2007年高考.辽宁卷.文科数学试题及解答

2007年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）数学（供文科考生使用）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷（选择题共60分）参考公式：如果事件AB，互斥，那么球的表面积公式()()()PABPAPB24πSR如果事件AB，相互独立，那么其中R表示球的半径()()()PABPAPB球的体积公式如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么34π3VRn次独立重复试验中恰好发生k次的概率其中R表示球的半径()(1)kknknnPkCpp一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合{13}A，，{234}B，，，则AB（）A．{1}B．{2}C．{3}D．{1234}，，，2．若函数()yfx的反函数．．．图象过点(15)，，则函数()yfx的图象必过点（）A．(51)，B．(15)，C．(11)，D．(55)，3．双曲线221169xy的焦点坐标为（）A．(70)，，(70)，B．(07)，，(07)，C．(50)，，(50)，D．(05)，，(05)，4．若向量a与b不共线，0ab，且aac=abab，则向量a与c的夹角为（）A．0B．π6C．π3D．π25．设等差数列{}na的前n项和为nS，若39S，636S，则789aaa（）A．63B．45C．36D．276．若mn，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列命题中的真命题．．．是（）A．若m，，则mB．若m，m∥，则C．若，⊥，则D．若m，n，mn∥，则∥7．若函数()yfx的图象按向量a平移后，得到函数(1)2yfx的图象，则向量a=（）A．(12)，B．(12)，C．(12)，D．(12)，8．已知变量xy，满足约束条件20170xyxxy≤，≥，≤，则yx的取值范围是（）A．965，B．965，，C．36，，D．[36]，9．函数212log(56)yxx的单调增区间为（）A．52，B．(3)，C．52，D．(2)，10．一个坛子里有编号为1，2，…，12的12个大小相同的球，其中1到6号球是红球，其余的是黑球．若从中任取两个球，则取到的都是红球，且至少有1个球的号码是偶数的概率为（）A．122B．111C．322D．21111．设pq，是两个命题：251:||30:066pxqxx，，则p是q的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件12．将数字1，2，3，4，5，6拼成一列，记第i个数为i(i126)a，，，，若11a，33a，55a，135aaa，则不同的排列方法种数为（）A．18B．30C．36D．48第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．13．已知函数()yfx为奇函数，若(3)(2)1ff，则(2)(3)ff．14．41()xxx展开式中含x的整数次幂的项的系数之和为（用数字作答）．15．若一个底面边长为62，棱长为6的正六棱柱的所有顶点都在一个球的面上，则此球的体积为．16．设椭圆2212516xy上一点P到左准线的距离为10，F是该椭圆的左焦点，若点M满足1()2OMOPOF，则||OM．三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）某公司在过去几年内使用某种型号的灯管1000支，该公司对这些灯管的使用寿命（单位：小时）进行了统计，统计结果如下表所示：分组[500，900)[900，1100)[1100，1300)[1300，1500)[1500，1700)[1700，1900)[1900，)频数4812120822319316542频率（I）将各组的频率填入表中；（II）根据上述统计结果，计算灯管使用寿命不足1500小时的频率；（III）该公司某办公室新安装了这种型号的灯管3支，若将上述频率作为概率，试求至少有2支灯管的使用寿命不足1500小时的概率．18．（本小题满分12分）如图，在直三棱柱111ABCABC中，90ACB，ACBCa，DE，分别为棱ABBC，的中点，M为棱1AA上的点，二面角MDEA为30．（I）证明：111ABCD；（II）求MA的长，并求点C到平面MDE的距离．19．（本小题满分12分）已知函数2ππ()sinsin2cos662xfxxxxR，（其中0）（I）求函数()fx的值域；（II）若函数()yfx的图象与直线1y的两个相邻交点间的距离为π2，求函数()yfx的单调增区间．20．（本小题满分12分）已知数列{}na，{}nb满足12a，11b，且11113114413144nnnnnnaabbab（2n≥）（I）令nnncab，求数列{}nc的通项公式；（II）求数列{}na的通项公式及前n项和公式nS．1A1C1BCBAMDE21．（本小题满分14分）已知正三角形OAB的三个顶点都在抛物线22yx上，其中O为坐标原点，设圆C是OAB△的内接圆（点C为圆心）（I）求圆C的方程；（II）设圆M的方程为22(47cos)(7sin)1xy，过圆M上任意一点P分别作圆C的两条切线PEPF，，切点为EF，，求CECF，的最大值和最小值．22．（本小题满分12分）已知函数322()9cos48cos18sinfxxxx，()()gxfx，且对任意的实数t均有(1cos)0gt≥，(3sin)0gt≤．（I）求函数()fx的解析式；（II）若对任意的[266]m，，恒有2()11fxxmx≥，求x的取值范围．