西南交通大学振动力学-第-3-章(I)多自由度系统的振动

第3章多自由度系统的振动李映辉西南交通大学2015.092019年11月28日《振动力学》22019年11月28日中国力学学会学术大会‘2005’22019年11月28日2声明•本课件可供教师教学和学生学习中免费使用。•不可用于任何商业目的。•本课件的部分内容参阅了上海交通大学陈国平教授和太原科技大学杨建伟教授的课件，作者在此向二位教授表示衷心感谢。如该课件无意中损害了二位教授利益，作者在此致歉。•本课件以高淑英、沈火明编著的《振动力学》（中国铁道出版社，2011年）的前四章为基础编写。•感谢研究生蒋宝坤、王金梅在文字录入方面的工作2019年11月28日《振动力学》3kcm建模方法1：将车、人等全部作为一个质量考虑，并考虑弹性和阻尼要求：对轿车的上下振动进行动力学建模例子：轿车行驶在路面上会产生上下振动缺点：模型粗糙，没有考虑人与车、车与车轮、车轮与地面之间的相互影响优点：模型简单分析：人与车、车与车轮、车轮与地面之间的运动存在耦合多自由度系统振动2019年11月28日《振动力学》4k2c2m车m人k1c1建模方法2：车、人的质量分别考虑，并考虑各自的弹性和阻尼优点：模型较为精确，考虑了人与车之间的耦合缺点：没有考虑车与车轮、车轮与地面之间的相互影响多自由度系统振动2019年11月28日《振动力学》5m人k1c1k2c2mk3c3k2c2k3c3m车m轮m轮建模方法3：车、人、车轮的质量分别考虑，并考虑各自的弹性和阻尼优点：分别考虑了人与车、车与车轮、车轮与地面之间的相互耦合，模型较为精确问题：如何描述各个质量之间的相互耦合效应？多自由度系统振动多自由度系统的振动用N个独立坐标可以完全描述其在空间位置的系统，称为N自由度系统，N≥2时的系统称为多自由度系统。多自由度系统和单自由度系统的振动固有性质区别：1）单自由度系统受初始扰动，系统按固有频率作简谐运动；2）多自由度系统有多个固有频率；多自由度系统按某一固有频率所作自由振动，称为主振动，是一种简谐运动，多自由度系统有多个主振动。系统作某个主振动时，任何瞬时各点位移间具有一定的相对比值，即系统具有确定的振动形态，称为主振型（也称主模态）。主振型是多自由度系统以及弹性体振动的重要特征。2019年11月28日《振动力学》7教学内容多自由度系统的振动2019年11月28日《振动力学》7教学内容两自由度系统的振动多自由度系统的振动多自由度系统固有特性的近似解法2019年11月28日《振动力学》8教学内容多自由度系统的振动2019年11月28日《振动力学》8两自由度系统的振动两自由度系统的振动方程无阻尼系统的自由振动耦合与主坐标无阻尼系统的强迫振动阻尼对强迫振动的影响2019年11月28日《振动力学》9多自由度系统的振动/两自由度系统的振动两自由度系统的振动两自由度系统：用两个独立坐标可以完全描述其在空间位置的系统。2019年11月28日《振动力学》多自由度系统的振动研究多自由度系统振动的目的：1）求系统的固有频率；2）了解系统的主振型。2019年11月28日《振动力学》11•两自由度系统的振动方程先看几个例子例1：双质量弹簧系统，两质量分别受到激振力不计摩擦和其他形式的阻尼试建立系统的运动微分方程m1m2k3k1k2x1x2P1(t)P2(t)多自由度系统的振动/两自由度振动系统/动力学方程2019年11月28日《振动力学》12解：,1x2x21,mm的原点分别取在的静平衡位置建立坐标：设某一瞬时：21mm、、1x2x上分别有位移21xx、加速度受力分析：P1(t)k1x1k2(x1-x2)11xmm1P2(t)k2(x1-x2)22xmm2k3x2m1m2k3k1k2x1x2P1(t)P2(t)多自由度系统的振动/两自由度振动系统/动力学方程2019年11月28日《振动力学》13建立方程：1111212122212322()()()()mxkxkxxPtmxkxxkxPt矩阵形式：)()(0021213222212121tPtPxxkkkkkkxxmm力量纲坐标间的耦合项P1(t)k1x1k2(x1-x2)11xmm1P2(t)k2(x1-x2)22xmm2k3x2多自由度系统的振动/两自由度振动系统/动力学方程2019年11月28日《振动力学》14例2：转动运动两圆盘转动惯量21,II轴的三个段的扭转刚度321,,kkk试建立系统的运动微分方程1k1I22I2k3k)(1tM)(2tM1)(),(21tMtM外力矩多自由度系统的振动/两自由度振动系统/动力学方程2019年11月28日《振动力学》15解：建立坐标：角位移21,设某一瞬时：角加速度21,受力分析：1k1I22I2k3k)(1tM)(2tM111k11I)(1tM)(212k22I)(2tM32k)(122k多自由度系统的振动/两自由度振动系统/动力学方程2019年11月28日《振动力学》16建立方程：1111121212222322()()()()IkkMtIkkMt矩阵形式：)()(0021213222212121tMtMkkkkkkII坐标间的耦合项11k11I)(1tM)(212k22I)(2tM32k)(122k多自由度系统的振动/两自由度振动系统/动力学方程2019年11月28日《振动力学》17122111122322220()0()kkkmxxPtkkkmxxPt)()(0021213222212121tMtMkkkkkkII两自由度系统的角振动与直线振动在数学描述上相同如同在单自由度系统中做过的那样，在两自由度系统中也将质量、刚度、位移、加速度及力都理解为广义的。