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12011年北京市高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．（5分）（2011•北京）已知全集U=R，集合P={x|x2≤1}，那么∁UP=（）A．（﹣∞，﹣1]B．[1，+∞）C．[﹣1，1]D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）【考点】补集及其运算．菁优网版权所有【专题】集合．【分析】先求出集合P中的不等式的解集，然后由全集U=R，根据补集的定义可知，在全集R中不属于集合P的元素构成的集合为集合A的补集，求出集合P的补集即可．【解答】解：由集合P中的不等式x2≤1，解得﹣1≤x≤1，所以集合P=[﹣1，1]，由全集U=R，得到CUP=（﹣∞，1）∪（1，+∞）．故选D【点评】此题属于以不等式的解集为平台，考查了补集的运算，是一道基础题．2．（5分）（2011•北京）复数=（）A．iB．﹣iC．D．【考点】复数代数形式的混合运算．菁优网版权所有【专题】数系的扩充和复数．【分析】将分子、分母同乘以1﹣2i，再按多项式的乘法法则展开，将i2用﹣1代替即可．【解答】解：==i故选A【点评】本题考查复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数；再按多项式的乘法法则展开即可．3．（5分）（2011•北京）如果那么（）A．y＜x＜1B．x＜y＜1C．1＜x＜yD．1＜y＜x【考点】对数函数的单调性与特殊点．菁优网版权所有【专题】函数的性质及应用．【分析】本题所给的不等式是一个对数不等式，我们要先将不等式的三项均化为同底根据对数函数的单调性，即可得到答案．【解答】解：不等式可化为：又∵函数的底数0＜＜12故函数为减函数∴x＞y＞1故选D【点评】本题考查的知识点是对数函数的单调性与特殊点，其中根据对数函数的性质将对数不等式转化为一个整式不等式是解答本题的关键．4．（5分）（2011•北京）若p是真命题，q是假命题，则（）A．p∧q是真命题B．p∨q是假命题C．﹁p是真命题D．﹁q是真命题【考点】复合命题的真假．菁优网版权所有【专题】简易逻辑．【分析】根据题意，由复合命题真假表，依次分析选项即可作出判断．【解答】解：∵p是真命题，q是假命题，∴p∧q是假命题，选项A错误；p∨q是真命题，选项B错误；￢p是假命题，选项C错误；￢q是真命题，选项D正确．故选D．【点评】本题考查复合命题的真假情况．5．（5分）（2011•北京）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是（）A．32B．16+16C．48D．16+32【考点】由三视图求面积、体积．菁优网版权所有【专题】立体几何．【分析】根据所给的三视图得到四棱锥的高和底面的长和宽，首先根据高做出斜高，做出对应的侧面的面积，再加上底面的面积，得到四棱锥的表面积．【解答】解：由题意知本题是一个高为2，底面是一个长度为4的正方形的四棱锥，过顶点向底面做垂线，垂线段长是2，过底面的中心向长度是4的边做垂线，连接垂足与顶点，得到直角三角形，得到斜高是2，∴四个侧面积是，底面面积是4×4=16，∴四棱锥的表面积是16+16，故选：B．【点评】本题考查有三视图求表面积和体积，考查由三视图得到几何图形，考查简单几何体的体积和表面积的做法，本题是一个基础题．36．（5分）（2011•北京）执行如图所示的程序框图，若输入A的值为2，则输入的P值为（）A．2B．3C．4D．5【考点】循环结构．菁优网版权所有【专题】算法和程序框图．【分析】根据输入A的值，然后根据S进行判定是否满足条件S≤2，若满足条件执行循环体，依此类推，一旦不满足条件S≤2，退出循环体，求出此时的P值即可．【解答】解：S=1，满足条件S≤2，则P=2，S=1+=满足条件S≤2，则P=3，S=1++=满足条件S≤2，则P=4，S=1+++=不满足条件S≤2，退出循环体，此时P=4故选：C【点评】本题主要考查了当型循环结构，循环结构有两种形式：当型循环结构和直到型循环结构，当型循环是先判断后循环，直到型循环是先循环后判断．7．