离散数学第七讲群、环、域

1一、群的定义和性质定义1：群〈G,*〉是一代数系统,其中二元运算*满足:(1)运算*是可结合的；(2)存在么元e(3)对每一a∈G,存在一个元素a-1,使a-1*a=a*a-1=e如〈Q,×,1〉〈Q+,×,1〉〈{1},×，1〉6.7群不是群（0无逆元）是群是群2定义2：如果G是有限集合,则称〈G,*〉是有限群;如果G是无限集合,则称〈G,*〉是无限群。有限群G的基数|G|称为群的阶数如〈{1},×〉是有限群，阶数为1；〈I,+〉是无限群。定义3：如果群〈G,*〉中的运算*是可交换的,则称该群为可交换群,或称阿贝尔群。如〈I,+〉是阿贝尔群。一、群的定义和性质3例1：①〈Q+,×,1〉②设A是任一集合,P表示A上的双射函数集合,”。”表示函数合成，“-1”表示求逆运算，〈P,。,-1,IA〉③〈N,max〉④代数〈Nk,+k,-1,0〉代数〈Nk,×k〉一、群的定义和性质是Abel群是一个群,通常这个群不是阿贝尔群。是群,这里x-1=k-x不是群,因为0元素没有逆元不是群。运算max和min一般地不能用作群的二元运算,因为如果载体多于一个元素,逆运算不能定义。4群是半群和独异点的特定情况,有关半群和独异点的性质在群中也成立,群的性质还有：定理1:如果〈G,*〉是一个群,则对于任何a、b∈G,(a)存在一个唯一的元素x,使得a*x=b(b)存在一个唯一的元素y,使得y*a=b证：(a)至少有一个x满足a*x=b,即x=a-1*b,因为a*(a-1*b)=(a*a-1)*b=e*b=b如果x是G中满足a*x=b的任意元素,则x=e*x=(a-1*a)*x=a-1*(a*x)=a-1*b所以,x=a-1*b是满足a*x=b的唯一元素。(b)同理可证。一、群的定义和性质5定理2：如果〈G,*〉是一个群,则对于任何a、b、c∈G,证：因为群的每一元素都有逆元,定理3证：如果x是等幂元素,则么元是群中唯一等幂元素。cbacabbcbcabaa)()(exxxxxxxxxex111)()(一、群的定义和性质6定理4：群〈G,*〉的运算表中的每一行或每一列都是G中证：i)首先,证明运算表中的行或列所含G的一个元素不可能多于一次。（反证法）如果对应于元素a∈Ｇ的那一行中有两个元素都是k,即a*b1=a*b2=k,根据定理2有b1=b2,而b1≠b2,矛盾。对于列也一样可以证明。一、群的定义和性质7定理4：群〈G,*〉的运算表中的每一行或每一列都是G中证：ii)其次,要证明G的每一个元素都在运算表的每一行和每一列中出现。考察对应于元素a的那一行,设b是G中的任一元素,由于b=a*(a-1*b),所以b必定出现在对应于a的那一行中。对于列也可同样证明。一、群的定义和性质8定理4：群〈G,*〉的运算表中的每一行或每一列都是G中证：iii)最后,因为〈G,*〉中含有么元,所以没有两行综合以上结果便得出:运算表中每一行都是G的元素的一个置换,并且每一行都是不同的置换。同样的结论适合于列。证毕。定理5：群中没有零元。一、群的定义和性质9定理6:如果〈G,*〉是一个群,则对于任何a、b∈G,(a*b)-1=b-1*a-1证:由于(a*b)*(b-1*a-1)=a*(b*b-1)*a-1=a*a-1=e而这里逆元是唯一的,所以(a*b)-1=b-1*a-1。推论：思考：一阶群、二阶群、三阶群各有几个？1112111121...)...(aaaaaaannn一、群的定义和性质10为了继续介绍群的性质,我们首先定义群〈G,*〉的任意元素a的幂。如果n∈N,则由以上定义可知,对任意m、k∈I,am,ak都是有意义的,另外群中结合律成立,不难证明以下指数定律成立:nnnnaaaaaea)(110mkkmkmkmaaaaa)((m、k∈I)(m、k∈I)一、群的定义和性质11定义4:设〈G,*〉是一个群,且a∈G,如果存在正整数n使an=e,则称元素的阶是有限的,最小的正整数n称为元素a的阶。