2007年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）数学（供文科考生使用）试题答案与评分参考说明：一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则。二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变试题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答较严重的错误，就不再给分。三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分。一、选择题：本在题考查基本知识和基本运算。每小题5分，满分60分。（1）C（2）A（3）C（4）D（5）B（6）B（7）C（8）A（9）D（10）D（11）A（12）B二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，共16分。（13）1（14）72（15）43n（16）2三、解答题（17）本小题主要考查频率、概率、总体分布的估计、独立重复试验等基础知识，考查运用统计的有关知识解决实际问题的能力，满分12分.（Ⅰ）解：分组［500，900］［900，1100］［1100，1300］［1300，1500］［1500，1700］［1700，1900］［1900，+∞］频数4812120822319316542频率0.0480.1210.2080.2230.1930.1650.042……4分（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可得0.048+0.121+0.208+0.223＝0.6，所以灯管使用寿命不是1500小时的频率为0.6.……8分（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知：1只灯管使用寿命不足1500小时的概率P=0.6.根据在n次独立重复试验中事件恰好发生k次的概率公式可得648.06.04.06.0)3()2(221131CPP。所以至少有2支灯管的使用寿命不足1500小时的概率是0.648.……12分（18）本小题主要考查空间中的线面关系、解三角形等基础知识，考查空间想象能力与思维能力。满分12分。（Ⅰ）证明：连结CD，∵三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱。∴CC1⊥平面ABC，∴CD为C1D在平面ABC内的射影，∵△ABC中，AC=BC，D为AB中点。∴AB⊥CD，∴AB⊥C1D，∵A1B1∥AB，∴A1B1⊥C1D。（Ⅱ）解法一：过点A作CE的平行线，交ED的延长线于F，连结MF.∵D、E分别为AB、BC的中点。∴DE∥AC。又∵AF∥CE，CE⊥AC，∴AF⊥DE。∵MA⊥平面ABC，∴AF为MF在平面ABC内的射影。∴MF⊥DE，∴∠MFA为二面角M-DE-A的平面角，∠MFA＝30°。在Rt△MAF中，AF＝30,221MFAaBC,∴AM=a63.作AC⊥MF，垂足为G。∵MF⊥DE,AF⊥DE,∴DE⊥平面AMF,∴平面MDE⊥平面AMF.∴AG⊥平面MDE在Rt△GAF中，∠GFA＝30°，AF=2a,∴AG=4a,即A到平面MDE的距离为4a。∵CA∥DE,∴CA∥平面MDE,∴C到平面MDE的距离与A到平面MDE的距离相等，为4a。解法二：过点A作CE的平行线，交ED的延长线于F，连结MF，∵D、E分别为AB、CB的中点，DE∥AC,又∵AF∥CE,CE⊥AC,∴AF⊥DE,∵MA⊥平面ABC,∴AF为MF在平面ABC内的射影，∴MF⊥DE,∴∠MFA为二面角M-DE-A的平面角，∠MFA＝30°。在Rt△MAF中，AF=21BC=30,2MFAa,∴AM=a63.……8分设C到平面MDE的距离为h。∵MOCCCDEMVV,∴hSMASMDECDE3131,aMAaDECESCDE63,8212,212330cos2121aAFDEMFCESMDE,haaa221233163831，∴h=4a，即C到平面MDE的距离为4a。……12分19.本小题主要考查三角函数公式，三角函数图象和性质等基础知识，考查综合运用三角函数有关知识的能力。满分12分。（Ⅰ）解：.1)6sin(cos21)cos21sin23(2)1(coscos21sin23cos21sin23)(xxxxxxxxf……5分由-1≤)6sin(cosx≤1，得-3≤1)6sin(cos2x≤1。可知函数)(xf的值域为［-3,1］.……7分（Ⅱ）解：由题设条件及三角函数图象和性质可知，)(xfy的周其为w，又由w＞0，得w2，即得w=2。于是有1)62sin(2)(xxf，再由Z)(226222kkk，解得Z)(36kkxk。所以)(xfy的单调增区间为［Z)(3,6kkk］（20）本小题主要考查等差数列、等比数列等基础知识，考查基本运算能力，满分12分。（Ⅰ）解：由题设得)2(2)(11nbabannnn，即（Ⅱ）解：由题设得)2)((2111nbabannnn，令nnnbad，则)2(211nddnn。易知{dn}是首项1nnba，公比为21的等比数列，通项公式为dn＝121n……8分由于121,12nnnnnbanba解得an＝2121nn。……10分求和得12212nnSnn。……12分（21）本小题主要考查平面向量，圆与抛物线的方程及几何性质等基本知识，考查综合运用解析几何知识解决问题的能力。满分14分。（Ⅰ）解法一：设A、B两点坐标分别为（121,2yy），（222,2yy），由题设知221222212222221221)()22()2()2(yyyyyyyy，