立体几何1.(江苏2004年5分)一平面截一球得到直径是6cm的圆面,球心到这个平面的距离是4cm,则该球的体积是【】(A)33π100cm(B)33π208cm(C)33π500cm(D)33π3416cm【答案】C。【考点】球的体积。【分析】利用条件:球心到这个平面的距离是4cm、截面圆的半径、球的半径、求出球的半径,然后求出球的体积:∵一平面截一球得到直径是6cm的圆面,就是小圆的直径为6,又球心到这个平面的距离是4cm,∴球的半径是:5cm。∴球的体积是:34500533(cm3)。故选C。2.(江苏2005年5分)在正三棱柱111ABCABC中,若AB=2,1AA1则点A到平面1ABC的距离为【】A.43B.23C.433D.3【答案】B。[来源:学*科*网Z*X*X*K]【考点】棱柱的结构特征,点到平面的距离。【分析】过点A作AD⊥BC于点D,连接A1D,过点A作AD⊥面A1BC于点E,则点E在A1D上,AE即为点A到平面1ABC的距离。在Rt△ACD中,AC=2,CD=1,∴AD=3。在Rt△A1DA中,1AA1,AD=3,∴tan∠A1DA=33。∴∠A1DA=300。在Rt△ADE中,AE=AD·sin300=23。故选B。3.(江苏2005年5分)设,,为两两不重合的平面,nml,,为两两不重合的直线,给出下列四个命题:①若,,则||;②若m,n,||m,||n,则||;③若||,l,则||l;④若l,m,n,||l,则nm||奎屯王新敞新疆其中真命题的个数是【】A.1B.2C.3D.4【答案】B。【考点】平面与平面之间的位置关系,空中间直线与直线之间的位置关系,空间中直线与平面之间的位置关系。【分析】由空间中面面平面关系的判定方法,线面平等的判定方法及线面平行的性质定理,逐一对四个答案进行分析,即可得到答案:若α⊥γ,β⊥γ,则α与β可能平行也可能相交,故①错误;由于m,n不一定相交,故α∥β不一定成立,故②错误;由面面平行的性质定理,易得③正确;由线面平行的性质定理,我们易得④正确。故选B。4.(江苏2006年5分)两相同的正四棱锥组成如图1所示的几何体,可放棱长为1的正方体内,使正四棱锥的底面ABCD与正方体的某一个平面平行,且各顶点...均在正方体的面上,则这样的几何体体积的可能值有【】(A)1个(B)2个(C)3个(D)无穷多个【答案】D。【考点】正四棱锥的体积。【分析】由于两个正四棱锥相同,所以所求几何体的中心在正四棱锥底面正方形ABCD中心,由对称性知正四棱锥的高为正方体棱长的一半,影响几何体体积的只能是正四棱锥底面正方形ABCD的面积.问题转化为边长为1的正方形的内接正方形有多少种,易知无穷多个。故选D。5.(江苏2007年5分)正三棱锥P-ABC高为2,侧棱与底面所成角为045,则点A到侧面PBC的距离是▲.【答案】655。【考点】点、线、面间的距离计算;直线与平面所成的角。【分析】在立体几何中,求点到平面的距离是一个常见的题型,同时求直线到平面的距离、平行平面间的距离及多面体的体积也常转化为求点到平面的距离。本题采用的是“找垂面法”:即找(作)出一个过该点的平面与已知平面垂直,然后过该点作其交线的垂线,则得点到平面的垂线段。如图所示:设P在底面ABC上的射影为O,则PO⊥平面ABC,PO=2,且O是三角形ABC的中心。∴BC⊥AM,BC⊥PO,PO∩AM=O。∴BC⊥平面APM。又∵BC⊂平面ABC,∴平面ABC⊥平面APM。又∵平面ABC∩平面APM=PM,∴A到侧面PBC的距离即为△APM中PM边上的高。设底面边长为a,则AM=32a,∴233AO323aa,∴由侧棱与底面所成角为045和PO=2,得323a,23a。设侧棱为b,则等腰直角三角形的性质,得22b。则在Rt△PBC中,BM=3,PB=22,∴由勾股定理,得PM=5。由面积法得A到侧面PBC的距离556523223h。6.