概率论与数理统计数学期望与方差专项

关键词：数学期望方差协方差相关系数第四章随机变量的数字特征问题的提出：在一些实际问题中，我们需要了解随机变量的分布函数外，更关心的是随机变量的某些特征。例：在评定某地区粮食产量的水平时，最关心的是平均产量；在检查一批棉花的质量时，既需要注意纤维的平均长度，又需要注意纤维长度与平均长度的偏离程度；考察临沂市区居民的家庭收入情况，我们既知家庭的年平均收入，又要研究贫富之间的差异程度；§1数学期望例1：甲、乙两人射击比赛，各射击100次，其中甲、乙的成绩如下：评定他们的成绩好坏。810980101010801089109100100100100甲次数1080108910乙次数2065158910820965101520651589108.951001001001001080108910100100100对于甲来说,、、分别是环、环、环的概率；2065158910100100100对于乙来说,、、分别是环、环、环的概率；数学若用期望它们相应的概率表示，就得到了，也称为均值(加权均值)。解：计算甲的平均成绩：计算乙的平均成绩：所以甲的成绩好于乙的成绩。定义：定义：111()1,2,,kkkkkkkkkkkXPXxpkxpXEXxpEXxp绝对收设离散型随机变量的分布律为：若级数则称级数的和为随机变量的，数学期记望为即敛，,()()()(())XfxxfxfxdxEXxfxdxxfxdxXEXxdx设连续型随机变量的概率概率为若积分(即)则称积分的值为随机变量的，记为数学期望即绝对收敛数学期望简称期望，又称均值。例2：有2个相互独立工作的电子装置，它们的寿命服从同一指数分布，其概率密度为：若将这2个电子装置串联联接组成整机，求整机寿命N(以小时计)的数学期望。解：1,2,kXk10()000xexfxx10(1,2)()00xkexXkFxx的分布函数2210()1(1())00xminexFxFxx220()00xminexfxx222000||22xxxxeedxe是指数分布的密度函数12,,NminXXN串联情况下，故的分布函数为：问题：将2个电子装置并联联接组成整机，整机的平均寿命又该如何计算？根据N的概率密度fmin(x),可得到E(N).202()xENxedx()2EN从而例3：设有10个同种电子元件，其中2个废品。装配仪器时，从这10个中任取1个，若是废品，扔掉后重取1只，求在取到正品之前已取出的废品数X的期望。4812()012545459EX解：X的分布律为：0128282110109109kXp01245845145kXp例4：设一台机器一天内发生故障的概率为0.2，机器发生故障时全天停工。若一周5个工作日里无故障，可获利10万元；发生一次故障获利5万元；发生2次故障获利0元，发生3次或以上故障亏损2万元，求一周内期望利润是多少？()5.216EY于是（万元）解：设X表示一周5天内机器发生故障天数，~(5,0.2)Xb则设Y表示一周内所获利润，则5(10)(0)(10.2)0.328,PYPXY其余同理可得，于是的分布率为：205100.0570.2050.4100.328kYp例5：(),()XEX。设求()0,1,0!keXPXkkk解：的分布律为：X的数学期望为：0()!kkeEXkk11(1)!kkekee()EX即例6：(,)()XUabEX。设，求1()0axbbaXfx－解：的概率密度为：其他X的数学期望为：()()EXxfxdxbaxdxba2ab(,)ab即数学期望位于区间的中点10几种重要分布的数学期望15423212)(,)(),,(~)(),,(~)(),(~)(),,(~XEXXENXbaXEbaUXXEXnpXEpnbX则的指数分布服从参数为、设则、设则、设则、设则、设(),YXYgXg定理：设是随机变量的函数：是连续函数(),1,2,kkPXxpk11()()[()]()kkkkkkgxpEYEgXgxp若绝对收敛，则有()Xfx是连续型随机变量，它的概率密度为()EYYX定理的在于我们求时，不必算出的分布律重或概率密度，而只要利用的分布律或概率密度就要意义可以了。()()gxfxdx若绝对收敛()(())()()EYEgXgxfxdx则有X是离散型随机变量，它的分布律为：上述定理也可以推广到两个或两个以上随机变量的函数的情况。,XY若二维离散型随机变量的分布律为：,(,),ZXYZgXYg定理：设是随机变量的函数：是连续函数(,),,1,2,ijijPXxYypij11()[(,)](,)ijijijEZEgXYgxyp则有这里设上式右边的级数绝对收敛，()((,))(,)(,)EZEgXYgxyfxydxdy则有这里设上式右边的积分绝对收敛,XY若二维连续型随机变量的概率密度为：()(,)EXxfxydxdy特别地，例7：已知某零件的横截面是个圆，对横截面的直径X进行测量，其值在区间（1，2）上均匀分布，求横截面面积S的数学期望。