信号处理入门学习总结(傅里叶分析)

上页下页返回退出JlinInstituteofChemicalTechnology傅里叶分析复习小结傅里叶分析的作用：1对信号进行频谱分析，2对系统响应进行分析傅里叶分析的介绍傅里叶级数（FS）傅里叶变换（FT）离散时间傅里叶变换（DTFT）离散傅里叶变换（DFT）为何傅里叶分析有这四种形式？总体是根据信号的类型不同而采用的不同方法！上页下页返回退出JlinInstituteofChemicalTechnology傅里叶级数（FS）傅里叶级数主要是用来对连续周期信号进行分析的一种方法，傅里叶级数是其他傅里叶分析方法基础。周期信号的傅里叶级数两种表现形式:1:三角函数级数2:指数形式上页下页返回退出JlinInstituteofChemicalTechnology一、三角函数级数表示其中系数的计算公式如下　t)sin(2wbt)cos(2wat)sin(wbt)cos(waaf(t)1212111100111[cos()sin()]nnnaanwtbnwt　　011010()tTTtaftdt011021()cos()tTnTtaftnwtdt011021()sin()tTnTtbftnwtdt上页下页返回退出JlinInstituteofChemicalTechnology三角函数的另一种表示（同频率合并）011()cos()nnnftccnwt　221arctancossinnnbnnnnannnnnncabnwacbc都是的函数傅里叶级数的三角函数表示方式可以最直观的理解傅里叶分析的作用，也就是可以看出一个周期信号内不同频率分量的构成情况。上页下页返回退出JlinInstituteofChemicalTechnology二、傅里叶级数的指数表示）　　（6)()(111ntjnwnntjnweFenwFtf）　　（6)()(111ntjnwnntjnweFenwFtf0111011()()~tTjnwtnTtFnwFftedtn　　　整数111()()jnwtjnwtnnnftFnweFe　　指数形式的傅里叶变换完全是数学推导的结果，引入负频率也没有实际物理意义！但是通过三角级数和指数级数系数之间的确定性关系，也同样可以用来对信号进行分析！上页下页返回退出JlinInstituteofChemicalTechnology典型周期信号的傅里叶级数(频谱)10111011()[cos()sin()]cos()nnnnnnjnwtnnftaanwtbnwtccnwtnFe为正整数单边谱双边谱三角级数和指数级数的系数关系000Fac　)(21nnjnnjbaeFFn　)(21nnjnnjbaeFFnnnnnncFbaF212221nnnFFc上页下页返回退出JlinInstituteofChemicalTechnologyFS实例周期性方波信号的频谱上页下页返回退出JlinInstituteofChemicalTechnology傅里叶变换对非周期连续信号的傅里叶分析，分析前是非周期连续，分析后非周期离散的。110012111)(1)(TTtttjnnwdtetfTFnF时：1T离散谱演变为连续谱谱线间隔011()0Fn谱线的长度①周期信号演变为非周期信号。周期信号的频谱：②③从物理概念上考虑：既然成为一个信号，必然含有一定的能量。无论信号怎么样分解所含能量不变。不管周期增大到什么程度，频谱分布依然存在。上页下页返回退出JlinInstituteofChemicalTechnology从周期信号的傅里叶级数导出傅里叶变换1)(Ttf周期设：周期信号11()()jntnftFne　（1）2211111)(1)(TTtjn⑵dtetfTnF　　0)(11tnFT　　　1)2(T式两边乘做一下变形，111T12T11122()()()jntFnFnTftedt　　　　　　11101112()()(())jtTFnimftFimFedtnT11)(nF称为频谱密度：指单位频带的频谱值。110)(2)(1nFimF)(tf称为原信号的频谱密度函数，简称频谱函数。上页下页返回退出JlinInstituteofChemicalTechnology傅里叶变换是一个频谱密度的概念，不能像傅里叶级数那样可以直观的理解，对周期信号是用实际振幅Cn做出的，对非周期信号是用密度函数做出的。()F上页下页返回退出JlinInstituteofChemicalTechnology离散时间傅里叶变换（DTFT）对非周期离散信号的傅里叶分析，变换前是非周期离散，变换后是周期连续的。njnjenxeX)()(deeXnxjnj)(21)(上页下页返回退出JlinInstituteofChemicalTechnology离散傅里叶变换（DFT）对周期离散信号的傅里叶分析，分析前是周期离散的，分析后也是周期离散的。是四种傅里叶变换中，唯一一种计算机可以处理的分析方法，数据前后都是离散值！尤其是DFT的快速算法FFT，在许多科学技术领域中得到了广泛的应用。上页下页返回退出JlinInstituteofChemicalTechnology在介绍DFT之前，先看一下离散傅里叶级数DFS。正象连续时间周期信号可用傅氏级数表达，周期序列也可用离散的傅氏级数来表示，也即用周期为N的正弦序列来表示。一个周期为N的周期序列，即)(~)(~kNnxnx周期为N的正弦序列其基频成分为：nNjene/21)(上页下页返回退出JlinInstituteofChemicalTechnologyK次谐波序列为周期序列展成离散傅里叶级数时，只需取k=0到(N-1)这N个独立的谐波分量，所以一个周期序列的离散傅里叶级数只需包含这N个复指数之所以写成现在这个形式是为了表达式的简洁性，否则1/N系数就得折算到傅里叶系数计算公式上。