一次函数与二元一次方程组

一次函数与二元一次方程组探索发现（1）从形式上看，二元一次方程2x－y－3=0与一次函数有什么关系？二元一次方程2x－y－3=0可以写成一次函数的形式；反过来，一次函数y=2x－3可以写成二元一次方程的形式。y=2x－32x－y－3=0移项由上可知，1、二元一次方程与一次函数有什么关系？一一对应2、二元一次方程与一次函数可通过互相转化把下列二元一次方程写成y=kx＋b的形式：（1）3x＋y=7(2)3x＋4y=13（2）从图形的角度，二元一次方程2x－y－3=0与一次函数有什么关系？654321642yxoP（4，5）y=2x－3小明小丽你赞同小丽的说法吗?小明的说法呢?你认为应如何表述?(1)点P在一次函数y=2x－3图象上，那么它的坐标（4，5），即x=4是方程2x－y－3=0的解吗？y=5（2）x=2是二元一次方程2x－y－3=0的y=1解,那么以此解为坐标的点，即点（2，1）在函数图象上吗？探究学习一把二元一次方程y-x=1写成一次函数y=____________的形式1、你能找出方程的几组解吗?3、把以这几组解为坐标的点在坐标系上描出来，你发现了什么?x+12、画出一次函数y=x+1的图像4、在一次函数y=x+1的图像上点的坐标都是二元一次方程y-x=1的解吗？xy012345-1-2-3-4-512345-167y=x+1一般地,一次函数y=kx＋b图象上任意一点的坐标都是二元一次方程kx－y＋b=0的一个解;以二元一次kx－y＋b=0的解为坐标的点都在一次函数y=kx＋b的图象上。归纳归纳总结一二元一次方程的解与对应的一次函数图像上的点何关系？二元一次方程的解相应的一次函数的图像上的点（数）（形）议一议：问题1：（1）你会解二元一次方程组吗？它的解是什么？（2）在同一直角坐标系中，两个一次函数图象的位置有什么关系？有无交点？若有，交点坐标是什么？问题2：二元一次方程组的解与图象交点的坐标有关系吗？探究学习二解二元一次方程组解得x=0y=11、-x+y=1对应的一次函数为y=x+12、x+y=1对应的一次函数是y=-x+1-x+y=1x+y=1xy012345-1-2-3-4-512345-167y=x+1y=-x+1(0,1)x+y=1-x+y=1y=x+1y=-x+1(0,1)自变量为何值时，这两个一次函数的值相等？函数值是什么？3、在同一坐标系中画出y=-x+1和y=x+1的图像。两个一次函数关系式可以写成两个二元一次方程的形式.一次函数y=2x＋3和y=1/2x－3/2的图象,与相应的二元一次方程组如果有关系，请说明有怎样的关系？如果没有关系。请说明理由？一般地，如果两个一次函数的图象有一个交点，那么交点的坐标就是相应的二元一次方程组的一个解。参与讨论2x－y＋3=01/2x－y－3/2=0即2x－y＋3=0x－2y－3=0的解有关系吗?一次函数与二元一次方程可以相互转化，从形式到内容它们都是统一的。二元一次方程组的解与以这两个方程所对应的一次函数图象的交点坐标相对应。归纳总结二从数的角度看：从形的角度看：求二元一次方程组的解自变量为何值时，两个函数的值相等并求函数值求二元一次方程组的解是确定两条直线交点的坐标由此可得:二元一次方程组的图象解法：(1)写函数(2)作图象(3)找交点(4)下结论2x+y=42x-3y=12能力提升：用图象法解方程组①②解：由①得:42xy由②得:432xy作出图象：观察图象得：交点为(3,-2)∴方程组的解为x=3y=-2xoyy=-2x+4y=2/3x-4你能说一说用图像解二元一次方程组的一般步骤吗？写函数，作图象，找交点，下结论x-y=-12x+y=1练习：利用图象法解方程组：①②解：由①得:1xy作出图象：观察图象得：交点(0,-1)∴方程组的解为x=0y=-1y=-2x+4y=x+1由得:12xy②yOx1、以方程2x-y=1的解为坐标的点都在一次函数______的图像上。2、方程组的解是，由此可知一次函数与的图像必有一个交点，且交点坐标是。x-y=43x-y=16巩固练习y=2x-1x=6y=2y=x+4y=-3x+16(6，2)3、根据下列图象，你能说出它表示哪个方程组的解？这个解是什么？11xyoy=2x-1y=-3x+48642-2-4-6-8-10-5510yox52xyxyx-y=02x+y=5作出图象：观察图象得：交点(1.7,1.7)∴方程组的解为x=1.7y=1.7精确！图象法：你有哪些方法？解方程组代数法：x=5/3y=5/3∴方程组的解为用作图象的方法可以直观地获得问题的结果,但有时却难以准确.为了获得准确的结果,我们一般用代数方法.近似！思维拓展yox5x-2y=410x-4y=8探究学习三：1、利用图像解方程组(1)转化y=5/2x-2y=10/4x-2(2)画图y=5/2x-2y=10/4x-2这两条直线有怎样的位置关系？有多少个交点？结论：两直线重合，所以方程组有无数组解。x+y=-22x+2y=52、利用图像解方程组(1)转化y=-x-2y=-x+2.5yx0(2)画图y=-x-2y=-x+2.5（3）两条直线有什么位置关系？方程组解的情况怎样？结论：两直线平行，无交点，故方程组无解。