等离子体中的输运过程

第6章等离子体中的输运过程在前几章，介绍并应用单粒子轨道理论、磁流体力学方程研究和处理了等离子体中的一系列问题，其特点都忽略了带电粒子间的碰撞。磁流体力学模型是建立在粒子间频繁碰撞基础上的，但把它应用于等离子体波问题时，往往又忽略其碰撞的影响，这是因为波的频率远大于等离子体中粒子间的碰撞频率。因而可以把碰撞的影响忽略。现在还有一类问题，如等离子体处于不平衡状态如何趋向平衡，这就需要等离子体中带电粒子短程的库仑碰撞。等离子体内部存在密度、速度、温度的空间不均匀或存在电场时，将会出现粒子流、动量流、能量流或电流，这些属于一定物理量在空间的传输过程称输运过程，也涉及等离子体中粒子间的碰撞。由于等离子体中粒子间的库仑长程相互作用、离子与电子质量相差很大，而且往往存在强磁场，因此等离子体中的输运现象变得十分复杂。等离子体输运现象在受控核聚变研究的很多方面都有重要作用，因此输运过程在等离子体物理中占有重要地位。严格处理等离子体的输运问题，应该用微观的动理论，采用分布函数描述，用动理论方程研究分布函数的时间演化，然后一切宏观量（如密度、平均速度、温度、电流密度等）都是由速度分布函数对相应微观量求平均值得到，从而得到等离子体宏观行为。如果只需要了解一些宏观量的变化，也可以从磁流体力学方程出发进行研究。磁流体力学方程，包括每一种粒子的连续性方程、运动方程、能量方程和广义欧姆定律等，这些方程组中的电磁场如忽略波场，即只保留外场，于是不需要麦克斯韦方程组，这样磁流体力学方程组就是输运方程组。因此需要联立求解等离子体中所有带电粒子组成的流体的输运方程组，就可得到完整的输运过程的描述，输运方程中的系数通过动理学方程求得。本章主要介绍的就是这方面内容。6.1等离子体的输运方程组等离子体输运方程组可以用唯象的方法来建立，也可以用等离子体动理学方程求速度矩来严格推导。在第4章中已采用后一种方法得到了各种粒子成份的磁流体力学方程组，因此很容易由此得到输运方程组:1.连续性方程上式表示粒子数守恒，如令为质量密度，则由上式，可以得到质量守恒方程。()0nntumn2.运动方程为弹性碰撞造成的对α粒子的摩擦阻力，表示不同类粒子弹性碰撞的动量交换。为粒子弹性碰撞引起的对粒子的粘滞力，对于理想流体。3.能量平衡方程为热流矢量，为交换的热能。()dmnnqpdtuEuBRRR()032dTnpQdtuqqQ对输运方程组说明两点：（1）输运方程组不封闭。现在方程组中未知的场变量为nα、uα、Tα，理应由输运方程组自洽求解。现在输运方程组中还有两个高阶矩和，在现有的输运方程组内无法知道的，因此需要设法解决。通常做法是依靠实验定律，把高阶矩用低阶矩表示。如傅里叶热传导定律：为热传导系数，可采用实验测定的数据；粘滞张量由牛顿粘滞定律用uα的分量表示，或采用理想流体近似经过这样处理，方程组就可以封闭。qTq0输运方程组中含的碰撞项可以从动理学方程得到式中为α,β粒子间动量平衡的平均碰撞频率，为温度平衡的平均碰撞频率。（2）输运方程组中的E、B是外场，不包含等离子体自身运动产生的波场，因而不需要麦克斯韦方程组。输运方程与磁流体力学方程的重要区别是输运方程组考虑弹性碰撞项，但不考虑波场，因而不存在和麦克斯韦方程组耦合的问题。()mnRuu()TQnTTT6.2库仑碰撞研究等离子体中输运过程，首先要研究带电粒子间的库仑碰撞。1.二体碰撞转化为单体问题设两个粒子其质量和运动速度分别为mα、vα，mβ、vβ，粒子间的相互作用力为有心力，则运动方程为()rF()()amrmrrFrFrrr引入质心坐标与相对坐标因无外力为质心运动速度，为折合（约化）质量。