第二章-交流电机坐标变换

第二章交流电机的坐标变换2-1:变换概述2-2:循环矩阵的对角化2-3：1、2、0及F、B、0坐标系统2-4:α、β、0坐标系统2-5:d、q、0坐标系统2-6:dc、qc、0坐标系统2-7:任意速坐标系统2-8:结论2-1:变换概述一个电机系统的磁链方程可以写成：ILΦNBANNBNABNBBAANABANBAiiiLMMMLMMML假定存在一个非奇异矩阵T，将Φ变换成Φc，将I变换成Ic：nccncciii2121,,IITIΦΦTΦ新的磁链φ1、φ2、…、φn称为实际磁链φA、φB、…、φN的分量；同样i1、i2、…、in称为实际电流的分量。TLTLILΦTILTΦTILTΦ11cccccccc所以或者其中如果变换T明显使得新的电感矩阵Lc较变换前的电感矩阵L简单，这个变换才是有意义的。如果Lc变成一个对角矩阵，那这个变换是最理想的：ccnnnciiiLLLILΦ212121000000利用这个变换，磁链方程变成：2-2:循环矩阵的对角化1.电感矩阵的特点2.循环矩阵的对角化3.电感矩阵的对角化4.变换矩阵的一般化5.三阶循环对称电感矩阵的变换2-2.1电感矩阵的特点#由于互感的对等性，电感矩阵是对称矩阵：NCNBNANCNCBCACBNBCBABANACABALMMMMLMMMMLMMMMLL由于Mij=Mji,n阶对称矩阵中只有n(n+1)/2各不同的元素。#n相对称系统的电感矩阵是循环的n相对称系统中各相自感相等，相同相对位置的两相间的互感相等。即：1,1,,jijijiMMLL这样的矩阵称为循环矩阵。n阶循环矩阵只有n个不同的元素：AADACABALAANAMAMABAANANACABALMMMMLMMMMLMMMMLL若n阶循环矩阵又是对称的，则根据n是奇数或偶数，其中只有(n+1)/2或(n+2)/2个不同的元素。#最简单的循环矩阵00001100000010000010π不难证明，循环电感矩阵可以表示成12nANACABAMMMLπππ1L根据矩阵理论，任何可以对角化矩阵π的变换T，也可以对角化循环矩阵L。矩阵π称为置换矩阵。2-2.2循环矩阵的对角化n阶置换矩阵π的n个特征根由下面特征方程给出：12112111231221,,,,xxxxxxxxxxxxxxxxXnnnnnnnTnXπX或者因此这样，矩阵π的n个特征根由下式给出：01n解这个方程得到n个特征根：1,,2,1,0,2nkekjkn若记kkjaean2则为求与特征根λk对应的特征向量，将之代入特征方程，并令，得Tnkkkkn1211X按k=n-1,n-2,…,1,0的顺序，将各特征根代入上式就得到n个特征向量。nx/11111111111)2)(1()1)(1(2)2(2)1(221nnnnnnnnnaaaaaaaaanF这个变换矩阵将使置换矩阵π变成如下的对角矩阵：1000000000000211aaannπFFDn个特征向量构成了如下的变换矩阵：n个特征向量构成了如下的变换矩阵：2-2.3电感矩阵的对角化11FDFππFFD由此可以推导得12112}{}{FFDFDFFDFπ同样地111133FFDπFFDπnn，，112)(FDDD1FLnANACABAMMML这样变换后的电感矩阵121nANACABATMMMLDDD1LFFL由于D，D2，…，Dn-1是对角矩阵，因此LT也是一个对角矩阵：ANACABAnANACABAnnANnACnABAnnANnACnABATMMMLaMaMaMLaMaMaMLaMaMaML)1(2)2)(1()2(22)1)(1()1(21diagL2-2.4变换矩阵的一般化若在生成特征向量时，不是令x1=1，而是令其等于一个模为1的复数，则Tnkkkjkke121X由此得到更加一般化的变换矩阵01210121012101211)2)(1()1)(1(2)2(2)1(2211jjnjnnjnnjjjnjnjjjnjnjjjjgeeaeaeaeeaeaeaeaeeaeaeeeennnnnnnnnF式中ζ0，ζ1，…，ζn-1可以是常数，或是一个变量，如时间t，的函数。