knNjkene/2)(10/2)(~1)(~NKknNjekXNnx10)(~)(~102NkenxkXNnknNj上页下页返回退出JlinInstituteofChemicalTechnologyDFS变换对公式表明，一个周期序列虽然是无穷长序列，但是只要知道它一个周期的内容（一个周期内信号的变化况），其它的内容也就都知道了，所以这种无穷长序列实际上只有N个序列值的信息是有用的，因此周期序列与有限长序列有着本质的联系。这两个公式的求和都只限于主值区间（0~N-1），它们完全适用于主值序列x(n)与X(k)，因而我们可得到一个新的定义——有限长序列离散傅里叶变换定义。长度为N的有限长序列x(n)，其离散傅里叶变换X(k)仍是一个长度为N的有限长序列，它们的关系为：10)(1)]([)(10)()]([)(1010NnWkXNkXIDFTnxNkWnxnxDFTkXNkknNNnknN上页下页返回退出JlinInstituteofChemicalTechnologyDFT实例10),/2cos()(NnNnqnx][21)/2cos()(/2/2NqnjNqnjeeNqnnxkqNkqkNeenxkXNnNkqNnjNkqnj其他0,2][21)](DFT[)(10/)(2/)(210),/2cos()(NnNnqnx2/2/()cos(2/)1[]2jqnNjqnNxnqnNee上页下页返回退出JlinInstituteofChemicalTechnologyDTFT是对任意序列的傅里叶分析，它的频谱是一个连续函数；而DFT是把有限长序列作为周期序列的一个周期，对有限长序列的傅里叶分析，DFT的特点是无论在时域还是频域都是有限长序列。上页下页返回退出JlinInstituteofChemicalTechnologyMATLAB中DFT的应用举例假如现在有一信号f(t)=sin(2pi*400t)+sin(2pi*800t),对其进行DFT的频谱分析。信号分析的步骤：第一步确定采样频率第二步确定采样点数第三步调用FFT函数进行计算第四步输出频谱图因为要借助计算机做处理，必须先得到一离散信号，离散序列的确定！上页下页返回退出JlinInstituteofChemicalTechnology一、采样频率的确定根据采样定理，采样频率fs必须大于信号中含有的最大分量频率fmax的两倍，即：fs≥2*fmax对应本例中，含有f1=400Hz，f2=800Hz，fs≥2X800=1600Hz，取fs=2000Hz。上页下页返回退出JlinInstituteofChemicalTechnology二、采样点数N的确定在DFT计算中，采样点数N是与频率分辨率△fs有关的，△fs=fs/N（模拟分辨率），2Pi/N（数字分辨率）。在本例中fs为2000Hz，取△fs=1Hz，则采样点数N为2000。N的取值实际上影响将来频谱图横坐标的最小分度值上页下页返回退出JlinInstituteofChemicalTechnology三、DFT函数调用FFT是DFT分析的一种快速算法！原信号为f(t)=sin(2pi*400t)+sin(2pi*800t)。以下为MATLAB中，调用FFT算法做傅里叶分析的语句。f（t）的时域曲线图上页下页返回退出JlinInstituteofChemicalTechnology四、频谱图分析得到如上频谱图，图中出现了对称的四条频谱线，分别对应频率400，800，1200，1600。实际信号含有的分量只是频率为400和800对应的信号，在该频谱中便可以直观看出！1200和1600这两种频率只是在数学分析的结果，是并不存在的两种对称的虚拟信号。就像FS中双边频谱中的负频率信号。见P30上页下页返回退出JlinInstituteofChemicalTechnology带有噪声的信号分析原信号为f(t)=sin(2pi*400t)+sin(2pi*800t)+X(t)。上式X(t)为随机信号，则该信号在时域的曲线如下：上页下页返回退出JlinInstituteofChemicalTechnology此时的信号肉眼已经根本无从辨别，DFT的优势也就这时得到充分体现，也就是在信号含有多个频率分量并且在含有随机噪声的情况下，可以非常方便地检出其中的所有频率，以供设计人员设计或检验。随机噪声的加入给频谱带来的影响就是在所有频率范围内出现了谱线，但是幅度值都接近于0！这种情况下信号的频谱如图所示：上页下页返回退出JlinInstituteofChemicalTechnology讨论DFT计算过程中涉及到的几个参数对最终傅里叶分析的影响！fs、N采样频率fs是受到香农采样定理限制，必须大于被处理信号中最大频率的2倍，理论上fs的值越大越好，fs越大，在采样点数相同的情况下，所需总采样时间t=N/fs越小！但是实际上又受到采样电路硬件的限制，不可能无限制加快！所以将来fs的选取要综合考虑两方面的条件：1，允许最大的分析周期2，硬件的采样速度上页下页返回退出JlinInstituteofChemicalTechnology采样点数N的取值影响到频谱图的频率分辨率，也就是频谱图横坐标的最小分度，N越大频谱曲线越精细，越能精确的分析出信号中的频率分布情况！但是N越大，最后的计算量也越大，将会增加计算时间！假如N的取值在满