如果不存在这样的正整数n,则称元素a具有无限阶如：①群的么元e的阶？②群〈I,+〉中各元素的阶？一、群的定义和性质1么元0的阶为1，非零元素有无限阶。12定理7：如果群〈G,*〉的元素a拥有一个有限阶n,则ak=e,当且仅当k是n证:充分性：设k、m、n是整数。如果k=mn,则ak=amn=(an)m=em=e必要性：假定ak=e,且k=mn+t,0≤t＜n,于是at=ak-mn=ak*a-mn=e*(an)-m=e*e-m=e由定义可知,n是使an=e的最小正整数,而0≤t＜n,所以t=0,得k=mn。证毕。这样,如果an=e,并且没有n的因子d(1＜d＜n)能使ad=e,则n是元素a的阶。例如,如果a8=e,但a2≠e,a4≠e,则8必定是a的阶。一、群的定义和性质13定理8:群中的任一元素和它的逆元具有同样的阶。证:设a∈G具有有限阶n,即an=e,(a-1)n=a-1·n=(an)-1=e-1=e如果(a-1)的阶是m,则m≤n。am=[(a-1)m]-1=e-1=e因而n≤m,故m=n。一、群的定义和性质14定理9:在有限群〈G,*〉中,每一个元素具有一有限阶,且阶数至多是|G|证:设a是〈G,*〉中任一元素。在序列a,a2,a3,…,a|G|+1中至少有两元素是相等的,不妨设ar=as,这里1≤s＜r≤|G|+1。因为ar-s=ar*a-s=ar*a-r=ar-r=a0=e所以,a的阶数至多是r-s≤|G|。证毕。一、群的定义和性质15定义5：给定n个元素组成的集合A,A上的置换所构成的群称为n次置换群;A上所有置换构成的群称为n次对称群。定义6：在群〈G,*〉中,如果存在一个元素g∈G,对于每一个元素a∈G都有一个相应的i∈I,能把a表示成gi形式,则称〈G,*〉是一个循环群，g是该循环群的生成元。例：①〈I,+〉②A={0,1,2,3},〈A,+4〉定理10：每个循环群是可交换的。二、置换群和循环群是循环群，生成元为1，-1是循环群，生成元为1和316定理11：设〈G,*〉是由g∈G生成的有限循环群,如果|G|=n,则gn=e,G={g,g2,g3,…,gn=e}且n是使gn=e证:(1)先证n是使gn=e的最小正整数。假定有正整数m＜n使gm=e,则对G中任一元素gk,设k=mq+r,0≤r＜m,gk=gmq+r=(gm)q*gr=e*gr=gr这意味着G中每一元素都可写成gr形式,但r＜m,所以G中至多有m个不同元素,这与|G|=n矛盾。所以gm=e而m＜n是不可能的。二、置换群和循环群17定理11：设〈G,*〉是由g∈G生成的有限循环群,如果|G|=n,则gn=e,G={g,g2,g3,…,gn=e}且n是使gn=e证:(2)再证{g,g2,g3,…,gn}中的元素全不相同。若有gi=gj,不妨设i＜j,于是gj-i=e。但j-i＜n,这与n是使gn=e由于〈G,*〉是群,所以G={g,g2,g3,…,gn},又由(1)得gn=e。证毕。二、置换群和循环群18定义7:设〈G,*〉是一个群,S是G的非空子集,并满足以下条件:(1)对任意a、b∈S有a*b∈S;(2)对任意a∈S有a-1∈S;(3)e∈S,e是〈G,*〉的么元,则称〈S,*〉是〈G,*〉的子群。如〈I,+〉是〈R,+〉的子群，〈N,+〉不是。任意群〈G,*〉均有两个平凡子群：〈{e},*〉和〈G,*〉。三、子群19定理12：设〈G,*〉是个群,S⊆G,如果(1)若a、b∈S,则a*b∈S,(2)若a∈S,则a-1∈S。那么〈S,*〉是〈G,*〉证：对任意元素a∈S,由(2)得a-1∈S,再由(1)得a*a-1=e∈S。所以,〈S,*〉是〈G,*〉的子群。