平面向量的线性运算---平面向量的加减法

温故知新零向量长度等于的向量，记作单位向量长度等于的向量平行向量(共线向量)方向的非零向量.向量a，b平行，记作.规定：零向量与任一向量相等向量长度且方向的向量.向量a，b相等，记作零01个单位相同或相反a∥b平行相等相同a＝b平面向量的线性运算——向量的加法运算台北香港上海从运动的合成看向量运算•在大陆和台湾没有直航之前，台湾同胞要到上海探亲，得乘飞机要先从台北到香港，再从香港到上海，那么这两次位移之和是什么？ABC位移ABBCAC+=创设情境兴趣导入王涛同学从家中（A处）出发，向正南方向行走500m到达超市（B处），买了文具后，又沿着北偏东60°角方向行走200m到达学校（C处）（如总效果是从家（A处）到达了学AC500m200m.ACABBCACABBC位移叫做位移与位移的和，记作图）．王涛同学这两次位移的校（C处）．FEOOEF1+F2=F从力的合成看向量运算•橡皮条在力F1与F2的作用下，从E点伸长到了O点；同时橡皮条在力F的作用下也从E点伸长到了O点.•问:合力F与力F1、F2有怎样的关系？FF是以F1与F2为邻边所形成的平行四边形的对角线ABC向量的加法运算•运动的合成•力的合成ABBCAC+=F1F2FF1+F2=F数的加法启发我们，从运算的角度看，AC可以认为是AB与BC的和，F可以认为是F1与F2的和，即位移、力的合成可以看作向量的加法。•向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法•向量的加法法则：三角形法则、平行四边形法则动脑思考探索新知（1）a＋b与b＋a相等吗？请画出图来说明．（2）如果向量a和向量b共线，如何画出它们的和向量？动脑思考探索新知ACBaba+bab一般地，设向量a与向量b不共线，在平面上任取一点A叫做向量a与向量b的和，ABBC，，abAC则向量依次作记作a＋b，即abABBCAC．（7．1）求向量的和的运算叫做向量的加法．上述求向量的和的方法叫做向量加法的三角形法则．动脑思考探索新知ADCB如图所示，ABCD为平行四边形，由于ADBC，根据三角形法则得ABADABBCAC．ABAC这说明，在平行四边形ABCD中，所表示的向量就是与AD的和．这种求和方法叫做向量加法的平行四边形法则．平行四边形法则不适用于共线向量，可以验证，向量的加法具有以下的性质：(1)a＋0=0＋a=a；a＋（−a）=0；(2)a＋b=b＋a；(3)（a＋b）＋c=a＋（b＋c）．abo·ABC力的合成可以看作向量加法的平行四边形法则的物理模型baba求作向量已知向量,,CA·BbaACbBCaABA则向量作在平面内任取一点作法：,..21向量加法法则ababbaba位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型baOCbOBaOAO则向量作在平面内任取一点作法：,..21向量加法法则总结与拓展•向量加法的三角形法则:–1.将向量平移使得它们首尾相连–2.和向量即是第一个向量的首指向第二个向量的尾•向量加法的平行四边形法则:–1.将向量平移到同一起点–2.和向量即以它们作为邻边平行四边形的共起点的对角线•三角形法则推广为多边形法则：多个向量相加，如：ABBCCDDEEFAF，这时也必须“首尾相连”.探究一：当向量共线时，如何相加？ACab=+ABC(1)同向(2)反向ababABCACab=+aaa00规定：探究二：向量的加法是否具备交换律和结合律？•数的加法满足交换律与结合律，即对任意a，b∈R，有a+b=b+a，(a+b)+c=a+(b+c)•向量的加法具备吗？你能否画图解释？abba()abcabc(+)+向量加法满足交换律和结合律：以上两个运算律可以推广到任意多个向量.巩固知识典型例题例3一艘船以12km/h的速度航行，方向垂直于河岸，已知水流速度为5km/h，求该船的实际航行速度．ABDC速度，由向量加法的平行四边形法则，AD是船的实际航行速度，显然ACAB解如图所示，表示船速，为水流22ADABAC22125=13．512tanCAD利用计算器求得6723CAD即船的实际航行速度大小是13km/h，其方向与河岸线的夹角约6723．巩固知识典型例题例4用两条同样的绳子挂一个物体,设物体的重力为k，两条，求物体受到沿两条绳子的方向的拉力1f2f与的大小．