高等几何模拟试题

《高等几何》试题（A）一、填空题（每题3分共15分）1、是仿射不变量，是射影不变量2、直线30xy上的无穷远点坐标为3、过点（1,i,0）的实直线方程为4、二重元素参数为2与3的对合方程为5、二次曲线22611240xyy过点(1,2)P的切线方程二、判断题（每题2分共10分）1、两全等三角形经仿射对应后得两全等三角形（）2、射影对应保持交比不变，也保持单比不变（）3、一个角的内外角平分线调和分离角的两边（）4、欧氏几何是射影几何的子几何，所以对应内容是射影几何对应内容的子集（）5、共线点的极线必共点，共点线的极点必共线（）三、(7分)求一仿射变换，它使直线210xy上的每个点都不变，且使点（1,-1）变为（-1，2）四、（8分）求证:点(1,2,1),(1,1,2),(3,0,5)ABC三点共线，并求,ts使,(1,2,3)iiictasbi五、(10分)设一直线上的点的射影变换是/324xxx证明变换有两个自对应点，且这两自对应点与任一对对应点的交比为常数。六、（10分）求证：两直线所成角度是相似群的不变量。七、（10分）（1）求点（5，1，7）关于二阶曲线222123121323236240xxxxxxxxx的极线（2）已知二阶曲线外一点P求作其极线。（写出作法，并画图）八、（10分）叙述并证明德萨格定理的逆定理九、（10分）求通过两直线[1,3,1],[1,5,1]ab交点且属于二级曲线222123420uuu的直线十、（10分）已知,,,,ABPQR是共线不同点，如果(,)1,(,)1,(,)PAQBQRABPRAB求《高等几何》试题（B）一、填空题（每题3分共15分）1、仿射变换//71424xxyyxy的不变点为2、两点决定一条直线的对偶命题为3、直线[i,2,1-i]上的实点为4、若交比(,)2ABCD则(,)ADBC5、二次曲线中的配极原则二、判断题（每题2分共10分）1、不变直线上的点都是不变点（）2、在一复直线上有唯一一个实点（）3、两点列的底只要相交构成的射影对应就是透视对应（）4、射影群仿射群正交群（）5、二阶曲线上任一点向曲线上四定点作直线，四直线的交比为常数（）三、(7分)经过(3,2)(6,1)AB和的直线AB与直线360xy相交于P，求()ABP四、（8分）试证：欧氏平面上的所有平移变换的集合构成一个变换群五、（10分）已知直线1234,,,LLLL的方程分别为：210,320,70,510xyxyxyx求证四直线共点，并求1234(,)LLLL六、(10分)利用德萨格定理证明：任意四边形各对对边中点的连线与二对角线中点的连线相交于一点七、（10分）求（1）二阶曲线22212313230,1)xxxxx5过点P(2,2的切线方程（2）二级曲线222123170uuu在直线L[1，4，1]上的切点方程八、（10分）叙述并证明德萨格定理定理（可用代数法）九、（10分）已知二阶曲线（C）：221121332460xxxxxx（1）求点(1,2,1)P关于曲线的极线（2）求直线123360xxx关于曲线的极点十、（10分）试证：圆上任一点与圆内接正方形各顶点连线构成一个调和线束《高等几何》试题（C）一、填空题（每题3分共15分）6、直线20xy在仿射变换//213xxyyxy下的像直线7、X轴Y轴上的无穷远点坐标分别为8、过点（1,-i,2）的实直线方程为9、射影变换'230自对应元素的参数为10、二级曲线222123170uuu在直线上[1,4,1]的切点方程三、判断题（每题2分共10分）1、仿射变换保持平行性不变（）2、射影对应保持交比不变，也保持单比不变（）3、线段中点与无穷远点调和分离两端点（）4、如果P点的极线过Q点，则Q点的极线也过P点（）5、不共线五点可以确定一条二阶曲线（）三、(7分)已知OX轴上的射影变换'213xxx，求坐标原点，无穷远点的对应点四、（8分）已知直线,,acd的方程分别为123123120,00xxxxxxx，且2(,)3abcd求直线b的方程。五、（10分）已知同一直线上的三点,,ABC求一射影变换使此三点顺次变为,,BCA并判断变换的类型，六、（10分）求证：两直线所成角度是相似群的不变量。七、（10分）求射影变换'112'22'33xxxxxxx的不变点坐标八、（10分）叙述并证明帕斯卡定理九、（10分）求通过两直线[1,3,1],[1,5,1]ab交点且属于二级曲线222123420uuu的直线十、（10分）试证:双曲型对合的任何一对对应元素'PP,与其两个二重元素E,F调和共轭即(',PPEF)=-1高等几何标准答案（A）一、填空题：（每空3分共15分）1、单比，交比2、（1,-3,0）3、30x4、''25()1205、123127260xxx二、判断题（每题2分共10分）1、错，2、错，3、对，4、错，5、对三、解：在直线210xy上任取两点(1,0),(1,1)AB2分由(1,0)(1,0),(1,1)(1,1),(1,1)(1,2)AABB设仿射变换为'111213'212223xaxayayaxaya将点的坐标代入可解得''22133222xxyyxy7分四、证明：因为1211120305所以三点共线4分由：3,20,25tststs解得1,2ts所以12,(1,2,3)iicabi8分五、证明：令''232204xxxxxxx由得解得121,2xx即有两个自对应点4分设k与'324kkk对应，有'5((1)(2),)2kk为常数10分注：结果有25也对，不过顺序有别。