（5分）（2011•北京）某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品（）A．60件B．80件C．100件D．120件【考点】函数模型的选择与应用．菁优网版权所有【专题】函数的性质及应用．【分析】若每批生产x件，则平均仓储时间为天，可得仓储总费用为，再加上生产准备费用为800元，可得生产x件产品的生产准备费用与仓储费用之和是=元，由此求出平均每件的生产准备费用与仓储费用之和，再用基本不等式求出最小值对应的x值4【解答】解：根据题意，该生产x件产品的生产准备费用与仓储费用之和是=这样平均每件的生产准备费用与仓储费用之和为（x为正整数）由基本不等式，得当且仅当时，f（x）取得最小值、可得x=80时，每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小故答案为B【点评】本题结合了函数与基本不等式两个知识点，属于中档题，运用基本不等式时应该注意取等号的条件，才能准确给出答案．8．（5分）（2011•北京）已知点A（0，2），B（2，0）．若点C在函数y=x2的图象上，则使得△ABC的面积为2的点C的个数为（）A．4B．3C．2D．1【考点】抛物线的应用．菁优网版权所有【专题】函数的性质及应用．【分析】本题可以设出点C的坐标（a，a2），求出C到直线AB的距离，得出三角形面积表达式，进而得到关于参数a的方程，转化为求解方程根的个数（不必解出这个跟），从而得到点C的个数．【解答】解：设C（a，a2），由已知得直线AB的方程为，即：x+y﹣2=0点C到直线AB的距离为：d=，有三角形ABC的面积为2可得：=|a+a2﹣2|=2得：a2+a=0或a2+a﹣4=0，显然方程共有四个根，可知函数y=x2的图象上存在四个点（如上面图中四个点C1，C2，C3，C4）使得△ABC的面积为2（即图中的三角形△ABC1，△ABC2，△ABC3，△ABC4）．故应选：A5【点评】本题考查了截距式直线方程，点到直线的距离公式，三角形的面积的求法，就参数的值或范围，考查了数形结合的思想二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9．（5分）（2011•北京）在△ABC中．若b=5，，sinA=，则a=．【考点】正弦定理．菁优网版权所有【专题】解三角形．【分析】直接利用正弦定理，求出a的值即可．【解答】解：在△ABC中．若b=5，，sinA=，所以，a===．故答案为：．【点评】本题是基础题，考查正弦定理解三角形，考查计算能力，常考题型．10．（5分）（2011•北京）已知双曲线（b＞0）的一条渐近线的方程为y=2x，则b=2．【考点】双曲线的简单性质．菁优网版权所有6【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】利用双曲线的标准方程写出其渐近线方程是解决本题的关键，根据已知给出的一条渐近线方程对比求出b的值．【解答】解：该双曲线的渐近线方程为，即y=±bx，由题意该双曲线的一条渐近线的方程为y=2x，又b＞0，可以得出b=2．故答案为：2．【点评】本题考查根据双曲线方程求解其渐近线方程的方法，考查学生对双曲线标准方程和渐近线方程的认识和互相转化，考查学生的比较思想，属于基本题型．11．（5分）（2011•北京）已知向量=（，1），=（0，﹣1），=（k，）．若与共线，则k=1．【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．菁优网版权所有【专题】平面向量及应用．【分析】利用向量的坐标运算求出的坐标；利用向量共线的坐标形式的充要条件列出方程，求出k的值．【解答】解：∵与共线，∴解得k=1．故答案为1．【点评】本题考查向量的坐标运算、考查向量共线的坐标形式的充要条件：坐标交叉相乘相等．12．（5分）（2011•北京）在等比数列{an}中，a1=，a4=﹣4，则公比q=﹣2；a1+a2+…+an=．【考点】等比数列的性质；等比数列．菁优网版权所有【专题】等差数列与等比数列．【分析】根据等比数列的性质可知，第4项比第1项得到公比q的立方等于﹣8，开立方即可得到q的值，然后根据首项和公比，根据等比数列的前n项和的公式写出此等比数列的前n项和Sn的通项公式，化简后即可得到a1+a2+…+an的值．