4-2-换元积分法

返回第二节换元积分法一、第一类换元法二、第二类换元法三、小结思考题返回问题1解决方法利用复合函数，设置中间变量.过程令1xu,dudxdxx1000)1(duu1000Cu100110011一、第一类换元法（凑微分法）凑微分?)1(3dxx?)1(1000dxx利用二项展开式.,计算量就很大若用二项展开式Cx1001)1(10011)1()1()1(10001000xdxdxxCx1001)1(100111x1x1x返回问题2xdx2cos,2sinCx解决方法利用复合函数，设置中间变量.过程令xu2,21dudxxdx2cosduucos21Cusin21.2sin21Cx一、第一类换元法（凑微分法）xxdxdx22cos212cos.2sin21Cx凑微分Cxxdxsincos×返回一.第一换元法（凑微分法）该定理可以写成凑微分法的形式：注定理1?)())((dxxxf,)()(CuFduuf若CxF))((可微，则)(xu)(duufCuF)(证明：dxxxf)())((可微)(xuCxF))(()())(()())((xdxfdxxxfCxF))((xxdxdx22cos212cos.2sin21Cx返回例1求.231dxx解dxx231)23(23121xdxduu121Culn21.23ln21Cxxu23令dxbaxf)()()(1baxdbaxfa（1）一、被积函数与基本积分公式相似，可直接凑微分.23ln21CxCbaxFa)(1返回例2求.122dxxa解dxxa221dxaxa222111axdaxa2111.arctan1Caxa（2）一、被积函数与基本积分公式相似，可直接凑微分)())(()())((xdxfdxxxfCxF))((返回例3求).0(122adxxa解dxxa221dxaxa2111axdax211.arcsinCax（3）一、被积函数与基本积分公式相似，可直接凑微分返回例4求.22dxxex解dxxfxnn)(111)(11nndxxfn（1）;2Cexdxxex2222dxex例2求.tandxx解xdxxfcos)(sinxdxfsin)(sin（2）xdxtanxdxxfsin)(cosxdxfcos)(cos或dxxxcossinxxdcoscosCxcosln二、利用被积函数因式直接凑微分返回例5求.)ln21(1dxxx解dxxx)ln21(1)(lnln211xdx)ln21(ln21121xdx.ln21ln21Cxxdxxf)(lnxdxfln)(ln（3）返回例6求.3dxxex解xdxxf)(xdxf)(2（4）Cex332dxxex3xdex32)3(323xdex返回例7求解.cossin52xdxxxdxx52cossin)(sincossin42xxdx)(sin)sin1(sin222xdxx)(sin)sinsin2(sin642xdxxx.sin71sin52sin31753Cxxx说明当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇次项去凑微分.xdxxnmcossin（1）的积分三、被积函数含有三角函数•m,n至少有一个是奇数返回例8求解.cos4xdxxdx4cosdxx222cos1dxxx)2cos2cos21(412xxx2sin21cossin,22cos1sin2xx,22cos1cos2xx先降幂再积分。dxxx)24cos12cos21(41dxxx)4cos212cos223(41Cxxx4sin3212sin4183xdxxnmcossin（2）的积分•m,n都是偶数返回例9求解.2cos3cosxdxx)],cos()[cos(21coscosBABABA),cos5(cos212cos3cosxxxxdxxxxdxx)cos5(cos212cos3cos.sin215sin101Cxx（3）bxdxaxbxdxaxbxdxaxbxdxaxsincoscossincoscossinsin或或或返回例10求解.122dxaxdxax221dxaxaxa)11(21dxaxdxaxa1121Caxaxalnln21（1）四、被积函数变形后，有因式可凑微分.ln21Caxaxa)(1)(121axdaxaxdaxa返回解2dxxsin1xdxcscdxxx2sinsin)(coscos112xdxxucosduu211Cuu11ln21Cxx1cos1cosln21duu112.cotcsclnCxx类似地可推出.tanseclnsecCxxxdx（2）例11求.cscxdx返回Ex:求.11)3(2arcsin41)2(.2581)1(222dxedxxxdxxxx返回Ex:求.25812dxxx解dxxx25812dxx9)4(12dxx13413122341341312xdx.34arctan31Cx返回Ex:求解.2arcsin412dxxxdxxx2arcsin41222arcsin2112xdxx)2(arcsin2arcsin1xdx.2arcsinlnCx返回Ex:求解.112dxexdxex211dxeexx)11(22)1(112122xxedex.)1ln(212Cexx返回发散思维——数学中的一题多解发散思维是一种求异式思维方式其解决问题的思路与方法是多渠道、多途径的。