(江苏2009年5分)在平面上,若两个正三角形的边长的比为1:2,则它们的面积比为1:4,类似地,在空间内,若两个正四面体的棱长的比为1:2,则它们的体积比为▲.【答案】1:8。【考点】类比的方法。【分析】在平面上,若两个正三角形的边长的比为1:2,则它们的面积比为1:22,类似地,在空间内,若两个正四面体的棱长的比为1:2,则它们的体积比为1:23。7.(江苏2009年5分)设和为不重合的两个平面,给出下列命题:学科网(1)若内的两条相交直线分别平行于内的两条直线,则平行于;(2)若外一条直线l与内的一条直线平行,则l和平行;(3)设和相交于直线l,若内有一条直线垂直于l,则和垂直;(4)直线l与垂直的充分必要条件是l与内的两条直线垂直。上面命题中,真命题...的序号▲(写出所有真命题的序号).学科网【答案】(1)(2)。【考点】立体几何中的直线、平面的垂直与平行判定的相关定理。【分析】由面面平行的判定定理可知,(1)正确;由线面平行的判定定理可知,(2)正确;对于(3)来说,内直线只垂直于和的交线l,得不到其是的垂线,故也得不出⊥;对于(4)来说,l只有和内的两条相交直线垂直,才能得到l⊥,也就是说当l垂直于内的两条平行直线的话,l不一定垂直于。[来源:Z§xx§k.Com]8.(2012年江苏省5分)如图,在长方体1111ABCDABCD中,3cmABAD,12cmAA,则四棱锥11ABBDD的体积为▲cm3.【答案】6。【考点】正方形的性质,棱锥的体积。【解析】∵长方体底面ABCD是正方形,∴△ABD中=32BDcm,BD边上的高是322cm(它也是11ABBDD中11BBDD上的高)。∴四棱锥11ABBDD的体积为133222=632。9、(2013江苏卷8)8.如图,在三棱柱ABCCBA111中,FED,,分别是1AAACAB,,的中点,设三棱锥ADEF的体积为1V,三棱柱ABCCBA111的体积为2V,则21:VV。答案:8.1:2410.(2014江苏卷8)设甲,乙两个圆柱的底面面积分别为12,SS,体积为12,VV,若它们的ABC1ADEF1B1C侧面积相等且1294SS,则12VV的值是【答案】321.(江苏2004年12分)在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是正方形A1B1C1D1的中心,点P在棱CC1上,且CC1=4CP.(Ⅰ)求直线AP与平面BCC1B1所成的角的大小(结果用反三角函数值表示);(Ⅱ)设O点在平面D1AP上的射影是H,求证:D1H⊥AP;(Ⅲ)求点P到平面ABD1的距离.【答案】解:(I)连接BP。∵AB⊥平面BCC1B1,∴AP与平面BCC1B1所成的角就是∠APB。∵CC1=4CP,CC1=4,∴CP=1。在Rt△PBC中,∠PCB为直角,BC=4,CP=1,∴BP=17。在Rt△APB中,∠ABP为直角,tan∠APB=AB417BP17,∴∠APB=417arctan17。(Ⅱ)证明:由已知OH⊥面APD1,∴OH⊥AP。连接B1D1,由于O是上底面的中心,故O∈B1D1。由正方体的性质知B1D1⊥面AA1C1C,又AP⊂面AA1C1C,∴B1D1⊥AP。又B1D1∩OH=O,∴AP⊥面D1OH。∴D1H⊥AP。(Ⅲ)∵点P到平面ABD1的距离,即点P到平面ABC1D1的距离,∴连接BC1,过点P作PQ⊥BC1于点Q,则PQ即为点P到平面ABD1的距离。∵C1P=3,BC=4,BC1=221BC+CC42,∴由△C1PQ∽△C1BC,得11CPPQBCCB,即PQ3442。·B1PACDA1C1D1BOH·∴3PQ=22,即点P到面ABD1的距离为322。【考点】直线与平面所成的角,点、线、面间的距离计算。【分析】(Ⅰ)由题设条件,连接BP,即可得出AP与平面BCC1B1所成的角为∠PAC,由勾股定理求出BP,即可求出tan∠APB,从而求得∠APB。