【解答】解：q3==﹣8∴q=﹣2；7由a1=，q=﹣2，得到：等比数列的前n项和Sn=a1+a2+…+an==．故答案为：﹣2；【点评】此题考查学生掌握等比数列的性质，灵活运用等比数列的前n项和公式化简求值，是一道基础题．13．（5分）（2011•北京）已知函数若关于x的方程f（x）=k有两个不同的实根，则数k的取值范围是（0，1）．【考点】根的存在性及根的个数判断．菁优网版权所有【专题】函数的性质及应用．【分析】要求程f（x）=k有两个不同的实根是数k的取值范围，根据方程的根与对应函数零点的关系，我们可以转化为求函数y=f（x）与函数y=k交点的个数，我们画出函数的图象，数形结合即可求出答案．【解答】解：函数的图象如下图所示：由函数图象可得当k∈（0，1）时方程f（x）=k有两个不同的实根，故答案为：（0，1）【点评】本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，其中根据方程的根与对应函数零点的关系，将方程问题转化为函数问题是解答的关键．814．（5分）（2011•北京）设A（0，0），B（4，0），C（t+4，3），D（t，3）（t∈R）．记N（t）为平行四边形ABCD内部（不含边界）的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则N（0）=6，N（t）的所有可能取值为6、7、8．【考点】二元一次不等式（组）与平面区域．菁优网版权所有【专题】不等式的解法及应用．【分析】作出平行四边形，结合图象得到平行四边形中的整数点的个数．【解答】解：当t=0时，平行四边形ABCD内部的整点有（1，1）；（1，2）；（2，1）；（2，2）；（3，1）；（3，2）共6个点，所以N（0）=6作出平行四边形ABCD将边OD，BC变动起来，结合图象得到N（t）的所有可能取值为6，7，8故答案为：6；6，7，8【点评】本题考查画可行域、考查数形结合的数学思想方法．三、解答题（共6小题，满分80分）15．（13分）（2011•北京）已知函数．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期：（Ⅱ）求f（x）在区间上的最大值和最小值．【考点】三角函数的周期性及其求法；两角和与差的余弦函数；三角函数的最值．菁优网版权所有【专题】三角函数的图像与性质．【分析】（Ⅰ）利用两角和公式和二倍角公式对函数的解析式进行化简整理后，利用正弦函数的性质求得函数的最小正周期．（Ⅱ）利用x的范围确定2x+的范围，进而利用正弦函数的单调性求得函数的最大和最小值．【解答】解：（Ⅰ）∵，=4cosx（）﹣19=sin2x+2cos2x﹣1=sin2x+cos2x=2sin（2x+），所以函数的最小正周期为π；（Ⅱ）∵﹣≤x≤，∴﹣≤2x+≤，∴当2x+=，即x=时，f（x）取最大值2，当2x+=﹣时，即x=﹣时，f（x）取得最小值﹣1．【点评】本题主要考查了三角函数的周期性及其求法，三角函数的最值．解题的关键是对函数解析式的化简整理．16．（13分）（2011•北京）以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵树．乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X表示．（1）如果X=8，求乙组同学植树棵树的平均数和方差；（注：方差，其中的平均数）（2）如果X=9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数为19的概率．【考点】茎叶图；众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差．菁优网版权所有【专题】概率与统计．【分析】（1）根据所给的这组数据，利用求平均数的公式，把所有的数据都相加，再除以4，得到平均数，代入求方差的公式，做出方差．（2）本题是一个等可能事件的概率．分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，共有16种结果，满足条件的事件是这两名同学的植树总棵数为19，可以列举出共有4种结果，根据等可能事件的概率公式得到结果．【解答】解：（1）当X=8时，由茎叶图可知乙