高等数学教案(极限部分)2-函数极限的概念

（第二版）2()x或时函数的极限自变量自变量时函数的极限)0(00xxx§1.2函数极限的概念无穷小与无穷大3无限！再没有其它的问题——希尔伯特如此深刻地打动过人类的心灵.4()x或时函数的极限一、自变量lim()xfxalim()limnnnfnxa试比较函数极限与数列极限：与例看图识别下两个极限的区别和联系:2arctanlim)(lim)1(xxfxx2arctanlim)(lim)2(nnfnn51020304050601.351.41.451.51.551020304050601.4251.451.4751.51.5251.55limarctan2xxlimarctan2nn2y2y例再观察下两个极限的区别和联系1(1)lim(1)nnen1(2)lim(1).xxex510152025302.352.42.452.52.552.62.652.71828510152025302.12.22.32.42.52.62.71828稍后将证明这两个极限，其极限值为e=2.718281828459045.7这两个极限的直观共性是:(或n)沿x轴正向无限变大时,就无限地接近e;函数值y当自变量x换句话说,|()|fxe就越来越小;与e差的绝对值()fx数学上总希望用恰当的语言，通过量化的方式,准确地刻画因“x越变越大”即当自变量x越变越大时,而“越变越小”的极限特征.|()|fxe使8定义1(自变量时函数的极限)x若对任意给定的0,|()|,fxA则称数为函数当时的极限,A()fxx并记lim(),xfxA(),().fxAx或为一元实值函数,:(,)faR设()aR总存在0,X使得对于适合的一切x,xX都有9的定义可简洁地写为:X0,,xX|()|.fxAlim()xfxA使得只要恒有定义1几何意义:246810-1-0.50.51xXXyAyA无论正数多么小,总存在这样的X,当,xX函数图像全部0,X221lim()lim1.1xxxfxx落在带形区域内.(,)(,)XAA100-122.201012120.6000000.40.5230.8000000.20.213.140.8823530.1176470.124.250.9230770.0769230.085100.9801980.0198020.0210500.9992000.0008000.0009501000.9998000.0002000.000310010000.9999980.0000020.0000041000221lim()lim11xxxfxx的量化分析表|()1|fxX任正数()fxx11例用定义验证:221lim()lim1.1xxxfxx分析要使22111xx222111xxx亦只要22212xx只要22x2x12于是只要取证因0,,xX使得只要恒有221x221lim1.1xxx故…111)(22xxAxf2X02X2222Xx13例证明:lim0.xxe证要使对0,|0|,xe只要,xe两边取对数只要1lnx成立即可,1lnX(因可取任意小于1的正数,保证0)X则当,xX恒有|0|xe1xxeeln(1/)1e,这便证明了lim0.xxe因此只要取14使得只要的-X精确定义lim()xfxA0,0,X,xX恒有|()|.fxA的-X精确定义lim()xfxA0,0,X||,xX使得只要恒有|()|.fxA15你会仿此给出数列极限的limnnaA数量化-N精确定义吗？以下请再观察几例函数当自变量()()xn或或时的极限.51015200.20.40.60.812lim02nnn1651015200.20.40.60.812lim02xxx1020304050-0.3-0.2-0.10.10.20.3lnlim0xxx17-20-15-10-5-0.5-0.4-0.3-0.2-0.121lim(1)2xxxx-3-2-1123-0.20.20.40.60.811limsin1.xxx18这种情况下,()fx有极限A(有穷数),分三种情况:0lim(),xxfxA(1)由于讨论是类似的,故以下着重讨论(1).二、自变量时函数的极限)0(00xxx(2)右极限Axfxx)(lim00(3)左极限Axfxx)(lim0019定义2(自变量时函数的极限)0xx|()|,fxA则称数为函数当时的极限,A()fx0xx并记0lim(),xxfxA设在的某去心邻域内有定义0()fxx总存在0,使得对于适合的一切x,都有00||xx若对任意给定的0,0(),().fxAxx或201230.511.522.53值得关注的是:为什么定义2中如下写00||xx“”而不是写作0||xx“”或是呢?——见例图00||xx“”2111lim12xxxf(x)在无定义01x却可取到极限1/2.21211()11.51xxfxxxf(x)在有定义01x也有极限值1/2.-0.50.511.522.530.511.522211112()111xxxfxxxxf(x)在有定义01x但无极限.