定积分概念教案

教案专用纸第页1教案课题：定积分的概念一、教学内容：1.定积分的概念及几何意义；2.利用定积分的概念或几何意义计算简单的定积分。二、教材分析：内容定位：1．工具性：定积分的概念为一些专业课的某些知识提供了理论基础,如《工程力学》中的重心、惯性矩等等;定积分的几何意义为求某些简单的定积分提供了计算方法。2．职业能力：主要体现在提高了学生用积分思想分析解决专业问题的能力。3．课程方面：本次课是学生学习完导数和不定积分这两个概念后的学习,定积分概念的建立为微积分基本定理的引出做了铺垫,起到了承上启下的作用。而且定积分概念的引入体现着微积分“无限分割、无穷累加”“以直代曲、以不变代变”的基本思想。所以,无论从内容还是数学思想方面,本次课在教材中都处于重要的地位。高职高专数学教学中,定积分一直是教材中的一个重点,也是一个难点。说是重点,源于定积分的实用性和现实性,同时它也是其它知识点的基础。说是难点,因为学生对定积分概念的理解存在困难。因此,在高职高专数学教学过程中,如何使得学生学好定积分显得尤为重要。三、教学目标：通过探求曲边梯形的面积，使学生了解定积分的实际背景，理解定积分的思想方法，构建定积分的认识基础;通过“数形结合”的方法使学生理解定积分的几何意义,掌握定积分的概念。四、教学重点、难点：〔教学重点〕：定积分的概念、定积分的几何意义；〔教学难点〕：用定义求简单的定积分。五、学情分析：教案专用纸第页2图4.1图4.2AB我所教授的学生从知识结构上来说属于好坏差别很大，有的接受新知识很快，有的很慢，有的根本听不懂，基于这些特点，结合教学内容，我以板书教学为主，多媒体教学为辅，把概念较强的课本知识直观化、形象化，引导学生探索性学习。六、教学方法：根据对学生的学情分析，本次课主要采用案例教学法，问题驱动教学法，讲与练互相结合，以教师的引导和讲解为主，同时充分调动学生学习的主动性和思考问题的积极性。七、教学手段：传统教学与多媒体资源相结合。八、教学时数：1课时。九、教学过程：1、由两个实际例子引出定积分的概念.定积分是积分学的另一个重要的基本概念，和导数概念一样，它也是在解决各种实际问题中逐渐形成并发展起来的，现已成为解决许多实际问题的有力工具．本节将首先从实际问题出发引出定积分的概念，并介绍定积分的几何意义．例1求曲边梯形的面积．初等数学可以计算多边形、圆形和扇形等规则图形的面积，但对于较复杂的曲线所围成的图形(图4.1)的面积计算则无能为力．如图所示，我们总可以用若干互相垂直的直线将图形分割成如阴影部分所示的基本图形，它是由两条平行线段，一条与之垂直的线段，以及一条曲线弧所围成，这样的图形称为曲边梯形．特别地，当平行线之一缩为一点时，称为曲边三角形．那么，为什么要研究曲边梯形呢？因为求任何曲线围成的几何图形的面积，都可归结为求若干个曲边梯形的面积的代数和.现把问题归结如下：求由直线0,,ybxax和连续曲线)(xfy(()0)fx所围成的曲边梯形AabB(图4.2)的面积S．如果曲边梯形的高不变,即Cy(常数),则根据矩形面积公式面积=底高便可求出它的面积．但如果)(xfy是一般曲线，则底边上每一点x处的高)(xf随x变化而变化，上述计教案专用纸第页3算公式就不适用．对于这样一个初等数学无能为力的问题，我们解决的思路是：将曲边梯形分成许多小长条(图4.2),每一个长条都用相应的矩形去代替,把这些矩形的面积加起来,就近似得到曲边梯形的面积S．小长条分得越细，近似程度越好，取“极限”就是面积S．具体地，分四步来解决．（1）分割(化整为零)在区间],[ba内任意添加1n个分点：bxxxxxxxannii11210将区间],[ba分成n个子区间],[1iixx),,2,1(ni，这些子区间的长度记为1iiixxx),,2,1(ni，并用符号ixmax表示这些子区间的最大长度．过1n个分点作x轴的垂线，于是将曲边梯形分割成n个小曲边梯形，它们的面积记作iS),,2,1(ni．显然niiSS1．（2）近似代替（以直代曲）在第i个子区间],[1iixx上任取一点i，作以)(if为高，],[1iixx为底的第i个小矩形，小矩形的面积为iixf)(),,2,1(ni第i个小曲边梯形的面积iiixfS)(),,2,1(ni．（3）求和（求曲边梯形面积的近似值）将n个小矩形的面积加起来，便得到原曲边梯形面积的近似值niiixfS1)(．（4）取极限（积零为整）不难想到，当分割越来越细(即n越来越大，同时最长的子区间长度越来越小时)，n个矩形的面积和就越来越接近于原曲边梯形的面积．于是当0时，矩形面积之和的极限就是原曲边梯形的面积S，即01lim()niiiSfx．例2求变速直线运动的路程已知作直线运动物体的速度为)(tvv)0(t，求该物体在时间间隔],[ba内运动的路程ｓ．如果物体作匀速直线运动，即速度是常量，那么路程＝速度时间但现在物体运动的速度是变量，我们可以采取与计算曲边梯形面积相似的方法来重要思想：1.由已知求未知；2.极限思想；3.问题归结；4.化整为零；5.以直代曲。分割方法----任意分割要求----最大宽度趋于零教案专用纸第页4计算要求的路程．（1）分割（化整为零）在时间区间],[ba内任意添加1n个分点：btttttttannii11210将区间],[ba分成n个子区间],[1iitt),,2,1(ni，这些子区间的长度记为1iiittt),,2,1(ni，并用符号itmax表示这些子区间的最大长度．这样就把路程ｓ分割成n段路程is),,2,1(ni．