等腰三角形的性质与判定综合复习

个性化辅导讲义东盛华庭校区：0572-6508000湖州龙文教育咨询有限公司1课题等腰三角形的性质与判定综合复习教学目标1、理解等腰三角形的概念，掌握等腰三角形的两底角相等、等腰三角形三线合一等性质，掌握两个角相等的三角形是等腰三角形等判定定理，并能运用它们进行简单的证明和计算；2、运用等腰三角形的判定进行证明和计算。重点、难点等腰三角形的相关证明；等腰三角形的判定；考点及考试要求等腰三角形和等边三角形的性质和判定的应用，证明线段、角相等，求线段的长度、角的度数，教学内容知识框架（－）等腰三角形的性质1.有关定理及其推论定理：等腰三角形有两边相等；定理：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。推论1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，这就是说，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。推论2：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°。等腰三角形是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形；2.定理及其推论的作用等腰三角形的性质定理揭示了三角形中边相等与角相等之间的关系，由两边相等推出两角相等，是今后证明两角相等常用的依据之一。等腰三角形底边上的中线、底边上的高、顶角的平分线“三线合一”的性质是今后证明两条线段相等，两个角相等以及两条直线互相垂直的重要依据。（二）等腰三角形的判定1.有关的定理及其推论定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”。）推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形。个性化辅导讲义东盛华庭校区：0572-6508000湖州龙文教育咨询有限公司2推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。2.定理及其推论的作用。等腰三角形的判定定理揭示了三角形中角与边的转化关系，它是证明线段相等的重要定理，也是把三角形中角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据，是本节的重点。3.等腰三角形中常用的辅助线等腰三角形顶角平分线、底边上的高、底边上的中线常常作为解决有关等腰三角形问题的辅助线，由于这条线可以把顶角和底边折半，所以常通过它来证明线段或角的倍分问题，在等腰三角形中，虽然顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时需要作顶角的平分线，有时则需要作高或中线，这要视具体情况来定。知识点（或考点）一：等腰三角形的综合应用题型一：等腰三角形的角度问题等腰三角形有两个相等的底角，一个顶角，其取值范围必须满足下列关系0°底角90°，0顶角180°，所以必须注意分情况讨论例1.若等腰三角形中的一个角等于50°，则另外两个角的度数分别是（）A.65°，65°B.50°，80°C.50°，50°D.65°，65°或50°，80°例2.若等腰三角形中的其中一角为120°，则它的三个角的度数分别是。例3.已知一个等腰三角形的一个外角是135°，则它的底角为。例4.已知一个等腰三角形的一个内角是另一个内角的7倍，则它的三个角度数分别是。例5.已知一个等腰三角形的两个角分别是（2x-2）°，（3x-5）°，求这个等腰三角形各角的度数。题型二：等腰三角形的边长问题等腰三角形有两条相等的边，称为等腰三角形的腰，还有一条底边，这三条边的数量关系必须满足两边之和大于第三边这个关系.例1.一个三角形的三边分别为4，x，7，那么x的取值范围是（）A.3x11B.4x7个性化辅导讲义东盛华庭校区：0572-6508000湖州龙文教育咨询有限公司3C.x3D.-3x7例2.等腰三角形有两边长是3cm和4cm，则这个等腰三角形的周长为。例3.等腰三角形有两边长是4cm和9cm，则这个三角形的周长是（）A.17cmB.22cmC.18cmD.17cm或22cm例4.已知三角形的三边长分别为7，x，13，若x为整数，那么这样的等腰三角形的周长为。例5.已知一个等腰三角形的三边长分别为x，2x，5x-3，求这个三角形的周长例6.已知等腰三角形的底边BC=6，且3BCAC,那个腰AC的长为（）A.9B.6C.3D.9或者3题型三：无图需分情况讨论例1.等腰三角形的一个角是70°，则一腰上的高与另一腰的顶角为（）A.20°B.20°或50°C.50°D.70°例2.若等腰三角形的底边长15，一腰上的中线把其周长分成的两部分的差是8，则腰长是（）A.7B.23C.7或者23D.以上都不对目标二：等腰三角形的性质性质1.等腰三角形的两底角相等，两腰相等；性质2.等腰三角形的顶角角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（三线合一）题型1：等腰三角形的判定与全等三角形两边相等的三角形是等腰三角形个性化辅导讲义东盛华庭校区：0572-6508000湖州龙文教育咨询有限公司4两角相等的三角形是等腰三角形例1.已知：如图，OA平分∠BAC，∠1=∠2．求证：△ABC是等腰三角形．例2.如图：△ABC的边AB的延长线上有一个点D，过点D作DF⊥AC于F，交BC于E，且BD=BE。