绳子的方向与垂线的夹角为f1f2k1212cos，fffk12cos．kf解利用平行四边形法则，可以得到所以运用知识强化练习2ADOA1；　　．1ABBCCD　　　；2OBBCCA　　．计算：平面向量的线性运算——向量的减法运算预备知识：相反向量•类比实数的相反数的概率，定义相反向量：–与a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作-a;-a与a互为相反向量–规定：零向量的相反向量仍是零向量–所以:1、-(-a)=a；2、a+(-a)=(-a)+a=0；3、a=-b，b=-a，a+b=0•向量的减法：a-b=a+(-b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量向量减法法则•要点:1.平移到同一起点；2.指向被减向量.abb)(babaabABOababbaabABOab.,,,baBAbOBaOAO则作点作法：在平面内任取一探究三：当向量共线时，如何相减？(1)同向(2)反向bababababa探究四：平行四边形法则的两条对角线ADCBabbaABADBDbaAC动脑思考探索新知根据例题4的分析，判断在单杠上悬挂身体时，两臂成什么角度时，双臂受力最小？运用知识强化练习2ADOA1；　　．1ABBCCD　　　；2OBBCCA　　．计算：动脑思考探索新知与数的运算相类似，可以将向量a与向量b的负向量的和定义为向量a与向量b的差．即a−b=a＋(−b)．()=OAOBOAOBOABOBOOABA．即OAOBBA．（7．2）观察图可以得到：起点相同的个向量，其起点是减向量b的终点，两个向量a、b，其差a−b仍然是一终点是被减向量a的终点．aAa－bBbO设a，b，则OAOBa巩固知识典型例题例5已知如图所示向量a、b，请画出向量a−b．BbOAba解如图所示，以平面上任一点OOB=b，连接BA，OA=a，为起点，作BA为所求，即则向量BA=a−b．运用知识强化练习2DBAC1；　　．1ABAD　　　；2BCBA　　　．计算：创设情境兴趣导入3OCaaaaOABC3a是一个向量，其方向与a的方向相同,其模是a的模的3倍，即|3a|=3|a|．观察下图可以看出向量与向量a共线，并且OCa动脑思考探索新知一般地，实数与向量a的积是一个向量，记作a，它的模为||||||aa（7．3）∥．abab（7．4）由上面定义可以得到，对于非零向量a、b，当时，有0||a若0，则当时,a的方向与a的方向相同，当0时，a的方向与a的方向相反．0动脑思考探索新知一般地，有0a=0,λ0=0．数与向量的乘法运算叫做向量的数乘运算，容易验证，对于、，向量数乘运算满足如下的法则：任意向量a,b及任意实数111aaaa　　，　；2aaa　　；3aaa　　；abab４　．向量加法及数乘运算在形式上与实数的有关运算规律相类似，因此，实数运算中的去括号、移项、合并同类项等变形，可直接应用于向量的运算中．但是，要注意向量的运算与数的运算的意义是不同的．请画出图形来，分别验证这些法则．巩固知识典型例题AB例6在平行四边形ABCD中，O为两对角线交点如图，＝a，AOOD．AD＝b，试用a,b表示向量、解AC＝a＋b，BD＝b−a，因为O分别为AC，BD的中点，所以1122AOAC1212（a＋b）＝a＋b，1122ODBD1212（b−a）＝a＋b，1212a＋b和1212a＋b都叫做向量a，b的线性组合，或者说，AOOD、可以用向量a，b线性表示．巩固知识典型例题，一般地，a＋b叫做a,b的一个线性组合（其中均为实数），如果l＝a＋b，则称l可以用a，b线性表示．向量的加法、减法、数乘运算都叫做向量的线性运算．运用知识强化练习计算：（1）3(a−2b)−2(2a＋b)；（2）3a−2(3a−4b)＋3(a−b)．（1）−a−8b；（2）5b．当一种量既有大小，又有方向，例如力、速度、位移等，这种量叫做向量（矢量）向量的大小叫做向量的模．向量a,的模依次记作，．向量a与向量b的模相等并且方向相同时，称向量a与向量b相等，记作a=b．ABaAB向量、向量的模、向量相等是如何定义的？自我反思目标检测作业读书部分：阅读教材相关章节实践调查：试着用向量的观点解释书面作业：教材习题７.1Ａ组（必做）生活中的一些问题．教材习题７.1Ｂ组（选做）继续探索活动探究