40分钟课时作业--双曲线及其标准方程-答案

40分钟课时作业双曲线及其标准方程一、选择题1.双曲线2x2－y2＝8的焦距是()A.2B.22C.43D.42答案C解析双曲线方程可化为x24－y28＝1，∴a2＝4，b2＝8，∴c2＝a2＋b2＝12，∴c＝23，则2c＝43.2.若k∈R，则“k5”是“方程x2k－5－y2k－2＝1表示双曲线”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案A解析当k5时，方程表示双曲线；反之，当方程表示双曲线时，k5或k2.故选A.3.已知双曲线x2m－y23m＝1的一个焦点是(0,2)，则实数m的值是()A.1B.－1C.－105D.105答案B解析由焦点坐标知，焦点在y轴上，∴m0，∴双曲线的标准方程为y2－3m－x2－m＝1，∴－m－3m＝4，∴m＝－1.4.已知双曲线的中心在原点，一个焦点为F1(－5，0)，点P在双曲线上，且线段PF1的中点坐标为(0,2)，则此双曲线的方程是()A.x24－y2＝1B.x2－y24＝1C.x22－y23＝1D.x23－y22＝1答案B解析据已知条件得焦点在x轴上，设双曲线的方程为x2a2－y2b2＝1(a0，b0)，则a2＋b2＝5.①∵线段PF1的中点坐标为(0,2)，∴点P的坐标为(5，4)，将其代入双曲线的方程，得5a2－16b2＝1.②由①②解得a2＝1，b2＝4，∴双曲线的方程为x2－y24＝1.5.已知F是双曲线x24－y212＝1的左焦点，A(1,4)，P是双曲线右支上的动点，则|PF|＋|PA|的最小值为()A.5B.5＋43C.7D.9答案D解析如图所示，设双曲线的右焦点为E，则E(4,0).由双曲线的定义及标准方程，得|PF|－|PE|＝4，则|PF|＋|PA|＝4＋|PE|＋|PA|.由图可得，当A，P，E三点共线时，(|PE|＋|PA|)min＝|AE|＝5，从而|PF|＋|PA|的最小值为9.6.已知双曲线x2m－y27＝1，直线l过其左焦点F1，交双曲线左支于A，B两点，且|AB|＝4，F2为双曲线的右焦点，△ABF2的周长为20，则m的值为()A.8B.9C.16D.20答案B解析△ABF2的周长＝|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝20，∵|AB|＝4，∴|AF2|＋|BF2|＝16.根据双曲线定义知，2a＝|AF2|－|AF1|＝|BF2|－|BF1|，∴4a＝(|AF2|＋|BF2|)－(|AF1|＋|BF1|)＝16－4＝12，∴a＝3，∴m＝a2＝9.故选B.二、填空题7.若点P到点(0，－3)与到点(0,3)的距离之差为2，则点P的轨迹方程为________________.答案y2－x28＝1(y≥1)解析由题意结合双曲线的定义，可知点P的轨迹为双曲线上支，且c＝3,2a＝2，a＝1，b2＝9－1＝8，故点P的轨迹方程为y2－x28＝1(y≥1).8.已知双曲线x24－y2m＝1的一个焦点坐标为(3,0)，则m＝________.答案5解析因为c＝4＋m＝3，故m＝5.9.双曲线的焦点在x轴上，且经过点M(3,2)，N(－2，－1)，则双曲线标准方程是________________.答案x273－y275＝1解析设双曲线方程为x2a2－y2b2＝1(a0，b0)，又点M(3,2)、N(－2，－1)在双曲线上，∴9a2－4b2＝1，4a2－1b2＝1，∴a2＝73，b2＝75.∴双曲线的标准方程为x273－y275＝1.10.已知双曲线x24－y25＝1上一点P到F(3,0)的距离为6，O为坐标原点，若OQ→＝12(OP→＋OF→)，则|OQ→|的值为________.答案1或5解析由题意得Q为PF的中点，设左焦点为F′，其坐标为(－3,0)，∴|OQ|＝12|PF′|.若P在双曲线的左支上，则|OQ|＝12|PF′|＝12(|PF|－2a)＝12×(6－2×2)＝1；若P在双曲线的右支上，则|OQ|＝12|PF′|＝12(|PF|＋2a)＝12×(6＋2×2)＝5.综上，|OQ→|＝1或5.11.在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的顶点A(－6，0)和C(6,0)，若顶点B在双曲线x225－y211＝1的左支上，则sinA－sinCsinB＝________.答案56解析由双曲线的定义可得a－c＝10，由正弦定理得sinA－sinCsinB＝a－cb＝1012＝56.三、解答题12.设F1，F2是双曲线x24a－y2a＝1(a0)的两个焦点，若点P在双曲线上，且PF1→·PF2→＝0，|PF1→|·|PF2→|＝2，求双曲线的方程.解∵PF1→·PF2→＝0，∴PF1→⊥PF2→，∴|PF1→|2＋|PF2→|2＝|F1F2→|2＝20a.①又||PF1→|－|PF2→||＝4a.②①－②2，得2|PF1→|·|PF2→|＝4a.∵|PF1→|·|PF2→|＝2，∴a＝1.∴双曲线的方程为x24－y2＝1.13.已知双曲线x216－y24＝1的两焦点为F1、F2.(1)若点M在双曲线上，且MF→1·MF→2＝0，求M点到x轴的距离；(2)若双曲线C与已知双曲线有相同焦点，且过点(32，2)，求双曲线C的方程.解(1)如图所示，不妨设M在双曲线的右支上，M点到x轴的距离为h，MF→1·MF→2＝0，则MF1⊥MF2，设|MF1|＝m，|MF2|＝n，由双曲线定义知，m－n＝2a＝8，①又m2＋n2＝(2c)2＝80，②由①②得m·n＝8，∴12mn＝4＝12|F1F2|·h，∴h＝255.(2)设所求双曲线C的方程为x216－λ－y24＋λ＝1(－4＜λ＜16).∵双曲线C过点(32，2)，∴1816－λ－44＋λ＝1，解得λ＝4或λ＝－14(舍去).∴所求双曲线C的方程为x212－y28＝1.