求证：△ABC为等腰三角形．例3.已知：如图，∠C=90°，BC=AC，D、E分别在BC和AC上，且BD=CE，M是AB的中点．求证：△MDE是等腰三角形．例4.如图，若OD平分∠AOB，且DE∥OB，则△EOD是什么三角形，说明你的理由．个性化辅导讲义东盛华庭校区：0572-6508000湖州龙文教育咨询有限公司5例5.如图AB=AC，∠A=36°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，交AB于E．①求∠DBC的度数．②猜想△BDC的形状并证明．题型2：等腰三角形三线合一例1.如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为E，过点B作BF∥AC交DE的延长线于点F，连接CF．（1）求证：AD⊥CF；（2）连接AF，试判断△ACF的形状，并说明理由．例2.如图，AC=BC,AC⊥BC,AE⊥BE,BD=2AE,求证：BE平分∠ABC目标三：等边三角形的概念与性质等边三角形的定义：三条边都相等三角形叫做等边三角形；等边三角形的性质：①等边三角形的三个内角都相等，都是60°②等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴。个性化辅导讲义东盛华庭校区：0572-6508000湖州龙文教育咨询有限公司6题型1等边三角形的判定三角形的三边相等的三角形是等边三角形三角形的三个内角相等的三角形是等边三角形例1.如图：在△EBD中，EB=ED，点C在BD上，CE=CD，BE⊥CE，A是CE延长线上一点，EA=EC．试判断△ABC的形状，并证明你的结论．例3.如图，△ABC是等边三角形，点D、E、F分别是线段AB、BC、CA上的点（1）若AD=BE=CF，问△DEF是等边三角形吗？试证明你的结论；（2）若△DEF是等边三角形，问AD=BE=CF成立吗？试证明你的结论．例4.如图，点C是线段AB上除点A、B外的任意一点，分别以AC、BC为边在线段AB的同旁作等边△ACD和等边△BCE，连接AE交DC于M，连接BD交CE于N，连接MN．（1）求证：AE=BD；（2）求证：MN∥AB．个性化辅导讲义东盛华庭校区：0572-6508000湖州龙文教育咨询有限公司7课堂练习【例1】如图，△ABC中，D、E分别是AC、AB上的点，BD与CE交于点O.给出下列三个条件：①∠EBO=∠DCO;②∠BEO=∠CDO;③BE=CD.(1)上述三个条件中，哪两个条件可判定△ABC是等腰三角形（用序号写出所有情形）(2)选择第（1）小题中的一种情形，证明△ABC是等腰三角形【例2】如图，△ABC为等边三角形，延长BC到D,又延长BA到E，使AE=BD,连接CE,DE。求证：△CDE为等腰三角形【例3】如图，将一个等腰直角三角形按图示方式依次翻折，若DE=a,则下列说法正确的个数有（）①DC'平分∠BDE②BC长为(22)a③△BC'D是等腰三角形④△CED的周长等于BC的长AEBCODEABCD个性化辅导讲义东盛华庭校区：0572-6508000湖州龙文教育咨询有限公司8A.1个B.2个C.3个D.4个【例4】如图，△ABC是边长为1的正三角形，△BDC是顶角为120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°的∠MDN，点M,N分别在AB,AC上，则△AMN的周长是【例5】已知一个等腰三角形两内角的度数比为1:4，则这个等腰三角形顶角的度数为（）A.20°B.120°C.20°或120°D.36°【例6】等腰三角形两边长分别为4和9，则第三边长为【例7】如图，点O事等边△ABC内一点，∠AOB=110°，∠BOC=α，将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC,连接OD,则△COD是等边三角形；(1)当α为多少度时，△AOD是等腰三角形？(2)求证：△COD是等边三角形（3）当α=150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由等边三角形的性质应用及判定【例8】如图，在等边△ABC中，点D,E分别在边BC,AB上，BD=AE,AD与CE交于点F.求证：(1)AD=CE;(2)求∠DFC的度数。DBECDBC'.EACBAMNDBCBCAODAFBCED个性化辅导讲义东盛华庭校区：0572-6508000湖州龙文教育咨询有限公司9课后作业试题批阅【例18】如图，Rt△ABC中，AB=AC,∠A=90°，D为BC上任意一点，且DF⊥AB于F,DE⊥AC于E,M为BC的中点，试判断△MEF是什么形状的三角形，并证明你的结论。练习：1.下列两个命题：①如果两个角是对顶角，那么这两个角相等；②如果一个等腰三角形有一个内角是60°，那么这个等腰三角形一定是等边三角形，则以下结论正确的是（）A.只有命题①正确B.只有命题②正确C.命题①、②都正确D.命题①、②都不正确2.若等腰三角形一腰上的高和另一腰的夹角为25°，则该三角形的一个底角为（）A.32.5°B.57.5°C.65°或57.5°D.32.5°或57.5°3.如图，在△ABC中，AD⊥BC于D,请你再添加一个条件，就可以确定△ABC是等腰三角形。你添加的条件是4.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC+AB=6cm，则AB=cmBCAFEMDABCD