高二期末圆锥曲线复习学案

高二理科数学复习学案信心、兴趣、方法、习惯、心态、毅力1圆锥曲线复习学案（一）一、基础知识1、三种圆锥曲线的研究（1）当0e1时，点P轨迹是椭圆；当e1时，点P轨迹是双曲线；当e=1时，点P轨迹是抛物线。（2）椭圆及双曲线几何定义：椭圆：{P||PF1|+|PF2|=2a，2a|F1F2|0，F1、F2为定点}，双曲线{P|||PF1|-|PF2||=2a，|F1F2|2a0，F1，F2为定点}。（3）圆锥曲线的几何性质：几何性质是圆锥曲线内在的，固有的性质，不因为位置的改变而改变。①定性：焦点在与准线垂直的对称轴上椭圆及双曲线中：中心为两焦点中点；椭圆及双曲线关于长轴、短轴或实轴、虚轴成轴对称，关于中心成中心对称。②定量：椭圆双曲线抛物线焦距无长轴长无无实轴长无无短轴长无通径长离心率基本量关系无（4）圆锥曲线的标准方程及解析量（随坐标改变而变），当焦点在x轴上的方程如下：椭圆双曲线抛物线标准方程1byax2222（ab0）1byax2222（a0，b0）y2=2px（p0）顶点（±a，0）（0，±b）（±a，0）（0，0）焦点（±c，0）（2p，0）中心（0，0）范围|x|≤a|y|≤b|x|≥ax≥0焦半径————|PF|=x0+2p总之研究圆锥曲线，一要重视定义，这是学好圆锥曲线最重要的思想方法，二要数形结合，既熟练掌握方程组理论，又关注图形的几何性质，以简化运算。二、常见结论：1、与双曲线22221xyab(a0,b0),有共同渐近线的双曲线系方程为等轴双曲线的性质：离心率为，渐近线方程为，等轴双曲线可以设为x2-y2=λ≠02、焦点弦的性质焦点弦过pxy220p的焦点弦ＡＢ，Ａ（1x，1y）Ｂ（2x，2y）（1）AB；（2）12yy，12xx，（3）以AB为直径的圆与准线相切（4）抛物线的通径：通过焦点并且垂直于对称轴的直线与抛物线两交点之间的线段叫做抛物线的通径.通径的长为2p,通径是过焦点最短的弦.三、典例剖析题型一:圆锥曲线的定义及方程例1根据下列条件，求双曲线方程：（1）已知双曲线的一条渐进线方程为12yx，且通过点(3,3)A，则该双曲线的标准方程为．（2）与双曲线116922yx有共同渐近线，且过点)32,3(；例2（1）设12,FF分别是椭圆2212516xy的左、右焦点，P为椭圆上任一点，点M的坐标为(3,1)，则2||||PMPF的最大值为．（2）设点P在双曲线116922yx上，若F1、F2为此双曲线的两个焦点，且|PF1|∶|PF2|＝1∶3，求△F1PF2的周长。（3）在抛物线24yx上找一点M，使MAMF最小，其中3,2A，1,0F，求M点的坐标及此时的最小值.题型二：圆锥曲线的性质例3（1）椭圆的两个焦点和短轴的两个顶点，是一个含60角的菱形的四个顶点，求椭圆的离心率；高二理科数学复习学案信心、兴趣、方法、习惯、心态、毅力2xyoxyoxyoxyo（2）设P是椭圆22221(0)xyabab上的一点，12,FF是椭圆的左右焦点，且1260FPF，求椭圆的离心率e的取值范围。四、强化训练1、双曲线22221xyba的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率是（）2、抛物线y=4x2的准线方程是()3、若，则是方程表示双曲线的（）条件A．充分不必要B．必要不充分C．充要条件D．既不充分也不必要4、已知点P在抛物线y2=4x上，那么点P到点Q（2，－1）的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为（）A.（，－1）B.（，1）C.（1，2）D.（1，－2）5、过抛物线24yx的焦点的直线l交抛物线于11(,)Pxy、22(,)Qxy两点，如果126xx，则PQ()6、如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道I绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P点第三次变轨进入以F为圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用12c和22c分别表示椭圆轨道I和Ⅱ的焦距，用12a和22a分别表示椭圆轨道I和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子：①1122;acac②1122;acac③1212;caac④1212.ccaa其中正确式子的序号是（）A．①③B．②③C．①④D．②④7、F1、F2是双曲线的两个焦点，点P在双曲线上，=900，直角的面积是1，则a的值是（）（A）1（B）（C）2（D）8、设ABC△是等腰三角形，120ABC，则以AB，为焦点且过点C的双曲线的离心率为（）A．221B．231C．21D．319、122nymx（m＞n＞0）和双曲线（a＞0,b＞0）有共同的焦点F1、F2,P是两条曲线的一个交点，则等于（）（A）（B）（C）（D）10、已知方程22sinsin2xy表示焦点在y轴上的双曲线，则点cos,sinP在（）A、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限11、已知m,n为两个不相等的非零实数，则方程mx－y+n=0与nx2+my2=mn所表示曲线可能是（）ABCD12、.椭圆131222yx的左右焦点分别为21,FF,点P在椭圆上，如果线段1PF的中点在y轴上，则|1PF|是|2PF|的（）A.7倍B.5倍C.4倍D.3倍13、曲线22212xya的两条渐近线的夹角为3,则双曲线的方程为___________________14、斜率为2的直线l过抛物线2yax的焦点F,且和y轴交于点A,若OAF(O为坐标原点)的面积为4,则抛物线方程为____________15、若点P到点)0,4(F的距离比它到直线05x的距离少1，则动点P的轨迹方程是_________。