两因素方差分析

1两因素方差分析赵耐青复旦大学卫生统计教研室2两因素方差分析的基本概念B药A药未服用低剂量服用高剂量服用未服用111213服用212223这是两因素设计，其中A因素（A药）为两水平，B因素为三水平。3两因素方差分析的基本概念B药A药未服用服用未服用1112服用2122现以两因素两水平为例，介绍相关的概念两因素两水平资料本质上是4组独立的资料，可以作为4组资料用单因素方差分析，但这样分析得不到两个因素是否存在交互作用，特别在无交互作用时，用单因素方差分析往往会降低检验效能，但两因素方差分析要求4组样本量相同。4两因素方差分析举例例1：四种疗法治疗缺铁性贫血后红细胞增加数，服用A药，则x1＝1,否则x1=2；服用B药，则x2＝1,否则x2=2疗法YijX1X2疗法1(一般疗法+A药＋B药)0.8，0.9，0.711疗法2(一般疗法+A药)1.3，1.2，1.112疗法3(一般疗法+B药)0.9，1.1，1.021疗法4(一般疗法)2.1，2.2，2.0225两因素方差分析举例H10:A药和B药无交互作用H11:A药和B药有交互作用H20:A药的主效应均为0H21:A药的主效应不全为0H30:B药的主效应均为0H31:B药的主效应不全为06两因素方差分析举例yX1X20.8110.9110.7111.3211.2211.1210.9121.1121122.1222.222222两因素方差分析的Stata的数据格式：7两因素方差分析举例两因素方差分析的Stata命令命令anovayx1x2x1*x2其中x1表示A药疗效的主效应，x2表示B药疗效的主效应，x1*x2表示A药与B药对疗效的交互作用8两因素方差分析举例Numberofobs=12R-squared=0.9737RootMSE=.1AdjR-squared=0.9638Source|PartialSSdfMSFProbF-----------+----------------------------------------------------Model|2.962499943.9874999898.750.0000|x1|1.687511.6875168.750.0000x2|.9074999741.90749997490.750.0000x1*x2|.3674999671.36749996736.750.0003|Residual|.0800000028.01-----------+----------------------------------------------------Total|3.0424999411.276590904Stata主要输出结果如下9两因素方差分析举例FA×B=36.75，P值=0.00030.05，因此A药与B药的疗效有交互作用，并且有统计意义FA=168.75，P值0.05，A药的主效应有统计意义FB=90.75，P值0.05，B药的主效应也有统计意义。10两因素方差分析中基本概念问题：两因素方差分析的模型是什么？模型：其中ab是Y的总体均数，a称为A因素的主效应，b称为B因素的主效应，()ab称为A因素和B因素对因变量Y(观察指标变量)的交互作用。..()ababab11两因素方差分析的基本概念两因素设计的方差分析模型可以用角模型参数形式或平衡参数形式表述。以下是两因素两水平无交互作用情况下的平衡参数形式的表达式.A药B药Y总体均数表达式用用11..1111()用不用12..1212()不用用21..2121()不用不用22..2222()1212111211212122122200()()0()()0()()0()()0效应参数满足12两因素方差分析的基本概念交互效应的意义由参数约束条件得到1111..111212..122121..212222..22()()()()111211121121211121222221122222212111()()0()()()()0()()()()0()()()()0()()()()13两因素方差分析的基本概念两因素方差分析的独立(无约束)参数可以表示为A药B药Y总体均数表达式用x1=1用x2=111..1111()用x1=1不用x2=212..1111()不用x1=2用x2=121..1111()不用x1=2不用x2=222..1111()14两因素方差分析的基本概念用B药的情况下，A药用与不用的疗效差异为B药不用的情况下，A药用与不用的疗效差异为用A药的情况下，B药用与不用的疗效差异为B药不用的情况下，A药用与不用的疗效差异为112111122()122211122()111211122()212211122()15两因素方差分析的基本概念如果存在交互作用的情况下，A药的疗效受到是否用B药的影响，同样，B药的疗效受到是否用A药的影响A药的主效应是否有差异不能说明用A药和不用A药的效应差异同理，B药的主效应是否有差异不能说明用A药和不用B药的效应差异因此，有交互作用的情况下，分析主效应的检验结果是没有意义的。