5.双参数+线性目标函数

题型五：双参数+线性目标函数,:.xababab题型特征(1)给出的“可行区域函数”中，除了自变量以外，还含有参数；（2）所求的目标函数，形如“求的取值范围”；（3）在“可行区域函数”中，与的系数比可以取到，也可能取不到::abab解题方法(1)与的系数比可以取到时：系数赋值法；（2）与的系数比不能取到时：线性规划拆分系数法.浙江诸暨杨岸杰12[4,4],()231.xfxaxbxaab例1、若对于任意实数函数0恒成立,则5的最小值为(4)2941(1)1(1)1294101010;5xfabfabfabxyxyxyzxy分析：区间[-4,4]内有无数个，相应可得到无数个必要条件，如：0，0；0；换元可得：；；相当于无数条直线，构成了一个可行区域,让我们求目标函数的最小值.22,,[4,4],2313)10.xtaxbytxtytxtxtyxy为便于理解，我们进行如下换元：原来的，题目相当于变成：对于任意实数不等式0恒成立,即(2恒成立求：5的最小值23)10txty已知：(2对照xy求：5ttab223当且仅当时，才能出现5的形式51,tttt2231由得：3或512,;,.txyxytxyxy1把3代入不等式得：15310即53151把代入不等式得：-10即522221,3ab5的最小值为最大值为2.浙江诸暨杨岸杰221()ln24215.3.4.52019.4fxaxxbxabABBD例2(若函数在[1,2]上递增,则的最小值为（）河南八市重高三测)(44)2(22)3.xxxxabxRab例3、已知不等式对任意恒成立，则当的最大值为211()ln2()202fxaxxbxfxaxbx解：在[1,2]上递增在[1,2]上恒成立1:2=1:42abxx令与的系数比，得，1220,442ababB代入不等式得：即，答案221:144=2(22)22,(2),44222,1333223(31)24xxxxxxxxabtttttttatbabt解：令与的系数比为，即设则，解得浙江诸暨杨岸杰3()sinsin2.2bfx=axxxRab例4、已知函数在上递增，则的取值范围是()sinsin2()coscos2102bfx=axxxRfx=axbxR解：在上递增在上恒成立21coscos22cos1cos1cos2abxxxxx令与的系数相等，即，得或cos1101111cos10,2222xababxabab当时，代入不等式得：，解得：时，代入不等式得：得：[1,2]ab浙江诸暨杨岸杰43(sincos)2sin23(,).axxbxabRxRaba例5、已知对任意恒成立,则当取得最小值时,22,3(sincos)2sin2[2,2],33(sincos)1sin21,6()92233)3,222abxx=xtttatbttxxxtttabab解：令系数比为1:1,即，则恒成立，，即解得：舍去，或当时，(此时有最小值23(sincos)2(2)sin233(sincos)32(2)sin2baaxxaxaxxax又当时，恒成立即恒成立22sincos2sin(),[2,2],sin214332(2)(1),[2,2],kxxxkxkakakk设则且则对任意恒成立22(42)3(12)0126302420422(54)05akakaakaaaaa即恒成立（）时，不恒成立，故不合题意;（）时,应有，解得a怎么求的值？浙江诸暨杨岸杰523(20181)[,4]4221336.xaxbxaxabab例6浙江9联盟期中17改编当时，恒成立，则的最大值为，的取值范围是234[,4]42()2243,[,4],[4,5],[4,5]22,,[4,5]2222xaxbxaxxabxkxxkkkabxxaybkkxykxykx解：当时，恒成立恒成立记则当时，恒成立设则当时，，即恒成立52,52,42,42yxyxyxyx几何含义为四条直线围成的可行区域本图中纵横单位长度的比例不是1:1(),[,],,kkabab131131令此时445则2即-61361333434134[,4]()2=321333xxxxabxxxx实际上,时，令得或(舍去),代入即可得到结果.以上分析，主要是为例7作铺垫.浙江诸暨杨岸杰6ab前面的例题中,可行区域中都可取到满足目标函数中与的系数比的点.那么，当取不到这个点时，又该怎么处理呢？237[,4]426.2xaxbxaxab例、当时，恒成立，则的取值范围是[4,5]2kkxy解：当时，恒成立，k取不到6！6zxy方法一：可行区域为图中四边形，求的取值范围,,,.ABCD算出四点坐标，代入目标函数，得到取值范围方法二：拆分系数[4,5]2452kkxykkkxy由前面分析可知，时，恒成立及时，4224252252xyxyxyxy即，也即，6(4)(5),1,2xyxyxy设解得21(4)2(1)62(5)4(2)xyxy(1)(2)666ab得：-4:5xymxyn也可以换元设浙江诸暨杨岸杰7小结::a+bababab一、求的取值范围时（1）给出的函数中，若与的系数可以取到，直接赋值即可；（2）给出的函数中，若与的系数不能取到，则需分析几何含义，得到可行区域，对线性目标函数，可以代点计算；(斜率型和距离型目标函数不能轻易代点，后文另行讲解).（3）如求的是“取到最值时或的值”,如例5，则还需要根据已知条件，继续分析、求解.浙江诸暨杨岸杰8