电网络分析4

2019/11/28电网络分析第四章《电网络分析4》研究生课程主讲人：杨向宇2019/11/28电网络分析第四章第四章:网络分析的状态变量法§4-1状态变量法的基本概念一、即时网络（无记忆网络）与动态网络（记忆网络）1.即时网络由非储能元件构成的网络，在某一时刻的输出量只决定于该时刻的输入量，与它过去的工作状态无关，这样的网络称为即时网络。y(t)=G[f(t)][y=G(f)]2.动态网络若网络中含有储能元件，则网络在某一时刻的输出量不仅取决于该时刻的输入量，而且取决于该时刻以前所有输入量。N[f(t),y(t)]=0(N为积分、微分算子)y(t)=F[f(t0,t)]2019/11/28电网络分析第四章§4-1状态变量法的基本概念二.状态变量法借助于一组被称为状态变量的辅助变量，建立起一组联系状态变量与输入变量的一阶微分方程组（状态方程），和一组联系输出变量、状态变量和输入变量的代数方程组（输出方程）。先求解状态方程，得出状态变量，然后再根据输出方程求得输出变量。2019/11/28电网络分析第四章1.状态（state）网络在时刻t0的状态是指能和t≥t0输入激励一起唯一确定该网络在所有t≥t0时的输出的为数最少（即线性无关）的信息量的集合。例如，线性时不变网络中各独立的电容电压（或电荷）和各独立的电感电流（或磁链）在任意瞬时t0的值的集合，可构成网络在t0时刻的状态。2.状态变量（statevariable）能描述网络在任一瞬时状态的为数少（线性无关）的网络变量集合中的各变量称为网络的状态变量。例如，独立的电容电压（或电荷）和各独立的电感电流（或磁链）一起构成网络的一组状态变量。3.状态模型（statemodel）由有记忆部分和无记忆部分组成。m—状态修正量（stateupdate）m=h(f,x)x—状态变量，f—输入变量y=g(f,x)代数输出方程，y—输出变量000()[(,)]()xtHmttxtx初态§4-1状态变量法的基本概念2019/11/28电网络分析第四章一般线性常态网络，其范式状态方程的向量形式为：§4-1状态变量法的基本概念x=Ax+Bfy=Cx+DfHhgmxfy有有有有有有有有有有有有有有有1mnm1xnx1fpf1yry2019/11/28电网络分析第四章§4-2网络复杂性的阶数和状态变量的选取一.网络复杂性的阶数网络状态变量的总数称为网络复杂性的阶数（orderofcomplexity）网络复杂性的阶数又等于网络中可指定的独立的初始条件的个数。常态网络：无纯电容（独立电压源）回路和无纯电感（含独立电流源）割集的网络。非常态网络：含有纯电容或纯电感割集（或两者兼有）的网络在不含受控源的常态网络中，网络的复杂性阶数等于网络中储能元件的总数；非常态网络的阶数等于网络中储能元件的总数——独立纯电容回路数和独立的纯电感割集数。Nc:由电容和电压源构成的子网络（的独立回路数）NL：由电感元件和电流源构成的子网络（的基本割集数）2019/11/28电网络分析第四章说明:①纯电容割集和纯电感回路不会改变网络的阶数.②网络的非0值自然频率的数目等于网络复杂性的阶数减去独立的纯电感回路数和独立的纯电容割集数.③当网络中存在受控源时，网络的阶数难于确定.结论:一般而言，若网络中储能元件的总数为NLC，独立纯电容回路数为Nc，独立纯电感数割集数为NL，则网络阶数N满足。NLC-Nc-NL≥N≥0§4-2网络复杂性的阶数和状态变量的选取2019/11/28电网络分析第四章§4-2网络复杂性的阶数和状态变量的选取二、状态变量的选取(非唯一)1、对于线性时不变网络，常选一组独立的电容电压和电感电流作为状态变量（，）.2、对于线性时变网络宜选取一组独立的电容电荷和电感磁链作为状态变量[].3、在某些情况下，网络中的某些变量（支路电流、节点电压、割集电压、回路电流及它们的导数等）与一组独立的或()之间存在非奇异的线性变换关系，则这些变量也可选作状态变量.4、对于非线性网络，不一定能建立起状态方程，因此非线性网络中状态变量的选取主要考虑能否建立起状态方程.LitCut(),()qtt,cLui,q2019/11/28电网络分析第四章§4-3线性非常态网络的状态方程一、规范树（normaltree）选一种树，使其包含网络中的全部电压源，尽可能多的电容，尽可能少的电感和必要的电阻。但不包含任何电流源，这样的树称为规范树规范树中所有树支电容电压和连支电感电流都是线性独立的，可构成一组状态变量。二、线性非常态网络的状态方程建立步骤1、选取一个规范树。2、选取状态变量，以规范树中的树支电容电压（）和连支电感电流（）作为网络的状态变量。3、建立电容树支所属基本割集的KCL方程和电感连支所属基本回路的KVL方程。4、将上述方程中非状态变量及其一阶导数用状态变量、输入量和它们的一阶导数表示（电容连支所述基本回路方程和电感树支所属基本割集方程，电阻树支所属基本割集方程和电阻连支所属基本回路方程）。5、将4中各式代入3中方程，消去非状态变量及其一阶导数，经整理后写成矩阵形式。