W通过绳索直接加在滑轮的一边，在其匀速上升时拉力FT1=W，而绳索又在滑轮的另一边施加同样大小的拉力，即FT1=FT2=W=20kN。AB、AC两杆作用在A上的反力也通过A点，如图所示,四个力交于一点，为平面汇交力系，取坐标轴Axy。（4）列平衡方程四个力中F’AB和F’AC未知，平面汇交力系有两个方程，可解。F’AB∥x轴，那么，在∑Fy=0的方程中F’AB在y轴上的投影为0，方程中就只有一个未知力F’AC，1112是受压班。因此杆，设方向与实际方向相反是负值，表示该力的假力解得解得ACFkNFFFFFkNFFFFFACABTACABxACTTACy6.41021134402.6302123430222221222222.2力对点之矩与平面力偶2.2.1力对点之矩—简称为：力矩在力的作用下，物体将发生移动和转动。力的转动效应用力矩来衡量，即力矩是衡量力转动效应的物理量。讨论力的转动效应时，主要关心力矩的大小与转动方向。131.定义力臂—某定点O到力F的作用线的垂直距离。矩心—该点O称为矩心。力对点之矩—力使物体绕某点转动效应的度量。其数值等于力的大小F与力臂d的乘积。其方向，规定：力使物体绕矩心逆时钟方向转动时力矩为正，反之为负。记为MO(F)=±Fd力矩的单位是N·m或kN·m。odF14力对点之矩的特点：1）力对点之矩，不仅取决于力的大小，还与矩心的位置有关，力矩随矩心的位置变化而变化。2）力对任一定点之矩，不因该力的作用点沿其作用线移动而改变。3）力的大小等于零或其作用线通过矩心时，力矩等于零。1516例求图中荷载对A、B两点之矩(a)(b)解：图（a）：MA=-8×2=-16kN·mMB=8×2=16kN·m图（b）：MA=-4×2×1=-8kN·mMB=4×2×1=8kN·mFR=4kN/m×2m2.合力矩定理平面汇交力系的合力对该平面上任一点之矩等于各个分力对该点之矩的代数和。反之，一个力对任一点的矩，可以分解为其各个分力对该点之矩的代数和。常用的是将一个力分解为互相垂直的两个力，其力矩等于这两个分力对该点之矩的代数和。)()()()()(121iniOnOOOROFMFMFMFMFM17力对某点的矩等于该力沿坐标轴的分力对同一点之矩的代数和。MO(F)=xFy-yFx18yxOyFxFFxyAB19例求图中力F对A点之矩解：将力F沿X方向和Y方向等效分解为两个分力，由合力矩定理得：AxxyyMFdFd由于dx=0，所以：220228.282AyyMFdkNm2.2.2力偶与力偶的性质1.力偶的概念力偶臂—大小相等、方向相反、F’作用线互相平行但不重d合的两个力所组成的力F系，称为力偶，记为（F,F’)。202.力偶矩力偶的作用效用是使物体发生转动。这个效用的度量称为力偶矩。力偶（F,F’)对平面内任意一点O之矩，可以看成力偶的两个力对O点之矩的和，即MO(F,F’)=MO(F)+MO(F’)=F·(x+d)-F’·x=FddF’Fx·o从上式，可以看出，力偶矩（力偶的转动效应）与x无关，即与矩心O的位置无关，只取决于力的大小和力偶臂的长短。21··故，力偶矩等于力偶的任一力的大小与力偶臂的乘积，用M(F,F’）或M表示，即M=M(F,F’)=±Fd其转向，使物体逆时钟方向转动为正，反之为负。力偶的单位和力矩的单位相同。为N.m或kN.m。力偶的三要素：力偶矩的大小、力偶作用面在空间的方位和力偶在作用面内的转向。223.力偶的性质1）力偶与力一样，是一种基本力学量：一个力偶中的两个力F与F’在任意坐标轴上的投影的代数和等于零，因此不存在合力，不能用一个力与之等效，且其作用线不在同一条直线上，也不是平衡力。即力偶对物体只有转动效应，没有移动效应。力偶是一种不可能再简化的力系，它与力一样，是一种基本力学量。不能用力与力偶平衡，力偶只能用力偶来平衡。2）平面力偶的等效定理：同一平面内的两个力偶的力偶矩若相等，那么它们对刚体的转动效应完全相等，两力偶彼此等效。由此可得出下面两个推论：23（1）只要保持力偶矩不变，力偶可以在其作用的平面内任意移动，而不会改变它对刚体的作用效应。（2）只要保持力偶的转向和力偶矩的大小不变，可将力偶中的力和力偶臂做相应的改变，而不会改变其对刚体的作用效应。因此，力偶可以用其力的大小和力偶臂的长短来表示，也可以用力偶矩来表示，如下图所示。