圆的面积奥数

圆的面积圆是一种平面图形，再日常生活中到处可见．如圆桌，圆盘，车辆的轱辘，以及游戏用的棋子，飞盘，呼啦圈等，由于圆有着本身独特的性质，在某些地方是其它形状所不能代替的，车轱辘就是一个很好的例子．这一讲我们着重研究圆以及和圆有关的组合图形的求面积方法．圆的面积计算公式，扇形面积计算公式，同学们在课本上已经都有初步的理解和掌握，我们主要讨论组合图形的面积的计算方法与技巧．请注意常用的扇形：四分之一圆对应圆心角是90度，八分之一圆对应的圆心角是45度．经典题再现如下图所示，O是圆心，圆的周长等于75.36分米，点A、B、C都在圆周上，OABC是梯形，梯形的面积是98.28平方分米．AB=20.76分米，那么阴影部分的面积是多少平方分米?（π取3.14）解：由圆的周长可求圆的半径：75.36=2×3.14×r，r=12．即OC=12．由梯形的面积及它的上底，下底已知，可求梯形的高．98.28=(12+20.76)×高÷2，高=6．阴影的面积=12×6÷2=12×3=36（平方分米）．典型例题【例1】长方形长6分米，宽4分米，分别以长、宽为半径画弧，如图．那么阴影部分的面积是多少平方分米？解：2263.1443.146444=16.82（平方厘米）答：影阴部分的面积是16.82平方厘米．【例2】如图，半圆S1的面积是14.13平方厘米，圆S2的面积是19.625平方厘米，那么阴影部分的面积是多少平方厘米?解：因为s1的面积为14.13平方厘米，所以半径的平方为14.1323.14=9，故半径为3厘米，直径为6厘米．又因为s2的面积为19.625平方厘米，所以S2的半径的平方为19.6253.14=6.25（平方厘米），所以它的半径为2.5厘米，直径为5厘米，所以阴影部分面积为（65）5=5（平方厘米）．答：阴影部分的面积是5平方厘米．【例3】如图，A与B是两个圆（只有14）的圆心，那么，两个阴影部分的面积相差多少平方厘米?解：观察上图可以发现大14圆的面积减去长方形的面积（包括小阴影和大空白两部分）再减去小14圆的面积．就是两个影阴部分的面积差．即22113.144243.14244=1.42（平方厘米）答：两个阴影部分的面积相差1.42平方厘米．【例4】如图，圆的直径AB是4cm，ABCD的面积是7cm2，∠ABC等于30°，求阴影部分面积．解：这个题许多同学将ABC看成是圆心角为30°的扇形．这是错误的，因为AB是直径，BC不是，AB，BC不一样长，所以，ABC不是扇形．如下图，找到圆心O，连CO，AOC才是扇形．先要求这个扇形的圆心角，就可以求出它的面积．然后再求三角形COB的面积，用ABCD的面积减去，就是阴影面积．阴影面积等于平行四边形面积减去扇形AOC的面积，再减去△BOC的面积．扇形的圆心角=180°（180°30°×2）=60°．扇形的面积=2×2×3.14×60÷360=2.09（平方厘米）．△BOC的面积=7÷2÷2=1.75（平方厘米）．阴影部分的面积=7–2.091.75=3.16．答：阴影部分的面积是3.16平方厘米．【例5】下图中阴影部分的面积是多少平方厘米？解：两个空白部分拼起来正好是一个4×4的正方形．所以阴影部分面积等于2×4的长方形面积．2×4=8（平方厘米）答：影阴部分的面积是8平方厘米．【例6】如图所示，这是一个正六边形，它的面积为1040平方厘米．空白部分是半径为10cm的6个小扇形．求阴影部分的面积．解：图中阴影部分的面积显然是正六边形的面积减去六个小扇形的面积．正六边形的面积已知，所以关键是求六个小扇形面积．我们观察每3个小扇形可以拼成一个半径为10厘米的圆，6个小扇形可以拼成2个小圆形．阴影部分的面积就是正六边形的面积减去2个半径为10厘米的小圆的面积．6个扇形的面积为3.14×102×2=628（平方厘米），阴影部分的面积：1040628=412（平方厘米）．答：阴影部分的面积为412平方厘米．难题详解如下图所示，在4×7的方格纸板上画出如阴影所示的“9”字，阴影边缘是线段或圆弧．问阴影面积占纸板面积的几分之几?解：矩形纸板共28个小正方形．其中弧线是14圆周．非阴影部分共6个，也共6个．可拼成6个小正方格．因此阴影部分共2863=19个小方格．所以，阴影面积占纸板面积的1928．答：阴影面积占纸板面积的1928．同步练习1．如下图，ABCD为正方形，且FA=AD=DE=2厘米，求阴影部分的面积？2．有三个形状相同的圆形纸片，面积都是90平方厘米，重叠在一起（如图），盖住桌面的总面积是150平方厘米，三张纸片重叠的面积是28平方厘米，那么图中三个阴影部分面积和是多少平方厘米？3．已知图中各圆相切，小圆半径为1，求阴影部分面积．4．已知每个圆的直径为6厘米，求阴影部分的面积．5．图中正方形ABCD的边长是20厘米，求阴影部分面积．6．如图，已知每个小正方形的面积为1平方厘米，求阴影部分面积．（注：所用分点均理解为所在边中点）．7．如图，大圆直径上的黑点是五等分点，求A，B，C三部分面积之比．8．如图，O为圆心，C为扇形ACB的圆心，CO垂直于AB，三角形ABC的面积为45平方厘米，求阴影部分面积．同步练习解答1．图形DGC为图形DBC面积的一半，于是，阴影部分的面积为2211133.14222223.1424242=2.43（平方厘米）2．解：90×315028×2=64（平方厘米）3．如图I，II，III部分面积是相等的，剩余3块小阴影面积也相等．那么所求阴影部分面积是一个小半圆面积加上大半圆减去2个小圆和3个小半圆剩余部分的13．阴影面积为：2π1π3πππ52π3π23222364．如图，长方形外的阴影部分一共3311442个圆，移至长方形内正好填满长方形，阴影部分的面积就是长方形面积．阴影部分面积=6×2×6=72（平方厘米）．5．充分利用圆的对称性，如图，大扇形ABC的半径是20，它的面积减去三角形ABC的面积就是I的面积．正方形ABCD减去圆O的面积就是4个II的面积．阴影部分就是ABCD面积减去2个I，4个II的面积．202211202π2020204(2020π10)42=129（平方厘米）6．阴影分成两部分，一部分是字母“A”，一部分是字母“r”．字母“A”的面积，我们只需算一半，再2倍就可以了．平行四边形ABCD面积=13322梯形EFHG面积=13115242216字母“A”的面积35291233.62521688．字母“r”的面积2π3662212.26．最后，阴影面积为3.625+12.26=15.885（平方厘米）．7．显然，A与C面积相等，B与C面积比为（1.5212）：[（2.521.52+12）÷2]=1∶2．所以，A，B，C面积比为：2∶1∶2．8．设CA=CB=a，OC=OB=OA=r．则由三角形ABC面积为45知，1452aa，a2=90．再以AB为底计算三角形ABC面积：ABOC12=2OAOC12=b2知，b2=45．阴影部分面积=半圆面积+三角形ABC面积扇形ACB面积．即45+b23.1412a23.1414=45+453.1412903.1414=45