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因子分析公共卫生学院2003一、前言•变量的相关性公共因子？•将多个实测变量转换成少数几个不相关的综合指数二、因子分析模型一般地，设X=(x1,x2,…,xp)’为可观测的随机变量，且有•f=(f1,f2,…,fm)’为公共（共性）因子（commonfactor），简称因子（factor）1122iiiiimmiXafafafe•e=(e1,e2,…,ep)’为特殊因子（specificfactor）f和e均为不可直接观测的随机变量•μ=(μ1,μ2,…,μp)’为总体x的均值•A=(aij)p*m为因子负荷（载荷）（factorloading）矩阵通常先对x作标准化处理，使其均值为零，方差为１．这样就有假定（１）fi的均数为０，方差为１；（２）ei的均数为０，方差为δi；（３）fi与ei相互独立．则称x为具有m个公共因子的因子模型1122iiiimmixafafafe如果再满足（４）fi与fj相互独立（i≠j），则称该因子模型为正交因子模型。正交因子模型具有如下特性：•x的方差可表示为设222212iiiimhaaa22212()1iiiimiVarxaaa（１）hi2是m个公共因子对第i个变量的贡献，称为第i个共同度（communality）或共性方差，公因子方差（commonvariance）（２）δi称为特殊方差（specificvariance），是不能由公共因子解释的部分•因子载荷（负荷）aij是随机变量xi与公共因子fj的相关系数。•设称gj2为公共因子fj对x的“贡献”，是衡量公共因子fj重要性的一个指标。2211,2,...,pjijigajm三、因子分析的步骤•输入原始数据xn*p，计算样本均值和方差，进行标准化计算（处理）；•求样本相关系数矩阵R=(rij)p*p；•求相关系数矩阵的特征根λi(λ1,λ2,…,λp0)和相应的标准正交的特征向量li；•确定公共因子数；•计算公共因子的共性方差hi2;•对载荷矩阵进行旋转，以求能更好地解释公共因子；•对公共因子作出专业性的解释。四、因子分析提取因子的方法•主成分法（principalcomponentfactor）1,2,...,;1,2,...,ijjjialipjm每一个公共因子的载荷系数之平方和等于对应的特征根，即该公共因子的方差。221pjijjiag•极大似然法（maximumlikelihoodfactor）假定原变量服从正态分布，公共因子和特殊因子也服从正态分布，构造因子负荷和特殊方差的似然函数，求其极大，得到唯一解。•主因子法（principalfactor）设原变量的相关矩阵为R=(rij)，其逆矩阵为R-1=(rij)。各变量特征方差的初始值取为逆相关矩阵对角线元素的倒数，δi’=1/rii。则共同度的初始值为(hi’)2=1-δi’=1-1/rii。以(hi’)2代替相关矩阵中的对角线上的元素，得到约化相关矩阵。(h1’)2r12…r1pr21(h2’)2…r2pR’=..…...….rp1rp2…(hp’)2R’的前m个特征根及其对应的单位化特征向量就是主因子解。•迭代主因子法（iteratedprincipalfactor）主因子的解很不稳定。因此，常以估计的共同度为初始值，构造新的约化矩阵，再计算其特征根及其特征向量，并由此再估计因子负荷及其各变量的共同度和特殊方差，再由此新估计的共同度为初始值继续迭代，直到解稳定为止。•Heywood现象•残差矩阵五、因子旋转•目的：使因子负荷两极分化，要么接近于0，要么接近于1。•常用的旋转方法：（1）方差最大正交旋转（varimaxorthogonalrotation）•基本思想：使公共因子的相对负荷（lij/hi2）的方差之和最大，且保持原公共因子的正交性和公共方差总和不变。•可使每个因子上的具有最大载荷的变量数最小，因此可以简化对因子的解释。（2）斜交旋转（obliquerotation）•因子斜交旋转后，各因子负荷发生了较大变化，出现了两极分化。各因子间不再相互独立，而彼此相关。各因子对各变量的贡献的总和也发生了改变。•适用于大数据集的因子分析。六、因子得分•Thomson法，即回归法回归法得分是由Bayes思想导出的，得到的因子得分是有偏的，但计算结果误差较小。•Bartlett法Bartlett因子得分是极大似然估计，也是加权最小二乘回归，得到的因子得分是无偏的，但计算结果误差较大。•因子得分可用于模型诊断，也可用作进一步分析的原始资料。七、因子分析应用实例八、因子分析应用的注意事项•应用条件（1）变量是计量的，能用线性相关系数（Pearson积叉相关系数）表示。（2）总体的同质性•样本量没有估计公式。至少要保证样本相关系数稳定可靠。•因子数目一般认为，累积贡献要达到80%以上。但要注意Heywood现象。谢谢！