40分钟课时作业--抛物线及其标准方程---答案

40分钟课时作业抛物线及其标准方程一、选择题1.已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，|AF|＝54x0，则A点的坐标为()A.(1,1)B.(1，±1)C.(1，－1)D.(1,0)答案B解析由抛物线的定义，可得|AF|＝x0＋14，∵|AF|＝54x0，∴x0＋14＝54x0，∴x0＝1.把x0＝1代入y2＝x，得y20＝1，y0＝±1，∴点A的坐标为(1，±1).2.已知抛物线y2＝2px(p＞0)的准线经过点(－1,1)，则该抛物线焦点坐标为()A.(－1,0)B.(1,0)C.(0，－1)D.(0,1)答案B解析抛物线y2＝2px(p＞0)的准线方程为x＝－p2.由题设知－p2＝－1，即p＝2，故焦点坐标为()1，0.故选B.3.已知抛物线y2＝2px(p0)的准线与圆(x－3)2＋y2＝16相切，则p的值为()A.12B.1C.2D.4答案C解析抛物线y2＝2px的准线方程为x＝－p2，它与圆相切，所以必有3－－p2＝4，p＝2.4.过点F(0,3)，且和直线y＋3＝0相切的动圆圆心的轨迹方程为()A.y2＝12xB.y2＝－12xC.x2＝12yD.x2＝－12y答案C解析由题意，知动圆圆心到点F(0,3)的距离等于到定直线y＝－3的距离，故动圆圆心的轨迹是以F为焦点，直线y＝－3为准线的抛物线，轨迹方程为x2＝12y.5.设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是()A.4B.6C.8D.12答案B解析由抛物线的定义可知，点P到抛物线焦点的距离是4＋2＝6.6.已知点A(－2,3)在抛物线C：y2＝2px(p0)的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为()A.－43B.－1C.－34D.－12答案C解析因为抛物线C：y2＝2px的准线方程为x＝－p2，且点A(－2,3)在准线上，故－p2＝－2，解得p＝4.所以抛物线方程为y2＝8x，焦点F的坐标为(2,0)，这时直线AF的斜率kAF＝3－0－2－2＝－34.7.O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝42x的焦点，P为C上一点，若|PF|＝42，则△POF的面积为()A.2B.22C.23D.4答案C解析抛物线C的准线方程为x＝－2，焦点F(2，0)，由|PF|＝42及抛物线的定义知，P点的横坐标xP＝32，从而纵坐标yP＝±26.∴S△POF＝12|OF|·|yP|＝12×2×26＝23.二、填空题8.若抛物线y＝ax2的准线方程是y＝2，则a＝________.答案－18解析y＝ax2可化为x2＝1ay.∵准线方程为y＝2，∴a0且－14a＝2，∴a＝－18.9.抛物线y＝4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是__________.答案1516解析抛物线方程化为x2＝14y，准线为y＝－116.由于点M到焦点的距离为1，所以M到准线的距离也为1，所以M点的纵坐标等于1－116＝1516.10.设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足，如果直线AF的斜率为－3，那么|PF|＝________.答案8解析如图所示，直线AF的方程为y＝－3(x－2).与准线方程x＝－2联立，得A(－2,43).设P(x0,43)，代入抛物线y2＝8x，得8x0＝48，∴x0＝6.∴|PF|＝x0＋2＝8.11.设抛物线y2＝2px(p0)的焦点为F，点A(0,2).若线段FA的中点B在抛物线上，则点B到该抛物线准线的距离为________.答案324解析如图所示，由已知，得点B的纵坐标为1，横坐标为p4，即B(p4，1).将其代入y2＝2px，得1＝2p×p4，解得p＝2，故点B到准线的距离为p2＋p4＝3p4＝324.三、解答题12.已知抛物线的顶点在原点，它的准线过x2a2－y2b2＝1的一个焦点，且与x轴垂直.又抛物线与此双曲线交于点32，6，求抛物线和双曲线的方程.解因为交点在第一象限，抛物线的顶点在原点，其准线垂直于x轴，所以可设抛物线方程为y2＝2px(p0).将点32，6代入方程，得p＝2，所以抛物线方程为y2＝4x.准线方程为x＝－1.由此知双曲线方程中c＝1，焦点为(－1,0)，(1,0)，点32，6到两焦点距离之差2a＝1，所以双曲线的标准方程为x214－y234＝1.13.已知抛物线C的顶点在原点，焦点F在x轴的正半轴上，设A，B是抛物线C上的两个动点(AB不垂直于x轴)，且|AF|＋|BF|＝8，线段AB的垂直平分线恒经过点Q(6,0)，求抛物线的方程.解设抛物线的方程为y2＝2px(p0),则其准线方程为x＝－p2.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∵|AF|＋|BF|＝8，∴x1＋p2＋x2＋p2＝8，即x1＋x2＝8－p.∵Q(6,0)在线段AB的中垂线上，∴|QA|＝|QB|，即6－x12＋－y12＝6－x22＋－y22，又y21＝2px1，y22＝2px2，∴(x1－x2)(x1＋x2－12＋2p)＝0.∵AB与x轴不垂直，∴x1≠x2.故x1＋x2－12＋2p＝8－p－12＋2p＝0，即p＝4.∴抛物线方程为y2＝8x.