初始条件与边界条件

§1.2初始条件与边界条件特定条件准确说明对象的初始状态以及边界上的约束条件。用以说明初始状态的条件称为“初始条件”；用以说明边界上约束情况的条件称为“边界条件”。偏微分方程特定条件描述物理现象：初始条件弦振动问题：初始条件是指弦在开始振动时刻的位移和速度。如果以f(x)和g(x)分别表示弦的初位移和初速度，则初始条件可以表达为00|.|ttufxugxt初始条件用以给出具体物理现象的初始状态。热传导问题：初始条件是指开始传热的时刻物体温度的分布情况。若以f(M)表示t=0时物体内一点M的温度，则热传导问题的初始条件可以表示为泊松方程和拉普拉斯方程：描述稳恒状态，与时间无关，所以不提初始条件。0,|.tuMtfM不同类型的方程，相应初值条件的个数不同。关于t的n阶偏微分方程，要给出n个初始条件。初始条件给出的应是整个系统的初始状态，而非系统中个别点的初始状态。注意：边界条件边界条件是给出具体物理现象在边界上所处的物理情况。根据边界条件数学表达方式的不同，一般把边界条件分为三类。设u是未知函数，S为边界，则分类如下：第一类边界条件：直接给出u在边界S上的值1.Suf弦振动问题：如果弦的两端是固定的，也就是说端点无位移，则其边界条件为00;0xxluu若弦的两端不是固定的，而是按照规律在运动,则其边界条件为12(),()utut120();()xxluutuut热传导问题：当物体与外界接触的表面温度f(M,t)已知时，其边界条件为(,)SufMt第二类边界条件：给出u沿S的外法线方向的方向导数2Sufn弦振动问题：弦的一端（如x=l）可以在垂直x轴的直线上自由的上下滑动，且不受垂直方向的外力，我们称这种端点为“自由端”。在这一端点，边界上的张力沿垂直于x轴的方向的分量为0，因此在方程的推导中知,即0xluTx0xxlluxun当该点处的张力沿垂直x轴的方向的分量是t的已知函数时，有()t).(tnulx热传导问题：如果物体和周围介质处于绝热状态，即在表面上热量的流速始终为0，则由方程推导过程可知，有边界条件0.Sun,SuMtn当物体与外界接触的表面S上各单位面积在单位时间内流过的热量已知时，由傅立叶定律，在S上有，这表明温度沿外法线方向的方向导数是已知的，故边界条件可以表示为dQukdSdtn第三类边界条件：给出u以及的线性组合在边界的值，即un3Suufn弦振动问题：当端点x=l被弹性支撑所支承，设弹性支撑原来位置在u=0，则表示弹性支撑的应变。xlu由Hooke定律知，在x=l端张力沿位移方向的分量应等于,即有xlxluTkux0,xluux其中非负常数k表示弹性体的倔强系数,/.kT热传导问题：如果物体内部通过边界S与周围的介质有热量交换，这时能测量到物体与接触处的介质的温度。通常情形下，与物体在表面S上的温度u不相同。根据热学中的牛顿实验定律，物体从一介质流入另一介质的热量与两个介质间的温度差成正比，即，其中常数表示两种介质之间的热交换系数。1u1u1()dQhuudSdt0h在物体内部任意取一个无限贴近S的闭曲面，由于在S的内侧热量不能积累，所以在上的热量流速应等于边界S上的热量流速。上的热量流速为，其中k为热传导系数.dQukdSdtn所以当物体与外界有热交换时，相应的边界条件为1(),SSukhuun即1,SSuuun其中/.hk在上面给出的边界条件中，都是定义在边界S上（通常也依赖于t）的已知函数。当时，相应的边界条件称为齐次的，否则称为非齐次的。1,2,3ifi0,1,2,3ifi注1注2三种边界条件可用一个式子表达：.funuS其中0,00,00,0第一类边界条件第二类边界条件第三类边界条件§1.3定解问题的提法初始条件和边界条件都称为定解条件。定解问题是指偏微分方程和相应定解条件的结合体。偏微分方程和相应初始条件构成的定解问题称为初值问题或者柯西(Cauchy)问题。)()(|)0,(002xxutxuautxxt热传导方程的Cauchy问题)(|)()(|)0,(0002xuxxutxuautttxxtt波方程的Cauchy问题由偏微分方程和相应边界条件构成的定解问题称为边值问题。).,(,),(,0yxfuyxuLaplace方程的边值问题由偏微分方程和相应的初始条件及边界条件构成的定解问题称为混合问题。),,,()(),,(),,(0,),,(0)(02tzyxfunuzyxzyxutzyxuuuautzzyyxxt热传导方程的混合问题一个定解问题的适定性(Well-posedness)包含以下几个方面：1）解的存在性，即所提的定解问题是否有解；3）解的稳定性，即看定解问题的解是否连续依赖定解条件。也就是说，当定解条件有微小变动时，引起解的变动是否足够小。若是，则称解是稳定的，否则称解是不稳定的。2）解的唯一性，即所提的定解问题是否有唯一的解；2220,0;22uuaxlttx,22lll0例设弦的两端固定于x=0和x=l，弦的初始位移如下图，初速度为零，求弦满足的定解问题。解：,02,000,2lxxuutlttlxxl0;0uuxxl21110nnnikiikiikiuuABcufxxxfFuyuExuDyuCyxuBxuA222222一般二阶线性偏微分方程（n个自变量）两个自变量二阶线性偏微分方程的一般形式线性方程的叠加原理称形如021222221222112xxBcybxbyayxaxaL的符号为微分算子。021222221222112xxuuBcyubxubyuayxuaxuauL二阶偏微分方程fcuyubxubyuayxuaxua21222221222112可简写为.][fuL定解条件gxux0可简写为.][guB则niiiucu1满足方程niiifcuL1][（或定解条件niiigcuB1][），其中ic为任意常数。叠加原理1若iu满足线性方程iifuL][，ni,,2,1（或定解条件iiguB][），例非齐次波动方程的Cauchy问题)(),()0,(),(002xuxutxtxfuautttxxtt的解等于问题(I)和问题(II)的解之和)(),()0,(0)I(002xuxutxuautttxxtt0,0)0,(),()II(002tttxxttuutxtxfuau课后作业P17习题一1.5.