鄞中物理奥赛培训教材第一版知识框架第11-20讲

-79-第十一讲功和功率【赛点知识】一、功物体（可看成质点）在恒力F的作用下产生了位移，则力F对物体所做的功为：cosFsW式中，是力F与位移s之间的夹角，功是标量，但有正、负之分，正功和负功的物理意义则须从与做功相联系的能量转化角度去理解。说明：（1）功是描述力的空间累积效果的物理量，由于位移总是与一个过程相联系的，所以功是过程量。（2）功在不同的参照条件中，可以有不同数值。但一般都取地面作为参照系。而一对作用力与反作用力做功之和却与参照系的选择无关，如一对滑动摩擦力做的总功是sf（式中s是相对位移），一对静摩擦力做的总功为零。（3）当不能把物体当作质点处理时，物体的位移与力的作用点的位移可能是不相等的，这时公式中的s应理解为力的作用点的位移。如在半径为R的圆柱体上缠绕着一根轻绳，当施一恒定的水平力F拉绳子，使圆柱体无滑滚动一周过程中，力F所做的功应为RF4，而不是RF2。（4）功的定义式中力应为恒力。如F为变力，中学阶段常用如下几种处理方法：a．微元法。即把变力做功转化为恒力做功。b．图像法。即作出力F与位移变化的图像，求出图线与位移轴之间所围的面积。c．等效法。即用机械能的增量或tP等效代换变为功。（5）几个特殊力做的功a．重力做的功：只与始末位置的高度差有关，与运动的路径无关。表达式：hmgWb．弹簧弹力做的功据胡克定律kxF，作出xF图线。当弹簧从形变1x变化到形变2x时，弹簧弹力所做的功相当于图中阴影部分的“面积”，即22212121kxkxW。弹簧弹性力的功与路径无关，只与弹簧初、末状态两点的形变有关。c．万有引力的功。质量分别为m和M的两个质点，m相对M从初始位置A（相距0r），沿任意路径运动到终止位置B（相距r），质点m所受M的万有引力的功为：rMmGrMmGW0万有引力做的功与两质点初态的相对位置0r和终态的相对位置r有关，而与运动的路径无关。二、功率力所做的功与所用时间的比值，称为该力在这段时间内的平均功率，记为tWP。若将cosFsW代入上式得cosFvP式中，v若为平均速度，求得的P为平均功率，若v是即时速度，求得的P为即时功率，式中为F与v之间的夹角。-80-【赛题精析】例1．如图所示，面积很大的水池，水深为H，水面上浮着一正方体木块，木块边长为a，密度为水的密度的21，质量为m，开始时，木块静止，有一半没入水中，现用力F将木块缓慢地压到池底，不计摩擦，求：从开始到木块刚好浸入水中的过程中力F做的功。例2．如图所示的传送机，传送带的速度1vm/s，位于传动机底部的料斗每分钟向传送机输送3104.2kg的煤屑，传送机将煤屑送到4hm高处，求传送机电动机的功率P（不包含传送机空转时所需的功率）。例3．质量为m的小球用长为l的轻绳悬挂于支架的O点上，支架固定在平板上，平板与支架的总质量为M，平板放在光滑的水平桌面上，如图所示，将小球拉至A点，使绳拉直并水平，在小球与板均静止时释放小球。（1）试问：在小球从A点到最低点C的过程中，绳子张力对小球做了多少功？（2）求：当小球运动到B点（绳与竖直方向成60角）时，板的运动速度。-81-【习题精选】1．一质量为m的小球用长为L的轻绳系于O点，小球在水平力F作用下，从平衡位置P点很缓慢地移到Q点，如图所示，则力F所做的功为（）A．cosmgLB．sinFLC．)cos1(mgLD．FL2．自动扶梯以恒定的速率运行，第一次人相对扶梯静止，第二次在扶梯运动的同时人也匀速向上走动，在这两种情况下，自动扶梯对人所做的功分别为1W和2W，扶梯做的功的功率分别为1P和2P，比较他们的大小有（）A．21WWB．21WWC．21WWD．21PPE．21PPF．21PP3．将放在地上的木板绕其一端转动角，求所需要做的功。（木板长度为L，质量为M，木板与地面之间的摩擦因数为）4．在物体作直线运动的情况下，物体具有的动能与发生的位移s之间的关系如图所示。