2()()4ESxfxdx1,12()0,xXfx解：的密度函数为：其他2214xdx71224XS例8：,XY设二维随机变量的联合分布律为01200.10.250.1510.150.20.15XY()sin2XYZ求随机变量的数学期望。()(00)(10)()[sin]sin0.1sin0.15222(01)(11)(02)sin0.25sin0.2sin0.15222(12)sin0.150.252XYEZE解：例9：设随机变量(X,Y)的概率密度为：3231,12(,)01,yxxxxyfxyEYEXY其他求数学期望。X=11yxyx()(,)EYyfxydydx解：3213230123()()()120yYYydxyxyEYyfydyfydxyxy先求，这里其他考虑：321132xxdydxxy13131|2xxlnydxx313lnxdxx12313331|224lnxdxxx11()(,)EfxydydxXYxy431132xxdxdyxy142131[]|22xxdxxy621311()4dxxx331(1)455你算对了吗？哪个更容易呢?10例：某商店经销某种商品，每周进货量X与需求量Y是相互独立的随机变量，且都在区间[10,20]上均匀分布。商店每售出一单位商品可获利1000元；若需求量超过进货量，商店可从它处调剂供应，这时每单位商品可获利500元；试计算此商店经销该种商品每周所获得利润的数学期望。1000,(,)500(X+Y),YYXZgXYYX若若解：设Z表示该种商品每周所得的利润，则(,)1100,1020,1020(,)0,XYXYxyfxy和相互独立，因此的概率密度为其他202020101010()(,)(,)10001100500()110014166.7(xxEZgxyfxydxdydxydydxxydy元）数学期望的特性：()()()EaXbYcaEXbEYc将上面三项合起来就是：这一性质可以推广到任意有限个随机变量线性组合的情况()CECC设是常数，则有1.()()XCECXCEX设是一个随机变量，是常数，则有2.,()()()XYEXYEXEY设是两个随机变量，则有3.,()()()XYEXYEXEY设是相互独立的随机变量，则有4.证明：1.()1,()()1CPXCEXECCC是常数，2.()()()()ECXCxfxdxCxfxdxCEX下面仅对连续型随机变量给予证明：19dydxyxfyxYXEyxfYX),()()(),(),()3(，则密度为的概率二维随机变量：设证明dydxyxyfdydxyxxf),(),()()()()(YEXEdyxyfdxxfxYXdydxyxfydxdyyxfx]),([]),([20dydxyxxyfXYEyxfYX),()(),(),()4(，则密度为的概率二维随机变量：设证明dydxyfxxyfXYEYXYX)()()(独立与)()()()(YEXEdyyyfdxxfxYX21定义：定义：111()1,2,,kkkkkkkkkkkXPXxpkxpXEXxpEXxp绝对收设离散型随机变量的分布律为：若级数则称级数的和为随机变量的，数学期记望为即敛，,()()()(())XfxxfxfxdxEXxfxdxxfxdxXEXxdx设连续型随机变量的概率概率为若积分(即)则称积分的值为随机变量的，记为数学期望即绝对收敛数学期望简称期望，又称均值。22(),YXYgXg定理：设是随机变量的函数：是连续函数(),1,2,kkPXxpk11()()[()]()kkkkkkgxpEYEgXgxp若绝对收敛，则有()Xfx是连续型随机变量，它的概率密度为()EYYX定理的在于我们求时，不必算出的分布律重或概率密度，而只要利用的分布律或概率密度就要意义可以了。()()gxfxdx若绝对收敛()(())()()EYEgXgxfxdx则有X是离散型随机变量，它的分布律为：上述定理也可以推广到两个或两个以上随机变量的函数的情况。§2方差设有一批灯泡寿命为：一半约950小时，另一半约1050小时→平均寿命为1000小时；另一批灯泡寿命为：一半约1300小时，另一半约700小时→平均寿命为1000小时；问题：哪批灯泡的质量更好？(质量更稳定)单从平均寿命这一指标无法判断，进一步考察灯泡寿命X与均值1000小时的偏离程度。24我们需要引进一个量来描述r.v.X的取值分散程度，即X的取值与E(X)的偏离程度)(XEX偏离的度量：平均偏离：)(XEXE绝对值（不好研究）25所以我们研究2(())EXEX方差定义设X是一随机变量，2()(())DXEXEX)()(XDX称为标准差或均方差。2(())EXEX若存在，则称之为X的方差。记为D(X)或Var(X)，即方差实际上是一个特殊的函数g(X)=(X-E(X))2的期望对于离散型随机变量X，()1,2,kkPXxpk其分布律为：21()[()]kkkDXxEXp(),fx其概率密度为2()[()]DXEXEX事实上，2()[()]()DXxEXfxdx22()()[()]DXEXEX222()[()]EXXEXEX22()2()()[()]EXEXEXEX22()[()]EXEX