六、证明：设两直线为：1122:,:aykxbbykxb相似变换为：''''xaxbycybxayd220ab将变换代入直线a的方程得：''121212kabkabkkakbakb同理可得5分''2121''212111kkkkkkkk即''tan,tan,abab即两直线的夹角是相似群的不变量10分七、解：（1）设（5，1，7）为P点坐标，二阶曲线矩阵为A=231332121所以点P的极线为SP=0即123231(5,1,7)3320121PxSxx得x2=0（2）略八（在后边）九、解：通过直线[1,3,1],[1,5,1]ab的交点的直线的线坐标为[1,35,1]kkk若此直线属于二阶曲线则有2224(1)(35)2(1)0kkk即22742110kk解得111,39kk10分十、解：设123,,PAkBQAkBRAkB1122(,)1,(,)1(,)(,)(,)2,2PAQBPAQBPQABkABPQPQABkkk得2323(,)1,(,)1kqrabABQRkkk得所以13(,)(,)2kPRABABPRk10分八、德萨格定理的逆定理：如果两个三点形的对应边的交点共线，则对应顶点的连线共点。4分证明;如图三点形ABC与A1B1C1的三对应边交点L,M,N共线，证明对应顶点连线共点,考虑三点形BLB1与CMC1则有对应顶点连线共点N，故对应边的交点A,A1,0共线OABCLMNB1A1C1高等几何标准答案（B）一、填空题：（每题3分共15分）1、1(,2)2,2、两条直线确定一个交点，3、(2,-1,2)4、125、如果P点的极线过点Q则Q点的极线也过P点。二、判断题：（每题2分共10分）1、错，2，对，3、错，4、对，5、对三、解：过,AB的直线方程为：9150xy2分直线AB与360xy的交点为33(,)22P4分所以()1ABP7分四、证明：设平移变换的表达式为T:''xxayyb设任意两个平移变换为：''12121221''1212,:xxaxxaxxaaTTTTyybbyybyyb则仍为一个平移变换4分又对任意变换T:''1'':xxaxxaTyybyyb则也是一个平移变换所以平移变换的集合关于变换的乘法构成群。8分五、解：方程转化为齐次坐标形式：123123121320,320,70,50xxxxxxxxxx2分21131231207100710501且所以四直线共点。6分因为：3124122,LLLLLL所以：213412341(,)2(,)2LLLLLLLL故10分六、证明：如图ABCDPHEGRM考虑三点形PEH与RGM则GH平行BC，RM也平行BC所以GH与RM相交于无穷远处。同理HE与,GMPE与GR相交于无穷远处。故共线。有的萨格定理，三点形对应顶点连线共点。即,,PRGEHM相交于一点。10分七、（1）因为点P在二阶曲线上，所以切线方程为：SP=12123311025(2,,1)02032104021032xxxxxx5分（2）因为直线[1，4，1]在二级曲线上所以切点方程为TL=(1,4,1)12123310001041700017uuuuuu10分八、证明：（1）如果两个三点形对应顶点的连线交于一点，则对应线的交点在一条线上。3分（2）如图因为1OAA共线，所以11OkAkA同理1111,OmBmBOnCnC故有1111()0kAkAmBmB即1111kAmBmBkAL同理1111()mBnCmBnCM1111()nCkAnckANOABCLMNB1A1C1三式相加得0LMN所以三点共线。10分九、解：(1)P点的极线为：SP=(1,2,1)123223200301xxx9x1+2x2+4x3=05分（2）设直线的极点为(,,)abc则有223320013016abc解方程组可得极点1(2,,6)210分十、证明：如图ABCD为圆内接正方形，P为圆上任意点。因为ADAB所以PA为角DPB的平分线。同理可证明PC是角EPB平分线。即,PAPC是角DPB的内外角平分线。所以直线,,,PDPAPBPC构成调和线束。10分高等几何标准答案（C）一、填空题：(每题3分共15分)1、''210xy2、（1，0，0），（0，1，0）3、1320xx4、-1，35、1234170uuu二、判断题：（每题2分共10分）1、对，2、错，3、对，4、对，5、错三、解：变换化为齐次坐标形式：'112'21223xxxxxx3分ABCDPE将坐标原点（0，1），无穷远点（1，0）代入得对应点分别为：（-1，3）和（2，1）7分四、解：由题意得dac设bakc则(,)abcdk3分而25(,)1(,)1()33acbdabcd所以53k123123522()03bxxxxxx整理得：12311220xxx8分五、解：在直线上建立适当坐标系使,,ABC的坐标分别为(0,1),(1,1),(1,0)ABC3分则有(0,1)(1,1),(1,1)(1,0),(1,0)(0,1)ABBCCA设变换为'1111122'22