结果：质心保持匀速直线运动，相对运动相当于质量为μ的一个粒子受力心固定的有心力作用的单粒子运动。于是在质心坐标系中，就可以把二体碰撞化为单体问题，使问题简化。()/()cmmmmRrrrrr0cR()ccr常矢量VRr=FcV/()mmmm()rF2.碰撞微分截面在质心坐标系中，一个处在远处、质量为μ、电荷为qα的粒子，以速度u射向固定在O点的电荷qβ为的另一个粒子，其瞄准距离为b（也称碰撞参量），受有心力的作用而发生偏转，其偏转角为θ，偏转后速度为u’，经历这样一个运动过程的称为二粒子碰撞（或称散射）。当为库仑作用力，偏转角θ与碰撞参量b之间关系，可以证明为或()rF0(/2)/tgbb2220sin(/2)1/(1/)bb200/4bqqu当b=b0时，θ=π/2，b0是偏转角为π/2时的碰撞参量，称近碰撞参量。因为b＜b0,θ＞π/2，称为近碰撞。当为小角度偏转，称远碰撞。设每秒单位面积入射粒子数为I，打在的粒子数为，这些粒子被散射为到立体角内，则每秒单位面积强度为I的粒子束被散射到立体角内的几率0bb/2bbdb2Ibdbd2sinddd2()2IbdbdbdbI2()sinbdbbdbdd称碰撞（散射）微分截面。其物理意义：单位时间单位面积入射1个粒子，散射到的单位立体角内的几率。因为几率总是正的，所以在式中取了绝对值。由得碰撞微分截面这就是著名的卢瑟福散射公式。()d/dbd2220sin(/2)1/(1/)bb0212sin(/2)bdbd220424011()4sin(/2)8sin(/2)qqbu如果考虑两个带电粒子间的作用受到其它带电粒子的屏蔽效应，则可用屏蔽库仑势采用经典和量子（Born近似）的方法，都可求得散射微分截面/0()4Drqrer202221()4[sin(/2)]b0200/2,//2()/,//2()DDuucqqcbucqqc量子经典6.3动量变化率与平均碰撞频率1.二体碰撞近似中性稀薄气体，粒子间的相互作用为短程力，当粒子间平均距离远大于作用力程时，一个特定的运动粒子，在平均自由程内一般不受其它粒子的作用，所以运动是“自由”的，仅当它与另一个粒子相距很近，在作用力程范围时，才受到这个粒子短程力作用，运动方向发生改变，称为碰撞，而与其它第3个粒子无关，这种碰撞作用称二体碰撞。中性气体的宏观行为（扩散、热传导、粘滞性、温度平衡等）都是这些二体碰撞引起的。在等离子体中带电粒子间是屏蔽的库仑作用，当力程（德拜屏蔽距离）远大于粒子间平均距离（n为粒子数密度）时，观察一个特定粒子运动，在任何时刻它都同时受到德拜球内所有粒子（粒子数）的作用，而且德拜球内的粒子也受到这个粒子的作用，即不但所观察的特定粒子运动状态改变了，而且德拜球内个粒子的运动也发生变化。因此，等离子体中粒子间的作用是多体碰撞问题。要严格处理多体作用是极其困难的，通常都采用近似的方法。在等离子中还是采用“二体碰撞近似”。D1/3ln31DDNn二体碰撞近似是把多体作用看成相互独立的瞬时的二体作用之和，同时还要考虑电荷的屏蔽效应。具体做法是，当时，一个入射粒子与个背景粒子的多体相互作用，背景粒子总体是稳定的，基本没有变化。只考虑其中每一个粒子与入射粒子的相互作用，在非相对论极限下每个背景粒子与入射粒子的作用都是二体的屏蔽库仑作用，然后入射粒子与个粒子的多体相互作用就看成这许多同时发生的二体碰撞的简单叠加。