显然niiss1．（2）近似代替（以匀代变）在第i个子区间],[1iitt上任取一点i，则iitv)(表示物体在时间段],[1iitt上以匀速)(iv运动时所经过的路程．当it很小时，速度)(tv的变化也很小，可以近似地看做不变，即在时间段],[1iitt上物体近似地以匀速)(iv运动，于是有isiitv)(),,2,1(ni．（3）求和（求总路程的近似值）把n个子区间],[1iitt上按匀速运动计算出的路程加起来，就得到niiitvs1)(．（4）取极限（积零为整）不难想到，当对时间间隔],[ba的分割越来越细，小区段上看作匀速运动时的路程之和就越来越接近s．于是当0时，和式的极限即为s的精确值01lim()niiisvt．总结：上述二问题一个是几何问题，一个是物理问题，但从数学的角度来考察，所要解决的数学问题相同：求与某个变化范围内的变量有关的总量问题．数学结构相同：求n个乘积iixf)(之和1()niiifx，当0maxix时的极限．它们研究的对象有三个共同的特点：（1）都有一个在某一区间上的连续函数；（2）所研究的量在这一区间上具有可加性：即区间被分为n个小区间时，所研究的量也被相应的分割为n个部分量，且总量等于部分量之和；（3）在每一小区间上都可确定相应的部分量的近似值.教案专用纸第页5由此找到了研究这些问题的相同方法：（1）化整为零，找出局部近似值；（2）积零为整，求出和式的极限,得精确值.2、定积分的概念.定义1设)(xf是定义在区间],[ba上的有界函数，用点：bxxxxxxanii1210将区间],[ba任意分成n个子区间],[1iixx),2,1(ni，这些子区间的长度记为1iiixxx),2,1(ni．在每个子区间],[1iixx上任取一点i，作n个乘积iixf)(的和式niiixf1)(．如果当最大子区间长度0maxix时，和式niiixf1)(的极限存在，并且极限值与区间],[ba的分法以及i的取法无关，则该极限值称为函数)(xf在区间],[ba上的定积分．记作badxxf)(，即badxxf)(niiinxf1)(lim)0(．其中右端的iixf)(称为积分元素，niiixf1)(称为积分和（或和式），左端的符号“”称为积分号，)(xf称为被积函数，dxxf)(称为被积表达式，x称为积分变量，],[ba称为积分区间，a称为积分下限，b称为积分上限．定积分存在称函数)(xf在区间],[ba上可积，否则称为不可积．有了定积分的概念，前面两个问题可以分别表述为：曲边梯形的面积S是曲线)(xfy)0)((xf在区间],[ba上的定积分，即Sbadxxf)(．变速直线运动的物体所经过的路程s是速度)(tvv在时间区间],[ba上的定积分，即badttvs)(由定积分的定义可知(1)定积分badxxf)(只与函数)(xf的对应法则以及定义区间],[ba有关，而与表示积分变量的字母无关，因而badxxf)(=badttf)(()bafudu(2)定积分badxxf)(的实质是一种特殊和式（n个乘积iixf)(之和）这里的教学过程：教师提出问题，让学生思考，教师给出解决方案，让学生思考回答为什么求极限得到的就是我们要求的精确值，教师进行必要的引导、分析与归纳，在此基础上一步一步引导学生抽象出定积分的概念.教案专用纸第页6图4.3的特殊极限（0maxix）．（该极限与],[ba的分法无关，与i的取法无关）．(3)对],[ba的不同分法及对i在区间],[1iixx的不同取法，将有不同的niiixf1)(，定积分要求所有和有相同的极限值.(4）n，但n.只有当把],[ba作等分时，n.什么条件下)(xf可积？定理1设函数)(xf在],[ba上连续，则函数)(xf在],[ba上可积．定理2设函数)(xf在],[ba上有界，且只有有限个间断点，则函数)(xf在],[ba上可积．例3利用定义计算120xdx的值.教师分析与引导：因2yx在区间[0,1]内是连续的，故120xdx是存在的，120xdx是一常数，且此数的大小与[0,1]的分法及对i在区间],[1iixx的取法无关，为了好计算：把区间[0,1]分成n等份分点和小区间长度分别为,iixn1(0,1,2)ixinn取(0,1,2)iiinn作积分和niiniiiniinnixxf121211)()()12)(1(61113123nnnninni)12)(11(61nn因为n1当n所以31)12)(11(61lim)(lim10210nnxfdxxnniii3、定积分的几何意义从例子，我们看到当0)(xf时，定积分badxxf)(表示曲边梯形的面积．当0)(xf时，曲边梯形在x轴的下方，定积分badxxf)(在几何上表示上述曲边梯形面积的负值．当)(xf在],[ba上有正、有负时，则定积分badxxf)(在几何上表示：曲线)(xfy，直线ax，bx及x轴所围成的几块曲边梯形面积的代数和可积的充分条件说明：-----几何直观这里的教学过程：教师提出问题(定积分的几何意义)并给出答案，让学生思考并回答为什么，教师进行必要的引导、分析与归纳.教案专用纸第页7(图4.3)，即321)(SSSdxxfba．例4利用定积分的几何意义说明：abdxba（)ba．教师分析与引导：这里被积函数()1fx，我们已经知道了定积分的几何意义，故让学生画出草图，观察易得此积分表示底为ba，高为1的矩形的面积．所以有abdxba例5根据定积分的几何意义推出下列积分的值：（1）xxd11,（2）xxRRRd22,（3）xxdcos02,（4）xxd11