2-2.5三阶循环对称电感矩阵的变换对于一个三阶的循环矩阵，其变换矩阵为1111131111113122242aaaaaaaaF若同时电感矩阵是对称的，如隐极电机定子绕组的电感矩阵：000000000SSSSSSSSSLMMMLMMMLL它的特征根由一个单重根λ1和一个两重根λ2构成：00320012SSSSMLML与这三个特征根对应的特征向量33333222221111,,XXX因此变换矩阵为：13322132132F为保证变换矩阵的可逆，上式中3232//2-3：1、2、0及F、B、0坐标系统1、2、0坐标系统F、B、0坐标系统2-3.1:1、2、0坐标系统1111122aaaaF从a、b、c坐标或相坐标系统到1、2、0坐标系统的变换矩阵除一个系数外，就是前面曾导得的矩阵F11201201202202112012012002122111113111111）（abcabcabcabccbaabccbaabciiiaaaaiiiiiiaaaaiiiCCICIICI也就是说或者变换逆变换#对于隐极电机定子电感矩阵为000000000SSSSSSSSSSSLMMMLMMMLL变换后的电感矩阵为：00000012000000SSSSSSSTMLMLMLLFFL#120分量法与惯用的对称分量法在基本形式上是一样的。但120坐标变换中ia、ib、ic是瞬时值；而对称分量法中是随时间做正弦变化的复数时间向量。cbaIII、、＃使变换前后的功率保持不变变换矩阵的系数1/3是根据使变换前后的电压或电流幅值保持不便来选择的。但这样的变换不能保持变换前后的功率不变。为使变换前后的功率不变，变换矩阵应为：1111131,111113122122aaaaaaaaTT这时，变换矩阵满足条件T)(*1TT既逆变换矩阵等于变换矩阵的共轭矩阵的转置。2-3.2F、B、0坐标系统如在变换矩阵的一般化中所述，变换矩阵也可以取为：11122jjjjjjeaaeaeeaeeF如果上式中的θ就是转子的位置，则这个变换与120变换的区别在于：120变换将坐标轴固定在定子轴线上，而FB0变换则将坐标轴固定在转子上。习惯采用的FB0变换矩阵的系数与F有所不同abcabcFBcbajjjjjjBFFBiiiaeeaeeaaeeiiiICI0212121220032逆变换为：10000022)(22221abcFBFBabcFBFBabcBFjjjjjjcbaabciiieaaeaeeaeeiiiCCICIFB0变换与120变换的关系为：2/2/,222121jBjFjBjFeiieiieiieii2-4:α、β、0坐标系统13322132132F在2-2节中曾讲到，对于三阶循环对称矩阵，可以采用如下的变换若选择2/3;0;2/1;1;13322112/32/112/32/1101F得αβ０变换的算式000100}{12/32/112/32/1101ICICIabcabccbaabciiiiiiabcabccbaiiiiiiICI0002/12/12/12/32/302/12/1132由于电机中性点一般不接地，故零序电流等于零。这样就可以用α、β两个绕组取代原先的a,b,c三个绕组。0α、β、0坐标系0分量在各种坐标系统中基本都是一样的。常为0。#使变换前后的功率保持不变习惯采用的变换矩阵使变换前后幅值保持不变。为使变换前后功率保持不变，可采用下面的变换矩阵Tabcabcabcabc)()(2/12/12/12/32/302/12/113201000CCCC#αβ0变换与120变换的关系212111,1121iijjiiiijjii2-5:d、q、0坐标系统2/12/12/1)3/2sin()3/2sin(0sin)3/2cos()3/2cos(0cos320abcCαβ0坐标变换矩阵也可以写成：假定让αβ轴逆时针方向转过θ角度，则相应地变换矩阵变成：2/12/12/1)3/2sin()3/2sin(sin)3/2cos()3/2cos(cos32C如果θ就是转子的位置，随着转子旋转而变化，就得到dq0坐标的变换矩阵。可见，dq0坐标系统与αβ0坐标系统的不同在于：αβ0坐标系统固定在定子上，α轴与a轴重合；而dq0坐标系统固定在转子上，d轴与转子直轴重合。2/12/12/1)3/2sin()3/2sin(sin)3/2cos()3/2cos(cos320abcdqC1)3/2sin()3/2cos(1)3/2sin()3/2cos(1sincos0dqabcC变换矩阵：反变换矩阵：Tqddqodqodqabcabcabcabcdqdqoiii000,IICIICI计算式：#恒功率变换Tabcdqabcdqdqabcabcdq)()(2/12/12/1)3/2sin()3/2sin(sin)3/2cos()3/2cos(cos3201000CCCC惯用的变换是恒相幅值变换。恒功率变换应将变换矩阵改成：dq0坐标变换通常又称为派克(Park)变换。qdqdiiiiiiiicossinsincoscossinsincos#dq0