16、直角坐标系xoy中，已知三角形ABC的顶点A(-4,0)和C(4,0),顶点B在椭圆192522yx上，则BCAsinsinsin____________17、过点（1，6）且与渐近线方程是22yx的双曲线方程是____________18、Rk3k22133xyk41412214xyaa12FPF12FPF52522221xyab12PFPF22mamn21()2ma2()ma高二理科数学复习学案信心、兴趣、方法、习惯、心态、毅力3圆锥曲线复习学案（二）一、知识与方法（一）直线和圆锥曲线位置关系1、位置关系判断：△法（△适用对象是二次方程，二次项系数不为0）。将直线方程与圆锥曲线方程联立消去y（或消去x）得：20axbxc或20aybyc（1）0相交；（2）0相切；（3）0相离其中直线和曲线只有一个公共点，包括直线和双曲线相切及直线与双曲线渐近线平行两种情形；后一种情形下，消元后关于x或y方程的二次项系数为0。直线和抛物线只有一个公共点包括直线和抛物线相切及直线与抛物线对称轴平行等两种情况；后一种情形下，消元后关于x或y方程的二次项系数为0。直线和圆锥曲线相交时，交点坐标就是方程组的解。当涉及到弦的中点时，通常有两种处理方法：一是韦达定理；二是点差法。（2）直线与圆锥曲线相交而产生的弦长问题、中点问题、范围问题、最值问题等（二）圆锥曲线的定值、最值问题（1）圆锥曲线中的定点、定值问题往往与圆锥曲线中的“常数”有关。（2）圆锥曲线中的最值问题，通常有两类：一类是有关长度、面积等的最值问题；一类是圆锥曲线中有关几何元素的最值问题二、例题讲解题型一：弦长问题例1、已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的一个长轴顶点为A（2，0），离心率为，直线y=k（x﹣1）与椭圆C交于不同的两点M，N.（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）当△AMN的面积为时，求k的值．题型二：最值、定值问题例2、知椭圆的离心率为，且过点；若点在椭圆上，则点称为点的一个“椭点”．（I）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）若直线与椭圆相交于两点，且两点的“椭点”分别为，以为直径的圆经过坐标原点，试判断的面积是否为定值？若为定值，求出定值；若不为定值，说明理由．例3、已知椭圆2222:1(0)xyCabab经过点(2,1)A，离心率为22．过点(3,0)B的直线l与椭圆C交于不同的两点,MN．（1）求椭圆C的方程；（2）求BMBN的取值范围.高二理科数学复习学案信心、兴趣、方法、习惯、心态、毅力4题型三：直线过定点问题题型四：抛物线的综合问题例51.已知过抛物线焦点的直线l与抛物线24yx相交于点A、B，如果线段AB的长等于5，求直线l方程。（注意技巧）2.如图，已知抛物线y2=4x，过点P（2，0）作斜率分别为k1，k2的两条直线，与抛物线相交于点A、B和C、D，且M、N分别是AB、CD的中点（1）若k1+k2=0，，求线段MN的长；（2）若k1•k2=﹣1，求△PMN面积的最小值．三、强化训练1、过P(3,4)点与双曲线116922yx有且仅有一个公共点的直线的条数是________．2、过双曲线2212yx的右焦点2F作直线l交双曲线于A、B两点，若2AB，则这样的直线l有.A1条.B2条.C3条.D不存在3、抛物线2yx上的点到直线4380xy距离的最小值是（）A．43B．75C．85D．34、一抛物线拱桥，当水面离桥顶2m时，水面宽4m,若水面下降1m时，则水面宽为（）A.6mB.26mC.4.5mD.9m5、AB是过抛物线yx2的焦点的弦，且|AB|=4，则AB中点到直线y+1=0的距离是（）A.25B.2C.411D.36、若直线y=kx与双曲线14922yx相交，则k的取值范围为（）A.)32,32(B.),32()32,(C.)23,23(D.),23()23,(7、以椭圆141622yx内的点M(1,1)为中点的弦所在直线的方程是。例4、高二理科数学复习学案信心、兴趣、方法、习惯、心态、毅力5例2解：(I)解：由题意知，∴，即又........2分∴，椭圆的方程为........4分(II)设，则由于以为直径的圆经过坐标原点，所以即.......5分由得，，.........7分代入即得：，,........9分，........11分把代入上式得........12分例5（2）解：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），不妨设y1＞0，则设直线AB的方程为y=k1（x﹣2），代入y2=4x，可得y2﹣y﹣8=0,…………………………1分∴y1+y2=，y1y2=﹣8，…………………………2分∵，∴y1=﹣2y2，………………………….3分∴y1=4，y2=﹣2，∴yM=1，…………….….…………4分∵k1+k2=0，∴线段AB和CD关于x轴对称，∴线段MN的长为2；…………….5分（2）∵k1•k2=﹣1，∴两直线互相垂直，设AB：x=my+2，则CD：x=﹣y+2，x=my+2代入y2=4x，得y2﹣4my﹣8=0，则y1+y2=4m，y1y2=﹣8，………………………7分∴M（2m2+2，2m）．………………………….8分同理N（+2，﹣），………………………….9分∴|PM|=2|m|•，|PN|=•，|…………………….10分∴S△PMN=|PM||PN|=（m2+1）=2（|m|+）≥4，当且仅当m=±1时取等号，…….11分∴△PMN面积的最小值为4．……………………….12分