-0.50.511.522.530.511.5222-1-0.50.511.520.511.520x0,|()|.fxA的定义的简洁写法:0lim()xxfxA恒有定义2的几何意义的几何意义.0,0lim()xxfxA使得只要00||xxyAyA请同学们根据图形自己叙述230||xx00||,xx.lim,0:000xxxxx时当证明例分析00,x0,000()()xxxxxx00min{,},x取证使得只要就有0xx时,0||xx越来越小如,可有:0||xx002x(正数),于是00xx002xx00,2x2400lim.xxxx这就证明了0x00.xx00||xxx分析注意到函数在点x=1处没有定义.2111lim.12xxx例证明211,12xx要使只要21112xx222(1)(1)2(1)xxx22212(1)xxx25221(1)21xx11,21xx注意到当1,x最终|1|x会越变越小，|1|0.5,x于是10.510.5x0.51.5所以要使11,21xx只要|1|2(1)xx无妨设某时刻后有2|1|1.5x亦即只要即可.|1|3x0,证min{0.5,3},026(注意此例中f(x)在x=1无定义!)恒有21112xx|1|3x|1|2(1)xx33问题:在用-定义的证明中,如何理解的取法有什么特点,它取法唯一吗?任意,但一旦给出又固定?即证得依而定,它与有关系吗?0x使得只要|1,0|x2111lim21xxx27仿定义2请给出以下左右极限：0000lim(),lim()xxxxfxAfxB的-定义.观察极限与单侧极限-7.5-5-2.52.557.5-0.20.20.40.60.81-0.02-0.010.010.02-0.015-0.01-0.0050.0050.010.0150.020sinlim1.xxx01limsin0.xxx28-2246-1-0.50.51sin(/)0()00xxfxx00lim()xfx不存在,00lim()0.xfx定理当且仅当0lim()xxfxA(都存在)[证明留作思考题.]Axfxfxxxx)(lim)(lim000029例讨论符号函数在x=0,1点的sgnyx故不存在.0limsgnxx1limsgn1.xx分析因极限.但是sgnlim100x1sgnlim00xx30另观察极限9lim203xxx9lim203xxx31223lim74xxx407223lim74xxx407223lim74xxx问题:因自变量x变化而引出的函数y的变化趋势一般有多少种形式呢？32定理(海涅定理)0{}(),nxUx当0,()nxxn均有0lim();nnxxfxA0lim()xxfxA(收敛数列与其子数列的关系)limnnxa对于的每个子列{}nx{}knx均有lim.knkxa下面给出一个数列极限与函数极限之间存在关系的定理。33这个定理不作证明.容易看出其必要性条件好用,即0lim()xxfxA0()lim().nnxxnfxA但以下的推论却好用.只写相应的推论.或由lim,nnxalim.knkxa反之却不便用.推论0lim()nnxxfx不存在,0{},(),nnxxxn若则不存在;0lim()xxfx34,都存在,但(1)(2)00(1)(2)lim()lim(),nnnnxxxxfxfx则不存在.0lim()xxfx推论若与(1)0(1)lim()nnxxfx(2)0(2)lim(),()nnxxfxn例证明:不存在.0limsinxx证因为存在(1)(1)10,(),0,nnxnxn(1)limsinnnxlimsin0,nn35再取故根据定理的(2)limsinnnxlimsin(2)1,2nn(2)(2)10,(),0,122nnxnxn不存在.0limsinxx-1-0.50.51-1-0.50.51推论36在自变量x的某变化过程中,限的变量是无穷小量,()yx即当或0xxy是无穷小量.三、无穷小量与无穷大量定义3(无穷小量的定义)以零为极()0,yx时,0(0,)xx或则称变量简称无穷小.370,0lim()0xxyx00||,xx|()|.yx的“-”数量化定义为:0,使得只要恒有例当时,0x当时,x都是无穷小量;当时,1x3(1),lnxx均是无穷小;211,,ln||xexx也都是无穷小.xxxtan,sin,238定理10lim()xxfxA的充分必要条件是()(),fxAx的一个无穷小,即0lim()0.xxx其中()x是该极限过程中证必要性设,则0lim()xxfxA0lim[()]0,xxfxA()(),xfxA记0()0,(),xxx即有根据定义是当时的无穷小;0()xxx3900lim()lim[()]xxxxfxAx充分性()(),fxAx因是当()x0xx时的无穷小量，故0lim().xxAxA设40定理(无穷小量的性质)有限个无穷小量的代数和仍是无穷小量;有限个无穷小量的积仍是无穷小量；无穷小量与有界