30N40N60N0.08m=0.06m=0.04m=M=2.4N·m30N40N60N242.2.3平面力偶系的合成..M1F2’F1’FR’.=d=d.M2F2FR.F1F1=F1’=M1/dF2=F2’=M2/dM=FR·d=(F1-F2)d=M1+M2M=M1+M2+…+Mn=∑Mi2.2.4平面力偶系的平衡01niiMM25【例2-8】如图所示三铰拱，其左半部AC上作用一力偶，其力偶矩为M。求铰A和B处的反力。BC为二力杆。FA和FB应组成一力偶才能与M平衡，故FA=-FB力偶臂d=2acos45o∑Mi=0FA·2acos45o-M=0Fa=FB=M√2/2a26FBFBMMAABBBFCBCFACCaaad.27力矩是力使物体绕某点转动效应的度量力偶矩是力偶使物体转动效应的度量二者相同点：单位统一,符号规定统一二者主要区别：力矩随矩心位置的不同而变化。力偶使物体转动的效果与所选矩心的位置无关,它完全由力偶矩这个代数量唯一确定。力矩与力偶的比较P42：习题：2-1,2-2,2-3,2-4,2-5282.3平面任意力系的合成与平衡2.3.1力的平移定理.yyFByFB.BBdBM.AFAF’BAFAA..0x0x0xFA=FB=-F’BM=FA·d=MB(FA).作用在刚体上点A的力，可以将其平移到刚体上任一点B，但必须同时附加一个力偶，这力偶的矩等于原力对新作用点B的矩。29力的等效平移的几个性质：1、当力平移时，力的大小、方向都不改变，但附加力偶的矩的大小与正负一般要随指定O点的位置的不同而不同。2、力平移的过程是可逆的，即作用在同一平面内的一个力和一个力偶，总可以归纳为一个和原力大小相等的平行力。3、力平移定理是把刚体上平面任意力系分解为一个平面共点力系和一个平面力偶系的依据。302.3.2平面任意力系向作用面内任一点的简化力系向任意一点O的简化应用力的等效平移定理，将平面一般力系中的各个力（以三个力为例）全部平行移到作用面内某一给定点O。从而这力系被分解为一个平面汇交力系和一个平面力偶系。这种等效变换的方法称为力系向给定点O的简化。点O称为简化中心。31平面任意力系向作用面内任一点的简化可得一主矢与一主矩yy.yF1FR’M0(F1)F1’.0x0x0M0xF2F2M0(F3)M0(F2).F3F3’F2’汇交力系F1、F2、F3的合成结果为一作用在点O的力FR。这个力矢FR称为原平面任意力系主矢。附加力偶系的合成结果是一个作用在同一平面内的力偶M，称为原平面任意力系对简化中心O的主矩。32主矢FR’=F1+F2+…+Fn=∑Fi主矩M0=M0(F1)+M0(F2)+…+M0(Fn)=∑M0(Fi)注意：主矢的大小和方向与简化中心的位置无关主矩大小与转向与简化中心的位置有关。33为了求出平面任意力系的主矢的大小和方向，可应用解析法。通过0点取坐标系xoy，应用合力投影定理，则有RRXniiyniiX2Ry2RxRniiyRyniiXRXFFFFFFFFFFFcos222121nyyynxXXFFFFFF342.3.3平面任意力系简化结果得讨论分析（1）FR’=0,M0=0—平衡（2）FR’=0,M0≠0—主矩(合力偶）（3）FR’≠0,M0=0—主矢（合力）（4）FR’≠0,M0≠0FR’≠0,M0=0—主矢..FR’FR’FRFR.M0.==.00d0’00’.FR’’.d=M0/FR’352.3.4平面任意力系的平衡条件和平衡方程由FR’=0,M0=0可表达为：(1)一矩式：∑Fix=0∑Fiy=0∑MB(Fi)=0(2)二矩式∑Fix=0式中矩心A、B两点∑MA(Fi)=0的连线不能与x轴∑MB(Fi)=0垂直。(3)三矩式∑MA(Fi)=0式中三个矩心A、∑MB(Fi)=0B、C不能在一条∑MC(Fi)=0直线上。36【例2-11】如图所示的平面梁。梁上受最大集度为q的分布荷载，并在B端受一集中力F。求A端的约束反力。【解】（1）取分离体，以AB为研究对象。（2）画受力图。AB上的主动力有集中力F和一个三角形分布荷载，三角形分布荷载可以合成为一个合力F1，其大小为F1=qL/2,方向与分布力相同，作用点在距A点L/3处。A端为固定端，约束反力为Fax,Fay,MA。37qαLFABαFLABxyFAYFAXMAL/3F1（3）建立图示坐标系，列平衡方程。∑Fix=0,FAx-Fsinα=0∑Fiy=0