1Cu2Li2019/11/28电网络分析第四章线性非常态网络的范式方程形式为：§4-3线性非常态网络的状态方程••12•12x=Ax+Bf+Bfy=Cx+Df+Df状态方程输出方程2019/11/28电网络分析第四章§4-4对不含受控源的线性网络建立状态方程的系统公式法一、基本子阵Ql对于含线性电阻、电感、电容和独立源的非常态网络，选取网络的一个规范树。按先树支后连支的顺序对各支路编号。对于树支再按电压源、电容、电导和倒电感的顺序编号，对于连支再按倒电容、电阻、电感和电流源的顺序编号。则支路电压向量和支路电流向量分块如下：TbVCGSRLIuuuuuuuuuTbVCGSRLIiiiiiiiii2019/11/28电网络分析第四章对于基本割集和基本回路分别按上述树支编号和连支编号的顺序编号，则基本割集矩阵中表示基本割集与连支关联关系的基本子阵可分块为：式中为基本回路矩阵中表示基本回路与树支关联关系的子阵。由于电容尽可能划在树支，由电容连支构成的基本回路中必定不含电阻和电感。所以，§4-4对不含受控源的线性网络建立状态方程的系统公式法fQlQVSVRVLVItCSCRCLCIltGSGRGLGISRLISRLIQQQQVQQQQQBCQQQQGQQQQtBfB0,0.GSSQQ2019/11/28电网络分析第四章§4-4对不含受控源的线性网络建立状态方程的系统公式法由于电感尽可能划在树余中，由电感树支决定的基本割集中必定不包含电阻和电容，故因此0,0.RSQQ000VSVRVLVICSCRCLCIlGRGLGILIQQQQQQQQQQQQQQ2019/11/28电网络分析第四章§4-4对不含受控源的线性网络建立状态方程的系统公式法二、基本割集KCL方程和基本回路KVL方程10fbtlbQiQi10TfbllbBuQu0000VVSSVRRVLLVIICCSSCRRCLLCIIGGRRGLLGIILLIIaiQiQiQiQibiQiQiQiQiiQiQiQiciQiQid0000TTVSVCSCSTTTVRVCRCGRGRTTTTVLVCLCGLGLLTTTTVIVCICGIGIIaQuQuubQuQuQuucQuQuQuQuudQuQuQuQuu①②2019/11/28电网络分析第四章§4-4对不含受控源的线性网络建立状态方程的系统公式法三、非源二端元件的电压电流关系（网络的一次参数矩阵）1、电容元件2、电感元件设电感树支与电感连支之间无耦合，则有3.电阻元件00CcCSssiuCdiCudt00LLLLuLiduidt00RGGGRRRiGuui其中，，，都是由正实数组成的对角阵，而，则是由正实数组成的对称阵（无互感则为对角阵），它们称为网络的一次参数矩阵。cCsCGGaRLLL2019/11/28电网络分析第四章§4-4对不含受控源的线性网络建立状态方程的系统公式法四．网络的范式状态方程1.网络的二次参数矩阵上式左端可改写为：由②（a）得：(1)由①（b）得CCSSCRCLLCIliQiQQiQi0[1][1]0CCCCCCSSCSCSSSSiCudiQiQQiudt10CCVTTSCSVSuuuuQQ则：2019/11/28电网络分析第四章§4-4对不含受控源的线性网络建立状态方程的系统公式法令则：100[1Q]0C==()CCCSSCSCVTTSCSVSTTCCSSCSCCSSVSVCRRCLLCIICdiQiuudtQQdCQCQuQCQudtQiQiQi右边~TCCSSCSCCCQQ~TCCSSVSVCRRCLLCIIdCuQCQuQiQiQidt③2019/11/28电网络分析第四章§4-4对不含受控源的线性网络建立状态方程的系统公式法(2)由②（C）得:上式左端为：由①（d）可得：TTTTLLVLVCLCGLGuQuQuQuQu0[1][1]0LTTTLLLLLLLuLiduQuQQuuidt10LILILiQQiii故:2019/11/28电网络分析第四章§4-4对不含受控源的线性网络建立状态方程的系统公式法令则：0[1]0L10==LITTLLTLLILTTLLLLLIITTTLVLCGLGLQQduQuQiidtdLQLQiQLQidtQuQuQuTLLLLLQLQTTTTLLIILVLCGLGdLiQLQiQuQuQudt④2019/11/28电网络分析第四章§4-4对不含受控源的线性网络建立状态方程的系统公式法(3)为消去③，④式中的非状态变量和，将电阻元件参数方程展开并分别代入①(c)和②(b)得：联立求解得：其中：、、、称为网络的二次参数矩阵RiGu00GGGRRGLLGIITTTRRVRVCRCGRGGuQiQiQiRiQuQuQu~~~~111111TTTTRVRVCRCCRGGLLGRGGIIiRQuRQuRQGGiRQGQi~~~~111111TTGGRRVRVGRRCRCGLLGIIuGQRQuGQRQuGQiGQi~1TRGRGGRRRQGQ~-1TGGRRGRGGQRQRGCL2019/11/28电网络分析第四章§4-4对不含受控源的线性网络建立状态方程的系统公式法2.网络的范式状态方程将上面的，分别代入③，④，整理后：RiGu~~~~1T1T11TGRCRCCRGGLLVRV~1T1CRGGLCIIV[]Ru[RG]iRu+[RG]i[]uCCRCLCRTCRCSSVSdCuQQQQQQQQdtdQQQQQCQdt~~~~11TT1GRCRGLGLL~~T11TT1V