在等离子体中影响其宏观行为的“碰撞”，主要是大量二体的小角度偏转积累而成的大角度“偏转”，这样就算经历了一次“碰撞”，作为特征量的平均碰撞频率就是每秒钟经受这种“碰撞”的次数1DNDNDN2.二体碰撞的动量变化率现在计算在质心坐标系中二体碰撞引起的动量变化率。设碰撞前两粒子的质量、速度分别为mα、mβ，vα、vβ，相对运动速度u=vα－vβ，则由动量守恒动量每一次碰撞粒子的动量变化//mmmvvu/mvu/mvumvPuPPu对于弹性碰撞，质心运动速度不变，由能量守恒方程得或由图可见式中n为垂直u的单位矢量，因此两个粒子经过一次碰撞后动量的变化2221111()()()22222mmmmVuVuu22()uuuuuuuuu2sin(1cos)sin-2sin(/2)uunnuu=u2sin2sin(/2)unPPu设α试验粒子，β为场粒子，考察一个试验粒子α被大量场粒子β的碰撞作用后总的动量变化。在单位时间内，α试验粒子与密度为nβ的β场粒子发生碰撞，被散射到（）方向立体角内的碰撞数为单位时间内试验粒子动量总变化应为所有二体碰撞产生变化的叠加试验粒子总动量变化率为,d(,)nud(,)dnuddtPP24sin(/2)(,)sindnuuddtPu应用卢瑟福散射公式试验粒子总动量变化率会出现积分因子当取θ=0时，出现积分发散问题。原因：散射微分截面是用库仑作用计算的结果，对于库仑长程作用，碰撞参量b可以到无限大，此时偏转角θ→0，因此积分下限发散。实际上二体作用必须考虑电荷屏蔽效应。22401(,)8sin(/2)qquu020sin4ln[sin(/2)]sin(/2)cLd如果取二体作用力程为，在处把相互作用截断，即把德拜距离以外的电场当作零。于是时的偏转角，作为积分下限，则发散问题就可以解决。由库伦碰撞：称库仑对数总动量变化率结果表明，与相对速度u反平行。DDbDbminmin0(/2)/Dtgb0(/2)/tgbbmin0/2/Dbminmin04ln[sin(/2)]4ln[sin(/2)]4ln(/)4lncDLb0/Db2230()ln4nqqddtuPulnddtP试验粒子在质心系中垂直u和平行u动量变化率注意，以上结果都是在质心系中计算的，平行、垂直分量都是以相对运动速度u定向的。实际感兴趣的是在实验室系中，试验粒子的初始速度经受场粒子的多次碰撞后，发生显著变化所需的时间，称平均碰撞时间，其倒数就是平均碰撞频率。因此在质心系中以u定向计算结果在实际应用上是不方便的。尤其当场粒子有速度分布时，不同粒子对的u是不相同的，在对场粒子速度分布求平均时也是不方便的。因此需要将质心系中所得公式转换到实验室系，才便于求得以初始速度定向的坐标系中的结果。0ddtP2220()ln4nqqddtuPLvLv3.电子-离子碰撞时间与碰撞频率研究一个特例：试验粒子为电子、场粒子为离子。因为电子质量me比离子质量mi小很多，所以离子可以近似地看成不动，质心系与实验系就没有区别，相对运动速度u与电子在实验室系速度近似相等。电子、离子的质量分别为me、mi，电荷分别为，实验室系中的速度为ve，vi，因为，，所以，Lv,eiqeqZeiemmeivvemeievvvu242220ln4eieednzedtmvv2220()ln4nqqddtuP定义碰撞时间和碰撞频率则得电子与离子的有效碰撞频率和碰撞时间意义：电子受离子作用，其初始速度发生显著变化时对应的有效碰撞频率。注意，这是电子受离子的大量的二体作用叠加，其初始速度减为0，获得这种效果算为一次“碰撞”，每