复变函数与实变函数的相同与不同联系与区别-数学物理方法

复变函数与实变函数之比较——北方工大目录•1、复变函数与实变函数特点的比较•2、复变函数与实变函数的联系与区别1、复变函数与实变函数特点比较•1.1、相同点•1.2、不同点一、复变函数与实变函数特点比较实变函数：以实数作为自变量的函数叫实变函数，它是微积分学的进一步发展，基础是点集论（点集论是专门研究点所成的集合的性质的理论）。当然它与古典数学也有差别。复变函数：主要研究定义域为复数的函数的微积分以及幂级数展开等性质。1.1、相同点•首先，复变函数和实变函数研究的主体都是函数；•其次，复变函数和实变函数研究的主线都是：变量、函数、极限、导数、级数、积分；•第三，对复变函数和实变函数研究所采用的方法基本相同，或最少是没有明显的差异。基本方法都是传统的数学方法。1.2不同点•两者定义域不同，即所建立的空间不一样；•复函研究是黎曼积分从数学分析的实空间扩展到复空间上，而实函是另一套积分理论--勒贝格积分；•所建立的思维不同、研究方法不同；1.2不同点•研究范围不同：实变函数论的内容包括实值函数的连续性质、微分理论、积分理论和测度论；而复变函数的三大分支是分析（柯西积分理论）、几何（黎曼面理论）、代数（魏尔斯特拉斯级数理论）；•一些初等函数的值域、周期性、算法（尤其积分）有很大区别；2、复变函数实变函数的联系与区别2.1、联系2.2、区别2.1、联系•从数学专业来看，本科阶段的分析学课程群（与极限理论有关的数学课程类）包括数学分析、实变函数、复变函数、泛函分析和拓扑学等核心课程。•如此来看，复变函数只是实变函数在微积分领域的推广与发展，又称复分析。2.1、联系实变函数有序组合可以这样表示复函：•显然，一个复变函数是两个许多定义、公式、定理可直接移植到复变函数中。•举例（文献），以二元实函为例，从连续性、可导性、可微性、解析性方面说明了两者之间的联系；以Green公式说明两者的紧密相联；以复变函数、实变函数的定理巧妙解决相互之间的问题说明两者联系。y)iv(x,y)u(x,(z)wf2.2、区别•重大差别：微分中值定理、解析函数的无穷可微性（对于单连通区域D内的解析函数来说，具有无穷可微性，但对一元实函数而言，这一点是难以保障的）和零点孤立性。•其他方面还有以下几点1解析函数的值与值之间有紧密联系：柯西积分定理是解析函数积分的理论基础，其实质就是一个在区域内的解析函数是可以用一个积分来表示的，也就是解析函数在区域内任意处的值总可以用其在边界上的积分来表示；2.2、区别2函数连续但不可导在分析中找一个处处连续而一点不可导的例子是很困难的，而在复变函数中这样的例子很多；3关于对数：在实数范围内，负数不能取对数，而在复数范围内，任一个非零复数都有无穷多个对数，负数只是没有实对数；4关于ROLL定理：一元实函数中的ROLL定理不能直接推广到复数域中来；2.2、区别•5关于积分中值定理：一元实函数中的积分中值定理不能直接推广到复数域中来；•6关于最大(小)值：f(x)在闭区间上连续必可取得最大(小)值，而最值可以在区间内部也可以在区间的端点处取得，复变函数在区域D内解析且不恒为常数，f、u、v都不会在区域内部取得最大值。y)iv(x,y)u(x,(z)wf谢谢指导！