三、子群20定理13：设〈G,*〉是一个有限群,如果对任意元素a、b∈S,有a*b∈S,那么〈S,*〉是〈G,*〉证:设a是S的任一元素,则a∈G,根据定理“有限群中每一个元素有一有限阶”可知a具有阶数r,由于S对运算*的封闭性,所以a1,a2,…,ar全在S中,即ar-1=ar*a-1=e*a-1=a-1也在S中,这就证明了若a∈S,则a-1∈S。根据上面定理12,得出〈S,*〉是〈G,*〉的子群。三、子群21定理14：设〈G,*〉是一个群,S是G的非空子集，如果对于S中的任意元素a、b,有a*b-1∈S,那么〈S,*〉是〈G,*〉证:(1)∵S非空，∴存在a∈S,∴a*a-1∈S,又∵a*a-1=e,∴e∈S；(2)对任意a∈S,∵e∈S,又∴e*a-1∈S；∴a-1∈S；(3)对任意a、b∈S,∵b-1∈S,∴a*(b-1)-1∈S,∵a*(b-1)-1=a*b,∴a*b∈S。得证。三、子群22定义8:设〈G,*〉和〈H,*′〉是两个群,映射h:G→H称为从〈G,*〉到〈H,*′〉的群同态,如果对任意a、b∈G,(1)h(a*b)=h(a)*′h(b)(2)h(eG)=eH(3)h(a-1)=[h(a)]-1(2)∵h(eG)=h(eG*eG)=h(eG)*′h(eG)∵群中只有么元是等幂的,∴h(eG)=eH。(3)∵h(a)*′h(a-1)=h(a*a-1)=h(eG)=eHh(a-1)*′h(a)=h(a-1*a)=h(eG)=eH∴h(a-1)=［h(a)］-1。四、群同态可以省略23定义9:设h是从〈G,*〉到〈H,*′〉的群同态,如果G的一个子集K的每一元素都被映入H的么元eH,再没有其它元素映入eH,则K称为同态h的核,记为ker(h)。定理15：从群〈G,*〉到群〈H,*′〉的同态h的核ker(h)形成群〈G,*〉证：(a)如果a、b∈ker(h),那么h(a)=h(b)=eHh(a*b)=h(a)*′h(b)=eH*′eH=eH所以,a*b∈ker(h),即ker(h)对运算*(b)如果a∈ker(h),则h(a-1)=［h(a)］-1=eH-1=eH,所以,a-1∈ker(h)。证毕。四、群同态24定义10：设〈H,*〉是群〈G,*〉的子群,我们称集合aH={a*h|h∈H}为元素a∈G所确定的子群〈H,*〉的左陪集。元素a称为左陪集aH的表示元素。我们称集合Ha={h*a|h∈H}为元素a∈G所确定的子群〈H,*〉的右陪集。元素a称为右陪集Ha注意：表示元素一定在它所确定的陪集内。表示元素相同的左右陪集未必相等。五、陪集和拉格朗日定理25例：I,+是R,+的子群，则3I=I，5I=I，0.5I={+0.5,+1.5,+2.5,…}。例：设G=R×R，R为实数集，G上的一个二元运算+定义为x1,y1+x2,y2=x1+x2,y1+y2，显然，G,+是一个具有么元0,0的阿贝尔群。设H={x,y|y=2x}，则H,+是G,+的子群。对于x0,y0∈G,H关于x0,y0的左陪集为x0,y0H。几何意义为：G是笛卡尔平面，H是通过原点的直线y=2x，陪集x0,y0H是通过点x0,y0的且平行于H的直线。五、陪集和拉格朗日定理26定理16：设〈H,*〉是群〈G,*〉的子群,aH和bH是任意两个左陪集,那么,或aH=bH或aH∩bH=∅。证：假定aH∩bH≠∅,则存在元素c∈aH∩bH,于是存在h1、h2∈H,使c=a*h1=b*h2,因此,a=b*h2*h1-1。设x是aH中任一元素,于是存在h3∈H使x=a*h3,因而x=b*h2*h1-1*h3,因为h2*h1-1*h3∈H,所以x是bH中的一个元素。同理可证bH的任一元素是aH中的一个元素。这样,aH=bH。又aH和bH都是非空集合,aH=bH和aH∩bH=∅不可兼得。所以定理得证。五、陪集和拉格朗日定理27定理17：H证：∵对任意a∈G,h1，h2∈H,若h1≠h2，必有a*h1≠a*h2,∴aH中没有相同的元素，∴|aH|=|H|。∵a是任意的，∴H的任意陪集的大小是相等的。注：H的左陪集集合构