m1m2k3k1k2P1(t)P2(t)1k1I2I2k3k)(1tM)(2tM多自由度系统的振动/两自由度振动系统/动力学方程2019年11月28日《振动力学》18小结：122111122322220()0()kkkmxxPtkkkmxxPt)()(0021213222212121tMtMkkkkkkII可统一表示为：)(tPXKXM例1：例2：作用力方程位移向量加速度向量质量矩阵刚度矩阵激励力向量若系统有n个自由度，则各项皆为n维多自由度系统的振动/两自由度振动系统/动力学方程2019年11月28日《振动力学》192019年11月28日《振动力学》19•刚度矩阵和质量矩阵当M、K确定后，系统动力方程可完全确定M、K该如何确定？)(tPKXXM作用力方程：nRX先讨论M多自由度系统的振动/两自由度振动系统/动力学方程2019年11月28日《振动力学》20njjjnnnjnnjnjnmmmmmmmmmmmmtPtPtPt211222111112100100.......................................)()()()(P使系统只在第j个坐标上产生单位加速度，而在其他坐标上不产生加速度所施加的一组外力，正是质量矩阵M的第j列结论：质量矩阵M中的元素是使系统仅在第j个坐标上产生单位加速度而相应于第i个坐标上所需施加的力ijm、ijmijk又分别称为质量影响系数和刚度影响系数。根据它们的物理意义可以直接写出矩阵M和K，从而建立作用力方程，这种方法称为影响系数方法。多自由度系统的振动/两自由度振动系统/动力学方程2019年11月28日《振动力学》212019年11月28日《振动力学》21•影响系数法当M、K确定后，系统动力方程可完全确定M、K该如何确定？)(tPKXXM作用力方程：nRX先讨论K加速度为零0X)(tKPX则：假设外力是以准静态方式施加于系统多自由度系统的振动/两自由度振动系统/动力学方程2019年11月28日《振动力学》22njjjnnnjnnjnjnmmmmmmmmmmmmtPtPtPt211222111112100100.......................................)()()()(P使系统只在第j个坐标上产生单位加速度，而在其他坐标上不产生加速度所施加的一组外力，正是质量矩阵M的第j列结论：质量矩阵M中的元素是使系统仅在第j个坐标上产生单位加速度而相应于第i个坐标上所需施加的力ijm、ijmijk又分别称为质量影响系数和刚度影响系数。根据它们的物理意义可以直接写出矩阵M和K，从而建立作用力方程，这种方法称为影响系数方法。多自由度系统的振动/两自由度振动系统/动力学方程2019年11月28日《振动力学》23【例3-3】用刚度影响系数法，建立图3-6所示的两自由度系统的运动微分方程。【解】用力使质量块m1从静平衡位置移动一单位位移，同时用力制住m2不动。这时对m1沿x1正方向施加的是弹簧k1和k2的弹力之和。因位移为1，因此弹力之和为k1+k2，即k11=k1+k2，这时在质量块m2上施加的力的大小等于k2，方向与x1位移的方向相反，即k21=-k2。多自由度系统的振动/两自由度振动系统/动力学方程2019年11月28日《振动力学》再用力使质量块m2离开静平衡位置单位位移，同时用力控制住m1不动，得k22=k2+k3，k12=-k2。将所得刚度影响系数代入,有整理得1111112222211222mxkxkxmxkxkx1112122222123200mxkkxkxmxkxkkx多自由度系统的振动/两自由度振动系统/动力学方程《振动力学》25上式即式(3.1)。此式可用矩阵形式表示或式中,分别是系统位移、加速度列阵，M、K分别是系统的质量矩阵和刚度矩阵。从刚度矩阵可知，刚度影响系数kij即为刚度矩阵K中一个元素。111221223222000xxkkkmkkkmxxMxKx0x、x多自由度系统的振动/两自由度振动系统/动力学方程2019年11月28日《振动力学》2621,mm21,cc21,II例：双混合摆，两刚体质量质心绕通过自身质心的z轴的转动惯量21、求：以微小转角为坐标，写出在x-y平面内摆动的作用力方程两刚体质量1Ih1C1C2h2lxy2I12多自由度系统的振动/两自由度振动系统/动力学方程2019年11月28日《振动力学》27受力分析1Ih1C1C2h2lxy2I12111hmgm1gm211I22I)(2212hlmxy多自由度系统的振动/两自由度振动系统/动力学方程2019年11月28日《振动力学》28解：先求质量影响系数令0121，22211121222111112221)(lmhmImhllmhmImlhmm有：令1021，2222222212222222)(lhmmhlhmIm