已知在A点物体受力2AFN，求物体在B点，C点受力大小。-82-5．通风机通过墙上小洞将室内的空气吹出去，为使通风机在单位时间内所吹走的空气质量tm增加一倍，问通风机的原来功率1P需要增加多少倍？6．如图所示，质量为m的小车以恒定速率v沿半径为R的竖直圆轨道运动，已知摩擦系数为，试求小车从轨道最低点运动到最高点的过程中，摩擦力的功。7．泵将水沿管道抽到h高处，求泵的最小功率应该为多少？如图所示，管的横截面积为S，泵在单位时间内抽水的体积为tV。-83-8．列车以速度72vkm/h沿水平路段行驶。为使列车在下大雨时，也以这样的速度行驶。问：火车头发出的功率应该变化多少？（单位时间落在列车上的雨水质量100tmkg/s，雨下落后顺车厢壁流下，下雨时摩擦力的变化不计）9．三个球半径相同，质量不同，并排平行地悬挂在同样长度的绳上，彼此相互接触。把质量为1m的球拉开，上升到高H处，再放下，如图所示。再使第一个球与第二个球，第二个球与第三个球碰撞后，所有三个球具有同样的动量，试问2m和3m各为多少？它们上升多高？所有碰撞是完全弹性的。10．一只质量为m的小环宽绰地把两个质量均为M的相同的细轴环套接在一起。小环开始下滑，此时轴环沿着有点粗糙的水平面各自向两旁（向外）滑去。试求在开始时刻小环的加速度a。（21OAO，如图所示，小环与轴之间的摩擦不计）-84-第十二讲动能定理【赛点知识】一、动能动能是描述质点机械运动状态的一个物理量。表达式：221mvEK特点：动能是标量且恒为正值，它的大小跟参照系的选择有关。二、动能定理1．内容：作用在质点上合外力所做的功等于质点动能的改变量。2．表达式：21222121mvmvEWK合3．说明：（1）质点动能定理只能在惯性系中运动，其中位移和速度必须是同一惯性系的。（2）动能和功是完全不同的两个物理量，动能是描述质点机械运动状态的物理量；功是和运动过程相联系，是描述力的空间累积效应的物理量，但动能和功又是密切联系的，体现在动能定理中，做功的本质是使物体的动能变化。4．质点组动能定理（1）内容：对于质点组，外力做功与内力做功之和等于质点组动能的改变量。（2）表达式：12KKEEWW内外【赛题精析】例1．长度为L的矩形板，以速度v沿光滑水平面上平动时，垂直滑向宽度为l的粗糙地带，板从开始受阻到停下来，所经过路程为s，而Lsl，如图所示，求板面与粗糙地面之间的动摩擦因数。例2．足球运动员在11m远处罚点球，球准确地从球门横梁边缘进去。横梁边缘离地面高度5.2hm，足球质量5.0mkg，空气阻力不计，问必须传递给这个足球的最小能量minE是多少？-85-例3．10个同样的扁长木板一个紧挨一个地放在水平地面上，如图所示。每个木块的质量为4.0mkg，长为50.0lm，它们与地面间的静摩擦和动摩擦因数均为10.02。原来木块处于静止状态，左方第一个木块的左端上方放一质量为0.1Mkg的小铅块，它与木板间的静摩擦和动摩擦因数均为20.01。现突然给铅块一向右的初速度3.40vm/s。使其在大木块上滑行，试确定铅块最后的位置在何处（落在地上还是停在哪块木块上）。（g取10m/s2，设铅块的线度与l相比可忽略）例4．如图所示，质量为m的物体可以沿竖直轨道A，B上、下运动，物体正下方置一轻弹簧，物体在轨道间的最大静摩擦力与滑动摩擦力都是2/mgf，现在，物体在距离弹簧为d的高处由静止开始下落，试求：（1）物体下落的最低位置与弹簧倔强系数k的关系。（2）物体由最低位置第一次弹回的高度与k的关系。-86-【习题精选】1．如图所示，圆管弯成半径相同的两段弧，放在同一竖直面内，ADCABC弧弧，一小球以某一初速度0v分别沿ABC弧和ADC弧到达C点时的速度分别为1v和2v，小球与管间的摩擦因数相同，则（）A．21vvB．21vvC．21vvD．无法确定2．力20FN作用在静止的物体，在短时间210ts内，使它获得动能31KEJ。