归纳总结三：二元一次方程组a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2的解的情况有三种：1.当a1：a2≠b1：b2时，方程组有唯一解；2.当a1：a2=b1：b2=c1:c2时，有无穷多解；3.当a1：a2=b1：b2≠c1:c2时，无解。一次函数与二元一次方程(组)的关系(重点)1：如图2，已知函数y＝ax＋b和y＝kx的图象交于点P，则根据图象可得，关于x、y的二元一次方程组的解是yaxbykxx=-4y=-21．已知二元一次方程x＋y＝3与3x－y＝5有一组公共解x2y1，那么一次函数y＝3－x与y＝3x－5的图象的交点坐标为()BA．(1,2)C．(－1,2)B．(2,1)D．(－2,1)2．小亮用作图象的方法解二元一次方程组时，在同一直角坐标系内作出了相应的两个一次函数的图象l1、l2如图4，他解的这个方程组是()D图4点拨：由图象知，l1、l2的x的系数都应为负数，排除A、C.又l1、l2的交点为(2，－2)，代入验证可知只有D符合．A.22112yxyxB.221yxyxC.38132yxyxD.22112yxyx归纳：1、一般地，每个二元一次方程组都对应两个__________，于是也对应两条______．从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这个函数值是何值；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线______的坐标．2．活用方程组，解决函数问题二元一次方程组和一次函数的关系相当密切，灵活应用它们“数”和“形”的亲密合作关系，有助于我们解题．一次函数直线交点归纳总结:从形的角度看：求二元一次方程组的解是两条直线的交点坐标一次函数与二元一次方程组思路点拨：在两个一次函数图象交点处，自变量和对应的函数值同时满足两个函数的关系式，而两个一次函数的关系式就是方程组中的两个方程，所以交点的坐标就是方程组的解。据此，我们可以利用图象求某些方程组的解。两条直线的交点坐标就是方程组的解。例利用图象解方程组2x－y=5x＋y=143-4-4-3-2-1-3-2-1112234oyxy=－x＋1y=2x－5解：由2x－y=5,x＋y=1,得y=2x－5,y=－x＋1如右图,在同一直角坐标系中,画出一次函数y=2x－5和y=－x＋1的图象它们的交点坐标为P（2，－1）。所以原二元一次方程组的解为x=2y=－1(2,－1)P课堂练习1.函数y=2x－3的图象任意一点的坐标都一定满足二元一次方程是：____________2x－y=32.如右图，两条直线l1和l2的交点可以看作是哪个二元一次方程组的解？y-3-2-1-3-2-1113223oxl1l22x－y＋1=0x－y－1=0(－2,－3)(0,1)(1,0)3、某单位准备和一个个体车主或一国有出租车公司其中的一家签订月租车合同．设汽车每月行驶x千米，应付给个体车主的月费用是y1元，应付给国有出租车公司的月费用是y2元，y1、y2分别与x之间的函数关系图象(两条射线)如图5，观察图象回答下列问题：图5(1)每月行驶的路程在什么范围内时，租国有公司的车合算？(2)每月行驶的路程等于多少时，租两家车的费用相同？解：(1)每月行驶的路程少于1500km时，租国有公司的车合算．(2)每月行驶1500km时，租两家车的费用相同．例:老师为了教学，需要在家上网查资料。电信公司提供了两种上网收费方式：方式1：按上网时间以每分钟0.1元计费；方式2：月租费20元，再按上网时间以每分钟0.05元计费。请同学们帮老师选择：以何种方式上网更合算？oy/元x/分204002004030在同一坐标系中分别画出这两个函数的图像当x=400时,y1=y2当x＞400时,y1＞y2当0≤x＜400时,y1＜y2y1=0.1xy2=0.05x+20解：设上网时间为x分，若按方式1则收元；若按方式2则收元。y1=0.1xy2=0.05x+20由函数图像得：当时，y＞0，即选方式省钱；当时，y=0，即选方式A、B；当时，y＜0，即选方式省钱；400y=－0.05x+20200yx解法2：设上网时间为x分，方式B与方式A两种计费的差额为y元,则y随x变化的函数关系式为.化简得。在直角坐标系中画出这个函数的图像。y=(0.05x+20)－0.1xy=－0.05x+200≤x＜400X=400X＞400AB一样身边的数学：春节快到了，小明想给妈妈买件礼物，A、B两个商场为迎接春节特推出了优惠活动:A商场所有货品按八折出售；B商场购买5元的优惠卡后，所有商品按七折出售；小明如何选择商场购物更经济？在一元一次方程一章中，我们曾考虑过下面两种移动电话计费方式：方式一方式二月租费30元/月0本地通话费0.30元/分0.40元/分用函数方法解答如何选择计费方式更省钱方式一费用：y1=0.3x+30方式二费用：y2=0.4x两种计费差额为：y=y1－y2=－0.1x+30当x＜300分时，y＞0，y1＞y2，方式二省钱当x=300分时，y=0，y1=y2，方式一方式二一样当x＞300分时，y＜0，y1＜y2，方式一省钱300030xy