6.6-二阶常系数线性微分方程、欧拉方程

6.6二阶常系数线性微分方程与Euler方程在二阶线性微分方程)(xfyqypy非齐次线性微分方程。而称方程)()()(xfyxqyxpy为均为常数，则该方程变，如果)()(xqxp均为常数，、其中qp（6.49）则称（6.49）为二阶常系数0yqypy（6.50）为与方程（6.49）对应的齐次线性微分方程。6.6.1二阶常系数齐次线性微分方程形如)1(0yqypy)(常数。实为的方程，称为二阶常系数齐线性微分方程，qp、其中得的解，则代入方程后，假设方程有形如xey02，xxxeqepe即02。qp特征方程二阶常系数齐线性微分方程)1(0yqypy的特征方程为02。qp)121，则实根特征方程有两个不同的xxeyey2121，是方程(1)的两个线性无关的解，故方程(1)的通解为21212211。xxeCeCyCyCy二阶常系数齐线性微分方程)1(0yqypy的特征方程为02。qp)221，则实重根特征方程有)1(11的一个解。是方程此时，xey042，qp由求根公式22422,1，pqpp由刘维尔公式求另一个解：xeexeeeyxpxxxpxdd)()2(2d21111021pd11。xxexxe于是，当特征方程有重实根时，方程(1)的通解为)(2121111。xCCeexCeCyxxx二阶常系数齐线性微分方程)1(0yqypy的特征方程为02。qp3)特征方程有一对共轭复根：ii21，则，)i(2)i(121xxxxeeyeey，是方程(1)的两个线性无关的解，其通解为)i(2)i(12211。xxeCeCyCyCy利用欧拉公式去掉表达式中虚数单位i。欧拉公式：sinicosi。e)sini(cosi)i(1，xxeeeeyxxxx)sini(cosi)i(1。xxeeeeyxxxx由线性方程解的性质：cos)(21211，xeyyyxsin)(i21212xeyyyx均为方程(1)的解，且它们是线性无关的：0]sincos[。，xexeWxx故当特征方程有一对共轭复根ii21，时，原方程的通解可表示为)sincos(21。xCxCeyx二阶常系数齐线性微分方程0yqypy特征方程02。qp特征根通解形式)(21实根xxeCeCy2121)(21实重根)(211xCCeyx)(i2,1共轭复根)sincos(21xCxCeyx例解032的通解。求方程yyy0322，特征方程3121，，＝－特征根321。所求通解为xxeCeCy例解052的通解。求方程yyy0522，特征方程i21i2121，，特征根)2sin2cos(21。所求通解为xCxCeyx例解0dd2dd22满足初始条件的解：求方程ststs0122，特征方程121，特征根)(21。所求通解为tCCest2dd400。，tttss242dd42100，，得，由初始条件CCtsstt故所求特解为)24(。test例解的弹簧从静止状态用手将悬挂着的质量为m此时弹簧仅受到弹性恢复力f的作用。求反映此弹O0时，的位移为当点xx突然放手，开始拉长，簧运动的规律（设其弹性系数为k）。O0xx取x轴如如图所示。由力学的虎克定理，有。xkf（恢复力与运动方向相反）由牛顿第二定律，得dd22。xktxm（略）2，则有移项，并记mka)0(0dd222。，axatx它能正确描述我们的问题吗？0，则有初始条件：t记拉长后，突然放手的时刻为00，初始位移xxt0dd0。初始速度ttx我们要找的规律是下列初值问题的解：0dd222，xatx00，xxt。0dd0ttx0dd222，xatx00，xxt。0dd0ttx022，特征方程ai2,1，特征根asincos21。所求通解为taCtaCy0100；，得由xCxxt00)cossin(dd220210。，得＝由CaCtaaCtaaCtxtt从而，所求运动规律为)(cos0。，mkataxx简谐振动n阶常系数齐线性微分方程形如)1(01)1(1)(ypypypynnnn)(常数。实为的方程，称为n阶常系数齐线性微分方程，,,1npp其中n阶常系数齐线性微分方程的特征方程为单实根xCe1项实重根k)(121kkxxCxCCek项一对共轭复根)sincos(221xCxCex项0111nnnnpppi2,1重复根一对共轭ki2,12项kcos)[(121xxCxCCekkx]sin)(121xxDxDDkk特征根通解中的对应项例解0dd3dd3dd2233的通解。求方程yxyxyxy013323，特征方程1321，特征根)(2321。所求通解为xCxCCeyx例6.50求下列方程的通解：032065144.)