40分钟课时作业--双曲线的简单几何性质(二)-答案

40分钟课时作业双曲线的简单几何性质(二)一、选择题1.以椭圆x2169＋y2144＝1的右焦点为圆心，且与双曲线x29－y216＝1的渐近线相切的圆的方程是()A.x2＋y2－10x＋9＝0B.x2＋y2－10x－9＝0C.x2＋y2＋10x＋9＝0D.x2＋y2＋10x－9＝0答案A解析椭圆右焦点F(5,0)，双曲线的渐近线方程为y＝±43x，则焦点F到y＝43x的距离为4，所以圆的方程为(x－5)2＋y2＝16，即x2＋y2－10x＋9＝0.2.设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|为C的实轴长的2倍，则C的离心率为()A.2B.3C.2D.3答案B解析设双曲线的标准方程为x2a2－y2b2＝1(a0，b0).∵直线l过双曲线的焦点且与对称轴垂直，∴直线l的方程为x＝c或x＝－c，代入x2a2－y2b2＝1，得y2＝b2c2a2－1＝b4a2，∴y＝±b2a，故|AB|＝2b2a.依题意2b2a＝4a，∴b2a2＝2，∴c2－a2a2＝e2－1＝2，∴e＝3.3.双曲线y2b2－x2a2＝1(ab0)的一条渐近线与椭圆x2a2＋y2b2＝1交于点M，N，则|MN|等于()A.a＋bB.2aC.2a2＋b2D.2a2－b2答案C解析双曲线y2b2－x2a2＝1的一条渐近线为y＝bax，由y＝bax，x2a2＋y2b2＝1，得x＝±22a.所以|MN|＝1＋b2a2|x2－x1|＝a2＋b2a2·2a＝2a2＋b24.已知F1，F2分别为双曲线C：x2－y2＝2的左，右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cos∠F1PF2等于()A.14B.35C.34D.45答案C解析由双曲线定义知，|PF1|－|PF2|＝22，又|PF1|＝2|PF2|，∴|PF2|＝22，|PF1|＝42.|F1F2|＝2c＝2a2＋b2＝4.∴cos∠F1PF2＝|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|22|PF1|·|PF2|＝32＋8－162×22×42＝2416×2＝34.5.已知双曲线E：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交双曲线于A，B两点，若AB的中点坐标为N(－12，－15)，则E的方程为()A.x23－y26＝1B.x26－y23＝1C.x24－y25＝1D.x25－y24＝1答案C解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x21a2－y21b2＝1，x22a2－y22b2＝1，两式相减可得x1＋x2x1－x2a2＝y1＋y2y1－y2b2.∵线段AB的中点坐标为N(－12，－15)，∴－24x1－x2a2＝－30y1－y2b2.∴y1－y2x1－x2＝4b25a2.∵直线的斜率为－15－12－3＝1，∴4b25a2＝1.∵右焦点为F(3,0)，∴a2＋b2＝9，解得a2＝4，b2＝5，∴E的方程为x24－y25＝1.6.已知椭圆x23m2＋y25n2＝1和双曲线x22m2－y23n2＝1有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是()A.x＝±152yB.y＝±152xC.x＝±34yD.y＝±34x答案D解析由双曲线的方程可判断出公共焦点在x轴上，∴椭圆焦点为(±3m2－5n2，0)，双曲线焦点为(±2m2＋3n2，0)，∴3m2－5n2＝2m2＋3n2，∴m2＝8n2.由题意易知双曲线的渐近线方程为y＝±6|n|2|m|x.将m2＝8n2代入上式，可得y＝±34x.二、填空题7.过双曲线x2－y22＝1的右焦点F作直线l交双曲线于A，B两点，若|AB|＝4，则这样的直线l有________条.答案3解析当直线l交双曲线于左右两支时，因为2a＝2，而|AB|＝4，故可有两条.若直线l交双曲线于同支，当直线l垂直于x轴时，|AB|＝4，故只有一条，所以满足条件的直线有3条.8.两个正数a，b的等差中项是52，一个等比中项是6，且ab，则双曲线x2a2－y2b2＝1的离心率e＝________.答案133解析由已知得a＋b2＝52，ab＝6，ab，解得a＝3，b＝2.∴e＝a2＋b2a＝32＋223＝133.9.设双曲线x29－y216＝1的右顶点为A，右焦点为F，过点F且与双曲线的一条渐近线平行的直线与另一条渐近线交于点B，则△AFB的面积为________.答案103解析由题意知A(3,0)，F(5,0)，其两条渐近线方程为y＝±43x，过F与y＝43x平行的直线为y＝43(x－5)，则y＝43x－5，y＝－43x，得x＝52，y＝－103，∴B(52，－103).则S△AFB＝12×103×2＝103.10.若双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)与直线y＝2x无交点，则离心率e的取值范围是________.答案(1，5]解析由题意可得，双曲线的渐近线的斜率ba≤2，所以e＝1＋ba2≤5.又e1，则离心率e的取值范围是(1，5].三、解答题11.求两条渐近线为x±2y＝0且截直线x－y－3＝0所得的弦长为833的双曲线方程.解设双曲线方程为x2－4y2＝λ(λ≠0).联立方程组得x2－4y2＝λ，x－y－3＝0，消去y得，3x2－24x＋36＋λ＝0.设直线被双曲线截得的弦为AB，且A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝8，x1x2＝36＋λ3，Δ＝242－1236＋λ0.∴|AB|＝1＋k2[x1＋x22－4x1x2]＝1＋182－4×36＋λ3＝812－λ3＝833.解得λ＝4，所以所求双曲线方程是x24－y2＝1.12.已知斜率为1的直线l与双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)相交于B，D两点，且BD的中点为M(1,3)，求C的离心率.解易求得直线l的方程为y＝x＋2.代入C的方程并化简，得(b2－a2)x2－4a2x－4a2－a2b2＝0.设B(x1，y1)，D(x2，y2)，则x1＋x2＝4a2b2－a2，由M(1,3)为BD的中点，知x1＋x22＝1，∴12×4a2b2－a2＝1，有b2＝3a2.∴c＝a2＋b2＝2a.∴C的离心率e＝ca＝2.13.直线y＝ax＋1与双曲线3x2－y2＝1相交于A，B两点.(1)求线段AB的长；(2)当a为何值时，以AB为直径的圆经过坐标原点？解由y＝ax＋1，3x2－y2＝1，得(3－a2)x2－2ax－2＝0.由题意可得3－a2≠0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝2a3－a2，x1x2＝－23－a2.(1)|AB|＝x1－x22＋y1－y22＝1＋a2[x1＋x22－4x1x2]＝1＋a2[2a3－a22＋83－a2]＝21＋a26－a2|3－a2|.(2)由题意知，OA⊥OB，则OA→·OB→＝0.即x1x2＋y1y2＝0，∴x1x2＋(ax1＋1)(ax2＋1)＝0，即(1＋a2)x1x2＋a(x1＋x2)＋1＝0，∴(1＋a2)·－23－a2＋a·2a3－a2＋1＝0，解得a＝±1.经检验当a＝±1时，以AB为直径的圆经过坐标原点.