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第二章第二章平面问题的基本理论平面问题的基本理论要点——建立平面问题的基本方程包括：平衡微分方程；几何方程；物理方程；变形协调方程；边界条件的描述；方程的求解方法等主主要要内内容容§2-1平面应力问题与平面应变问题§2-2平衡微分方程§2-3平面问题中一点的应力状态§2-4几何方程刚体位移§2-5物理方程§2-6边界条件§2-7圣维南原理及其应用§2-8按位移求解平面问题§2-9按应力求解平面问题相容方程§2-10常体力情况下的简化应力函数§2-1平面应力问题与平面应变问题1.平面应力问题(1)几何特征xyyztba一个方向的尺寸比另两个方向的尺寸小得多。btat,——平板如：板式吊钩，旋转圆盘，工字形梁的腹板等(2)受力特征外力（体力、面力）和约束，仅平行于板面作用于板边上，沿z方向不变化。xyyztba(3)应力特征如图选取坐标系，以板的中面为xy平面，垂直于中面的任一直线为z轴。由于板面上不受力，有()02=±=tzzσ()02=±=tzzxτ()02=±=tzzyτ因板很薄，且外力沿z轴方向不变。0=zσ0=zxτ可认为整个薄板的各点都有：由剪应力互等定理，有0=zyτ0==yzzyττ0==xzzxττ结论：平面应力问题只有三个应力分量：),(yxxyyxxyτττ==),(yxxxσσ=),(yxyyσσ=xyxyτxσyxτyσxyτyxτxσyσ应变分量、位移分量也仅为x、y的函数，与z无关。2.平面应变问题(1)几何特征水坝滚柱厚壁圆筒一个方向的尺寸比另两个方向的尺寸大得多，且沿长度方向几何形状和尺寸不变化。——近似认为无限长(2)外力特征外力（体力、面力）平行于横截面作用，且沿长度z方向不变化。约束——沿长度z方向不变化。(3)变形特征如图建立坐标系：以任一横截面为xy面，任一纵线为z轴。设z方向为无限长，则,u,xσ,xε沿z方向都不变化，仅为x，y的函数。任一横截面均可视为对称面水坝因为任一横截面均可视为对称面，则有0≡w所有各点的位移矢量都平行于xy平面。——平面位移问题0≡zε0≡=yzzyγγ0≡=xzzxγγ),(yxyyεε=),(yxxxεε=),(yxxyyxxyγγγ==——平面应变问题注：(1)平面应变问题中0≡zε但是，0≠zσ())(yxzσσμσ+=(2)平面应变问题中应力分量：)0(,,,==zyzxxyzyxτττσσσ——仅为xy的函数。可近似为平面应变问题的例子：煤矿巷道的变形与破坏分析；挡土墙；重力坝等。如图所示三种情形，是否都属平面问题？是平面应力问题还是平面应变问题？平面应力问题平面应变问题非平面问题两类平面问题：平面应力问题几何特征受力特征应力特征yxxyyxττσσ=,,平面应变问题几何特征;受力特征;应变特征。yxxyyxγγεε=,,xyyztba水坝滚柱3.平面问题的求解问题：已知：外力（体力、面力）、边界条件，求：xyyxτσσ,,xyyxγεε,,vu,——仅为xy的函数需建立三个方面的关系：（1）静力学关系：（2）几何学关系：（3）物理学关系：形变与应力间的关系。应力与体力、面力间的关系；形变与位移间的关系；建立边界条件：——平衡微分方程——几何方程——物理方程（1）应力边界条件；（2）位移边界条件；§2-2平衡微分方程xyτxσyxτyσPBACxyO取微元体PABC（P点附近），dxPA=dyPB=DXYdyyyxyx∂∂+ττdxxxyxy∂∂+ττdxxxx∂∂+σσdyyyy∂∂+σσZ方向取单位长度。设P点应力已知：yxxyyxττσσ=,,体力：X，YAC面：+∂∂+∂∂+222)(!21dxxdxxxxxσσσdyyyxyx∂∂+ττ+∂∂+∂∂+222)(!21dxxdxxxyxyxyτττdxxxx∂∂+≈σσBC面：dxxxyxy∂∂+≈ττdyyyy∂∂+σσ注：这里用了小变形假定，以变形前的尺寸代替变形后尺寸。