(;)()()(yyyyyy解,065)1(234rrr特征方程为0162,))((rrr即得特征值为.1,6,04321rrrr得特征值为故原方程的通解为.46321xxececxccy012224,)(rr特征方程为012,)(r即得特征值为.,4321irrirr4321xxcxxcxcxcysincossincos故原方程的通解为.sin)(cos)(4231xxccxxccy6.6.2二阶常系数非齐线性微分方程形如)2()(xfyqypy)(常数。实为的方程，称为二阶常系数非齐线性微分方程，qp、其中它对应的齐方程为)1(0。yqypy我们只讨论函数f(x)的几种简单情形下，(2)的特解。)2()(xfyqypy)1(0。yqypy)()(.1的情形xPexfnx)(1110。其中nnnnnaxaxaxaxP方程(2)对应的齐方程(1)的特征方程及特征根为02；特征方程qp21。，特征根单根二重根一对共轭复根你认为方程应该有什么样子的特解？假设方程)2()(xPeyqypynx有下列形式的特解：)(，xueyx则，ueueyxx22，ueueueyxxx代入方程(2)，得)(])()2([2，xPeuqpupuenxx即)3()()()2(2。xPuqpupun方程(3)的系数与方程(2)的特征根有关。)2()(xPeyqypynx)3()()()2(2。xPuqpupun)1(不是特征根，则若02，qp由方程(3)及多项式求导的特点可知，应有)()(1110，nnnnnbxbxbxbxQxu)2()()(的特征根时，不是方程中的故当xPexfnx方程(2)有下列形式的特解:)(*。xQeynx)(xueyx)2(是单特征根，则若02，qp由多项式求导的特点可知，应有)()()(1110，nnnnnbxbxbxbxxQxxu)2()()(的单特征根时，是方程中的故当xPexfnx方程(2)有下列形式的特解:)(*。xQexynx)3(022为。此时，方程，即而pp)()2(。xPupun)(xueyx)2()(xPeyqypynx)3()()()2(2。xPuqpupun)3(是二重特征根，则若02，qp由多项式求导的特点可知，应有)()()(111022，nnnnnbxbxbxbxxQxxu)2()()(的二重特征根时，是方程中的故当xPexfnx方程(2)有下列形式的特解:)(*2。xQexynx)3(022为。此时，方程＝，即＝且pp)(。xPun)(xueyx)2()(xPeyqypynx)3()()()2(2。xPuqpupun定理1当二阶常系数非齐线性方程)2()(xfyqypy)()(时，的右端为xPexfnx它有下列形式的特解：)(*，xPexynxk其中：0；＝不是特征根时，取当k1；＝是单特征根时，取当k2。＝是二重特征根时，取当k:。可以为复数注意例解2。的通解求方程xxyy))()((20)(2xPexfnxxxfnx。，，对应的齐方程的特征方程为012，特征根为i2,1。对应的齐方程的通解为sincos21。xCxCy0，原方程有特解＝不是特征根，故取由于k*2120，bxbxby将它代入原方程，得2221200，xxbxbxbb比较两边同类项的系数，得10，b11，b0220，bb10，b11，b22，b故原方程有一特解为2*2。xxy综上所述，原方程的通解为2sincos*221。xxxCxCyyy例解32。的通解求方程xeyyy))()((01)(xPexfnexfnxx。，，对应的齐方程的特征方程为0322，特征根为1321。，对应的齐方程的通解为231。xxeCeCy1，原方程有特解＝是单特征根，故取由于k*0，bexyx将它代入原方程，得]3)1(2)2([000，xxeexbxbxb上式即140，b410，b故原方程有一特解为41*。xexy综上所述，原方程的通解为41*231。xxxexeCeCyyy例解1332。的通解求方程xeyyyx1332xeyyyx32xeyyy1332xyyy41*1xexy31*2xy对应的齐方程的通解为231。xxeCeCy综上所述，原方程的通解为3141*231。xexeCeCyyyxxx)(2,]sincos)([)(.的情形xxPxxPexfnlx。多项式次实系数次和分别是是实常数，，其中nlxPxPnl)(),(则令},,max{nlm2）的特解可设为不是特征根时，方程（当i;]sin)(cos)([)2()1(xxQxxQeymmx2）的特解可设为是特征根时，方程（当i)2()(xfyqypy;]sin)(cos)([)2()1(xxQxxQxeymmx例6.5424的通解。求方程xyycos解0)(,1)(,2,0]sin)(cos)([,2cos)(）型（属于方程的自由项为xPxPxxPxxPexxfnlnlx042，特征方程221，特征根为，i通解为所以对应的齐次方程的2221.sincosxcxcY20解为是特征根，所以应设特由于i22).sinco