16两因素方差分析的基本概念特别，当无交互作用时B药A药服用x2=1未服用x2=2服用x1=10+1+10+1-1未服用x1=20-1+10-1-1A药用与不用的疗效差异为B药用与不用的疗效差异为1121122212111221221217两因素方差分析的基本概念如果无交互作用的情况下，A药的主效应是否为0对应用A药与不用A药的疗效差异B药的主效应是否为0对应用B药与不用A药的疗效差异18两因素方差分析的基本概念主效应的意义B药A药服用未服用平均A主效应表示服用111211121.21...1未服用212221222.22...2平均1121.121222.2211122122..4B主效应.1..1.2..219两因素方差分析的统计量2......1111111()banbanijkijkjikjikSSyyyyabn总2.......1111()abniiijkijkSSnbyyyybnA2.......1111()banjjijkjikSSnayyyyanB2.........1111()banijijijijkjikSSnyyyyyynAB2.111()banijkijjikSSyy残差20两因素方差分析的统计量变异分解ABABSSSSSSSSSS总残差1111(1)(1)(1)AABBABABMSSSMSSSabSSSSMSMSababn残差残差21两因素方差分析的统计量若两个因素各个水平之间的方差齐性，可以证明：下列各个均方差的期望值为22122122112()1()1()()(1)(1)()aAiiaBiibaABijibnEMSaanEMSbnEMSabEMS残差22两因素方差分析的统计量由此可以发现：210220230:0:A0:B'0ABABAABBHMSMSMSHMSMSMSHMSMSMS残差残差残差如果交互效应均为为真,则的期望值在，即：的期望值与的期望值相同同理因素主效应均为为真,则的期望值在，即：的期望值与的期望值相同同理因素主效应均为为真,则的期望值在，即：的期望值与的期望值相同23两因素方差分析的统计量101010:0~((1)(1),(1)):0,ABABABABABABMSFMSHFFFababnHFFH残差,(a-1)(b-1),ab(n-1)交互作用检验统计量为如果交互效应均为为真时则在大多数情况下，较小且分布如果交互效应均为不成立，往往较大或很大故当F则可以拒绝并且推断存在交互作用。24两因素方差分析的统计量202020A:A0~((1),(1)):A0,AAAAAAAMSFMSHFFFaabnHFFH残差,(a-1),ab(n-1)因素主效应检验统计量为如果因素主效应均为为真时则在大多数情况下，较小且分布如果因素主效应均为不成立，往往较大或很大故当F则可以拒绝并且推断因素主效应不全为0。25两因素方差分析的统计量B303030B:B0~((1),(1)):B0,BBBBBBMSFMSHFFFbabnHFFH残差,(b-1),ab(n-1)因素的主效应检验统计量为如果因素的主效应均为为真时则在大多数情况下，较小且分布如果因素的主效应均为不成立，往往较大或很大故当F则可以拒绝并且推断因素的主效应不全为0。26两因素方差分析的基本概念方差分析模型还可以用角模型表示，以下是两因素两水平有交互作用情况下的角模型参数表达形式B药A药服用x2=1未服用x2=2服用x1=10+++()0+未服用x1=20+027两因素方差分析的基本概念不用B药情况下，用A药与不用A药的疗效差异为。用B药情况下，用A药与不用A药的疗效差异为+（）。不用A药情况下，用B药与不用B药的疗效差异为。用A药情况下，用B药与不用B药的疗效差异为+（）。28两因素方差分析的基本概念两因素设计的方差分析模型可以用角模型参数形式或平衡参数形式表述。以下是两因素两水平无交互作用情况下的角模型参数表达形式B药A药服用x2=1未服用x2=2服用x1=10++0+未服用x1=20+029两因素方差分析的基本概念特别无交互作用情况下，用A药与不用A药的疗效差异均为主效应。用B药与不用B药的疗效差异均为主效应。因此在无交互作用情况下，主效应可以评价A药和B药的疗效30两因素方差分析基本概念可以证明：1）方差分析的平衡模型与角模型的交互作用检验统计量是相同的。2）方差分析模型中没有交互作用项的情况下，两个因素的平衡模型与角模型的主效应检验统计量也是相同的。31本例的两因素方差分析两因素方差分析要求两个因素各个水平之间的方差齐性且每组资料分别服从正态分布并，与此等价的要求为：两个因素各个水平之间的方差齐性且残差服从正态分布。由于本例每组样本量非常小，无法考察每组资料的正态性，故需要检验其残差正态性。方差齐性可以用:leven检验32本例的两因素方差分析借助Stata软件进行方差齐性检验：anovayx1x2x1*x2predicte,residual计算残差genee=abs(e)计算残差的绝对值anovaeex1x2x1*x2如果模型的P值0.10，则可以按方差齐性进行下一步统计分析33本例的两因素方差分析Numberofobs=12R-squared=0.0000RootMSE=.057735AdjR-squared=-0.3750Source|PartialSSdfMSFProbF-----------+----------------------------------------------------Model|4.6054e-1531.5351e-15