xyτxσyxτyσPBACxyODXYdyyyxyx∂∂+ττdxxxyxy∂∂+ττdxxxx∂∂+σσdyyyy∂∂+σσ由微元体PABC平衡，得∑=0DM21)(dxdydxxxyxy××∂∂+ττ21)(dydxdyyyxyx××∂∂+−ττ整理得：dyydxxyxyxxyxy∂∂+=∂∂+ττττ2121yxxyττ=当0,0→→dydx时，有——剪应力互等定理21dxdyxy××+τ21dydxyx××−τ0=xyτxσyxτyσPBACxyODXYdyyyxyx∂∂+ττdxxxyxy∂∂+ττdxxxx∂∂+σσdyyyy∂∂+σσ0=∑xF1)(×∂∂+dydxxxxσσ1)(×∂∂++dxdyyyxyxττ01=××+dyXdx两边同除以dxdy，并整理得：0=+∂∂+∂∂Xyxyxxτσ0=∑yF1)(11)(×∂∂++×−×∂∂+dxdyxdxdxdyyxyxyyyyττσσσ011=××+×−dyYdxdyxyτ两边同除以dxdy，并整理得：0=+∂∂+∂∂Yxyxyyτσ1×−dyxσ1×−dxyxτ平面问题的平衡微分方程：00=+∂∂+∂∂=+∂∂+∂∂YyxXyxyxyyxxσττσ（2-2）说明：（1）两个平衡微分方程，三个未知量：yxxyyxττσσ=,,——超静定问题，需找补充方程才能求解。（2）对于平面应变问题，x、y方向的平衡方程相同，z方向自成平衡，上述方程两类平面问题均适用；（3）平衡方程中不含E、μ，方程与材料性质无关（钢、石料、混凝土等）；（4）平衡方程对整个弹性体内都满足，包括边界。xyτxσyxτyσPBACxyODXYdyyyxyx∂∂+ττdxxxyxy∂∂+ττdxxxx∂∂+σσdyyyy∂∂+σσ§2-3斜面上的应力主应力1.斜面上的应力（1）斜面上应力在坐标方向的分量XN，YNxyOdxdydsPABsXNYNNyxτxσyσxyτ设P点的应力分量已知：yxxyyxττσσ=,,斜面AB上的应力矢量:s斜面外法线N的关于坐标轴的方向余弦：myN=),cos(lxN=),cos(ldsdy⋅=mdsdx⋅=由微元体平衡：,0=∑xF0111=×+×−×−dsYdydxNxyyτσ0111=×+×−×−dsXdxdyNyxxτσ整理得：xyyNlmYτσ+=（2-3）0111=×+×⋅−×⋅−dsXmdsldsNyxxτσyxxNmlXτσ+=,0=∑yF整理得：（2-4）外法线xyOdxdydsPABsXNYNNyxτxσyσxyτ（2）斜面上的正应力与剪应力NτNσNNNmXlY−=τNNNmYlX+=σxyyNlmYτσ+=yxxNmlXτσ+=（2-3）（2-4）将式（2-3）（2-4）代入，并整理得：xyyxNlmmlτσσσ222++=xyxyNmllmτσστ)()(22−+−=（2-5）（2-6）说明：（1）运用了剪应力互等定理：yxxyττ=（2）的正负号规定：Nτ将N转动90°而到达的方向是顺时针的，则该为正；反之为负。NτNτ——任意斜截面上应力计算公式（3）若AB面为物体的边界S，则YYN=XXN=YlmXmlsxysysxysx=+=+)()()()(τστσ（2-18）——平面问题的应力边界条件2.一点的主应力与应力主向xyOdxdydsPABsXNYNNyxτxσyσxyτNτNσNNNmXlY−=τNNNmYlX+=σ（1）主应力若某一斜面上，则该斜面上的正应力称为该点一个主应力；0=NτNσσ当时，有0=NτsN==σσ⎩⎨⎧==σσmYlXNNxyyNlmYτσ+=yxxNmlXτσ+=στσmlmxyy=+στσlmlyxx=+求解得：yyxlmσστ−=yxxlmτσσ−=0)()(22=−++−xyyxyxτσσσσσσ222122xyyxyxτσσσσσσ+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−±+=（2-7）——平面应力状态主应力的计算公式主应力所在的平面——称为主平面；σ主应力所在平面的法线方向——称为应力主向；σ由式（2-7）易得：yxσσσσ+=+21=I（2）应力主向yyxlmσστ−=