例如，求积分xedx21。【方法1】xedx21=Cexdxeeexxxx2212221ln11【方法2】xedx21=Ceeedeedxeeexxxxxxxx2221222212221ln1111【方法3】xedx21=Ceeeddxeexxxxx1ln11221222122【方法4】令duudxuxeux11,1ln,121212xedx21=CeeCuuduuuduuuxx22212121211ln1ln11111返回凑微分法的实质是把被积函数中的一部分“吸收”到积分变量之中，形成新的积分变量，从而使原被积式简单．dxxxf)())((CxF))((凑微分法)())((xdxf返回问题?12dxx解决方法改变中间变量的设置方法.过程令txsin,costdtdxdxx21tdttcossin12tdt2cos二、第二类换元法dtt22cos1tdtt22cos4121Ctt2sin4121返回其中)(x是)(tx的反函数.证设为的原函数,)(t)()]([ttf令)]([)(xxF则dxdtdtdxF)()()]([ttf)(1t设)(tx是单调的、可导的函数，dxxf)(则有换元公式并且0)(t，又设)()]([ttf具有原函数，定理2)(])()]([[xtdtttf第二类积分换元公式CxFdxxf)()(Cx)]([)()()]([)(xtdtttfdxxf)]([tf).(xf说明)(xF为)(xf的原函数,,)(Ct返回例1求解).0(22adxxataxsin令tdtadxcos原式tax22xa2,2tCttta)cossin(22tdtatdtata22coscoscosdtta)2cos1(22Ctta)2sin21(22axat22cos借助三角形，得可根据的函数换成为将,sin,cosaxtxt.21arcsin2222CxaxaxaCaxaaxaxa)(arcsin2222原式返回凑微分法的实质是把被积函数中的一部分“吸收”到积分变量之中，形成新的积分变量，从而使原被积式简单．dxxxf)())((CxF))((凑微分法)())((xdxf第二类积分换元公式)()()]([)(xtdtttfdxxf返回taxsintaxtantaxsec注意：1cossin22xx1tansec22xx换元法的目的：解决2201xa2202xa2203ax令第二类积分换元公式)()()]([)(xtdtttfdxxf返回例2求解).0(122adxax令taxtantdtadx2secdxax221tdtata2secsec1tdtsecCtttanseclntax22axCaaxax22ln2,2t.ln122Caxx返回例3求解).0(122adxax令taxsectdttadxtansecdxax221dttattatantansectdtsecCtttanseclntax22axCaaxax22ln.ln122Caxx返回说明当分母的阶较高时,可采用倒代换.1tx例4求dxxx)2(17令tx1,12dttdxdxxx)2(17dtttt27121dttt7621Ct|21|ln1417.||ln21|2|ln1417Cxx解7721)21(141ttd返回例5求dxxxa422令tx1,12dttdxdtttta2422111dtttta22122)1(解dxxxa4222t原式tdtta2122)1()1()1(212221222tadtaaCata223223)1(Cxaxa3223223)(返回基本积分表(2)xdxtan)16(xdxcot)17(xdxsec)18(xdxcsc)19(dxxa221)20(CxcoslnCxsinlnCxxtanseclnCxxcotcsclnCaxaarctan1返回dxxa221)22(dxax221)23(dxax221)21(dxax221)24(;ln21Caxaxa;arcsinCax.)ln(22Caxx.ln22Caxx返回解思考题设,cos)(sin22xxf)(xf求令xu2sin,1cos2ux,1)(uufduuuf1)(,212Cuu.21)(2Cxxxf返回Ex求解.1124dxxxdxxx1124令tx1,12dttdxdxttt