如果这个物体具有初速度100vm/s，力F沿初速度方向，在同样时间t内力F又能使物体获得多大动能？3．如图所示，质量为M的小车静止于光滑水平面，长为l的悬线系着质量为m的小球于水平位置静止释放，下摆到图示位置时，小车的速率为v，试求该过程中悬线张力对小球所做的功。4．在与水平面成角的斜面上有一系在线上的小垫圈，如图所示，线的另一端固定在斜面上。如果将垫圈偏离平衡位置（在线拉紧的情况下）一个小角度0，无初速释放，垫圈摆到平衡位置的另一侧最大偏角为)(011。求垫圈与斜面之间的摩擦系数。-87-5．长度为l和质量为M的长木块放在光滑的水平面上，一个质量为m的小物块放在此木块上，如图所示。物体与木块之间的摩擦因数为，为了使木块与墙壁发生弹性碰撞后，物体从木块上落下来，试问碰撞前此系统应该以多大速度v运动？6．两根长度均为l的刚性轻杆，一端通过质量为m的球形铰链连接，另一端分别接质量为m和m2的小球，将此装置的两杆并拢，铰链向上竖直地放在桌上，然后轻敲一下，使球往两边滑，但两杆始终保持在竖直面内，忽略一切摩擦，求：（1）铰链碰到桌面前的速度v；（2）当两杆夹角为90时，质量为m2的小球的速度2v；（3）当两杆夹角为90时，质量为m2的小球的位移2s。7．倾角为的斜面上固定一个半径为R的光滑半圆环，如图所示，C为圆心，小球从A处沿切线方向射入并在环内运动。（1）若小球与斜面的摩擦因数为，求小球能通过圆环最高点时0v的取值。（2）若斜面光滑，小球刚好落到C点，求0v多大？-88-8．一物体质量为0.1mkg，置于水平面上，物体与水平面间的静摩擦系数和动摩擦系数4.0，如图所示，在原点有一完全弹性的墙，且物体始终受到xF20的水平力，x的单位为m，现将物体于1.10xm处静止释放，求：（1）物体从静止释放到停止运动，共用了多少时间？（2）物体最后停在什么位置？（3）物体克服摩擦力做了多少功？（g取10m/s2）9．质量分别为09.01mkg和1.02mkg的两块薄板用倔强系数为150kN/m的弹簧连接起来。一个质量为01.0mkg的蜡塑球从h高处掉下来，落在上板上，如图所示。问：要使下板刚好离开地面，球至少从多高处落下来。-89-10．质量为m的小珠，穿在竖直放置的半径为R的光滑圆环上，并用一个倔强系数Rmgk，原长也为R的弹簧连接，弹簧的另一端固定在圆环的最高点A上，若小珠从与A点相距为原长的B点静止下滑，求在小珠下滑过程中对圆环所施的压力。11．如图所示，质量为m的箱子放在光滑水平地面上，箱内有一质量为m的滑块，滑块与箱底无摩擦，开始时箱子不动，滑块以0v从A向B运动，设二者每碰一次，相对速度变为碰前的e倍，421e。问：（1）要使系统损耗总动能不超过其初动能40%，最多可碰几次？（2）从开始运动到完成上述次数的碰撞期间，箱子的平均速度是多少？-90-第十三讲势能和机械能守恒定律【赛点知识】一、保守力和非保守力保守力：凡做功只依赖于质点组（或物体系）的初态和终态的相对位置的力，即与路径无关的力，如重力、万有引力等。非保守力：凡做功与路径有关的力，又称耗散力，如滑动摩擦力等。二、势能（一）概念在保守力场中，有一种仅由物体系内的相对位置决定的能量，称之为势能。物体系具有势能的条件是受保守力作用。（二）物体系的势能和保守力的关系势能的改变量等于保守力做功的负值：PEW保。（三）特点（1）势能是标量。（2）势能是状态量，由于势能的概念只确定了其改变量，为确定某状态下物体系的势能值。必先规定某一状态势能为零，这状态称之为势能零点。（3）势能是物体系共有的。（4）若物体系同时受几种保守力作用。则同时存在相应的几种势能。（四）力学中常见的势能（1）重力势能：在物体跟地球组成的系统中，由物体跟地球之间相互作用的重力及相对位置决定的势能。表达式：mghEP。（式中h为与选定的零势能面位置的高度差）（2）万有引