yxxlmτσσ−=设σ1与x轴的夹角为α1，σ1与坐标轴正向的方向余弦为l1、m1，则2222222cos)90cos(cossintanlm=−==αααααD)(2yxyσστ−=或设σ2与x轴的夹角为α2，σ2与坐标轴正向的方向余弦为l2、m2，则1111111cos)90cos(cossintanlm=−==αααααDxyxτσσ−=1xyxτσσ−=2)(1yxyσστ−=或xyOdxdydsPABsXNYNNyxτxσyσxyτNτNσ应力主向的计算公式：yxyxyxσστατσσα−=−=2211tantan（2-8）由yxσσσσ+=+21得)(12xyσσσσ−−=−xxyσστα−−=12tan1tantan21−=αα显然有表明：σ1与σ2互相垂直。结论任一点P，一定存在两互相垂直的主应力σ1、σ2。（3）σN的主应力表示xyOsNτNσ2σdxdydsPABN1σ由xyyxNlmmlτσσσ222++=xyxyNmllmτσστ)()(22−+−=2212σσσmlN+=)(12σστ−=lmN2212)(σσσ+−=lσ1与σ2分别为昀大和昀小应力。前面内容回顾与小结：基本假定：（1）连续性假定；（2）线弹性假定；（3）均匀性假定；（4）各向同性假定；（5）小变形假定。（掌握这些假定的含义及作用）（1）两类平面问题：平面应力问题几何特征受力特征应力特征yxxyyxττσσ=,,平面应变问题几何特征;受力特征;应变特征。yxxyyxγγεε=,,xyyztba水坝滚柱)0,0,,,(==≠yzxzzxyyxττστσσ)0,0,,(==≠yzxzzxyyx，γγεγεε（2）平面问题的平衡微分方程：00=+∂∂+∂∂=+∂∂+∂∂YyxXyxyxyyxxσττσ（2-2）xyyNlmYτσ+=yxxNmlXτσ+=（2-3）（2-4）xyyxNlmmlτσσσ222++=xyxyNmllmτσστ)()(22−+−=（2-5）（2-6）2212σσσmlN+=)(12σστ−=lmN2212)(σσσ+−=l（3）斜面上的应力xyOdxdydsPABsXNYNNyxτxσyσxyτNτNσ（4）一点的主应力、主方向：yxyxyxσστατσσα−=−=2211tantan（2-8）表明：σ1与σ2互相垂直。222122xyyxyxτσσσσσσ+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−±+=（2-7）主应力：主方向：yxσσσσ+=+21=I——平面应力状态应力第一不变量（5）一点的昀大应力与昀小应力：昀大、昀小正应力：由：2212σσσmlN+=2212)1(σσσllN−+=2212)(σσσ+−=l)(1221σσσ−+=m表明：主应力中，一定包含昀大、昀小正应力。21,σσxyOdxdydsPABN1σ2σsNτNσ昀大、昀小剪应力：由)(12σστ−=lmN21ml=±−122=+ml)(1122σστ−−±=llN)(1242σστ−−±=llN)(21411222σστ−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−±=lN显然，当)21(0212±==−ll时，τN为昀大、昀小值：221minmaxσσττ−±=由21±=l得，τmax、τmin的方向与σ1（σ2）成45°。)1(2lm−±=昀大、昀小剪应力由)(12σστ−=lmN122=+ml)(1122σστ−−±=llN)(1242σστ−−±=llNxyOdxdydsPABN1σ2σsNτNσ小结：xyyNlmYτσ+=yxxNmlXτσ+=（2-3）（2-4）xyyxNlmmlτσσσ222++=xyxyNmllmτσστ)()(22−+−=（2-5）（2-6）YlmXmlsxysysxysx=+=+)()()()(τστσ（2-18）——平面问题的应力边界条件2212σσσmlN+=)(12σστ−=lmN2212)(σσσ+−=l（1）斜面上的应力yxyx