(Ⅱ)要证D1H⊥AP,只要证AP垂直于D1H所在的平面D1OH。一方面OH⊥AP,另一方面B1D1⊥AP。从而得证。(Ⅲ)连接BC1,过点P作PQ⊥BC1于点Q,则PQ即为点P到平面ABD1的距离。由勾股定理和相似三角形的判定和性质即可求出PQ,即点P到平面ABD1的距离。2.(江苏2005年14分)如图,在五棱锥S—ABCDE中,SA⊥底面ABCDE,SA=AB=AE=2,BCDE3,BAEBCDCDE120奎屯王新敞新疆⑴求异面直线CD与SB所成的角(用反三角函数值表示);(4分)⑵证明:BC⊥平面SAB;(4分)⑶用反三角函数值表示二面角B—SC—D的大小奎屯王新敞新疆(本小问不必写出解答过程)(4分)【答案】解:⑴连接BE,延长BC、ED交于点F,则∠DCF=∠CDF=600,∴△CDF为正三角形,∴CF=DF。又∵BC=DE,∴BF=EF。∴△BFE为正三角形。∴∠FBE=∠FCD=600。∴BE//CD。∴∠SBE(或其补角)就是异面直线CD与SB所成的角。∵SA⊥底面ABCDE,SA=AB=AE=2,∴SB=22。同理SE=22。又∵∠BAE=1200,∴BE=32。∴cos∠SBE=46。∴∠SBE=arccos46。∴异面直线CD与SB所成的角是arccos46。⑵由题意,△ABE为等腰三角形,∠BAE=1200,∴∠ABE=300。又∠FBE=600,∴∠ABC=900。∴BC⊥BA。∵SA⊥底面ABCDE,BC底面ABCDE,∴SA⊥BC,又SABA=A。∴BC⊥平面SAB。APFECBA1EFCPB图1图2⑶二面角B-SC-D的大小82827arccos。【考点】空间中直线与平面之间的位置关系【分析】(1)连接BE,延长BC、ED交于点F,根据线面所成角的定义可知∠SBE(或其补角)就是异面直线CD与SB所成的角,然后在三角形SBE中求出此角即可。(2)欲证BC⊥平面SAB,根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证BC与平面SAB内两相交直线垂直,而BC⊥BA,SA⊥BC,又SA∩BA=A,满足定理所需条件。(3)二面角,可利用空间向量法求解更方便。3.(江苏2006年14分)在正三角形ABC中,E、F、P分别是AB、AC、BC边上的点,满足AE:EB=CF:FA=CP:PB=1:2(如图1)。将△AEF沿EF折起到EFA1的位置,使二面角A1-EF-B成直二面角,连结A1B、A1P(如图2)(Ⅰ)求证:A1E⊥平面BEP;(4分)(Ⅱ)求直线A1E与平面A1BP所成角的大小;(5分)(Ⅲ)求二面角B-A1P-F的大小(用反三角函数表示)(5分)【答案】解:不妨设正三角形ABC的边长为3。(Ⅰ)证:在图1中,取BE中点D,连结DF,则AE:EB=CF:FA=1:2。∴AF=AD=2。而∠A=600,∴△ADF是正三角形。又AE=DE=1,∴EF⊥AD。在图2中,A1E⊥EF,BE⊥EF,[来源:Zxxk.Com]∴∠A1EB为二面角A1-EF-B的平面角。由题设条件知此二面角为直二面角,A1E⊥BE,又BEEFE,∴A1E⊥平面BEF,即A1E⊥平面BEP。(Ⅱ)在图2中,A1E不垂直A1B,∴A1E是平面A1BP的垂线。又A1E⊥平面BEP,∴A1E⊥BE。从而BP垂直于A1E在平面A1BP内的射影(三垂线定理的逆定理)。设A1E在平面A1BP内的射影为A1Q,且A1Q交BP于点Q。则∠E1AQ就是A1E与平面A1BP所成的角,且BP⊥A1Q。在△EBP中,BE=EP=2而∠EBP=600,∴△EBP是等边三角形。又A1E⊥平面BEP,∴A1B=A1P,,∴Q为BP的中点,且EQ3。又A1E=1,在Rt△A1EQ中,11EQtanEAQ3AE,∴∠EA1Q=60o。∴直线A1E与平面A1BP所成的角为600。(Ⅲ)