函数的对称性与周期性教师讲义

函数的对称性与周期性一函数的对称性（一）函数图象的自对称所谓函数图象的自对称是指一个函数图象的对称(中心对称或轴对称)图象是其本身.关于函数图象的自对称,有下列性质:1、奇函数的图象关于对称，偶函数的图象关于对称，反之亦然。2、二次函数)0(2acbxaxy的图象关于直线对称。3、三角函数xysin的图象关于直线对称，它也有对称中心是；xycos的图象的对称轴是，对称中心是。4、函数xfy若对于定义域内任意一个x都有xbfxaf，则其图象关于直线对称。5、函数xfy若对于定义域内任意一个x都有bxafxaf，则其图象关于点对称。6、曲线xfy关于直线ax与bx（a＜b）对称，则xfy是周期函数且周期为（二）函数图象的互对称所谓函数图象的互对称是指两个函数图象的上的点一一对应，且对应点相互对称（中心对称或轴对称）。关于函数图象的互对称,有下列性质:1、互为反函数的两个函数的图象关于直线对称；反之，。2、函数xfy与函数xfby2的图象关于直线对称。3、函数xafy与函数xbfy的图象关于直线对称。4、函数xfy与函数xhfky22的图象关于点对称。二函数的周期性如果函数y＝f(x)对于定义域内任意的x，存在一个不等于0的常数T，使得f(x＋T)＝f(x)恒成立，则称函数f(x)是周期函数，T是它的一个周期.一般情况下，如果T是函数f(x)的周期，则kT(k∈N＋)也是f(x)的周期.关于函数的周期性的结论：1、已知函数xfy对任意实数x,都有fxafx,则xfy是以为周期的函数；2、已知函数xfy对任意实数x,都有xaf1()fx,则xfy是以为周期的函数.3．已知函数xfy对任意实数x,都有xaf1()fx,则xfy是以为周期的函数；4、已知函数xfy对任意实数x,都有bxfxaf，则xfy是以为周期的函数5、已知函数xfy对任意实数x,都有f(x＋a)＝f(xb),则是xfy的一个周期.6、已知函数xfy对任意实数x,都有f(x＋m)＝)x(f1)x(f1,则是f(x)的一个周期.7、已知函数xfy对任意实数x,都有f(x＋m)＝－)x(f1)x(f1,求证:4m是f(x)的一个周期.证明：由已知f(x＋2m)＝f[(x＋m)＋m])(1)(1)(11)(1)(11)(1)(1xfxfxfxfxfmxfmxf于是f(x＋4m)＝－)m2x(f1＝f(x)所以f(x)是以4m为周期的周期函数.三、对称性和周期性之间的联系1、函数()yfx有两根对称轴,xaxb时，那么该函数必是周期函数，且对称轴之间距离的两倍必是函数的一个周期。即：已知函数()yfx满足()()faxfax，()()fbxfbx（a≠b），则函数()yfx是周期函数。证明：∵()()faxfax得()(2)fxfax()()fbxfbx得()(2)fxfbx∴(2)(2)faxfbx∴()(22)fxfbax∴函数()yfx是周期函数，且22ba是一个周期。2、函数()yfx满足()()faxfaxc和()()fbxfbxc（a≠b）时，函数()yfx是周期函数。（函数()yfx图象有两个对称中心（a，2c）、（b，2c）时，函数()yfx是周期函数，且对称中心距离的两倍，是函数的一个周期。）证明：由()()faxfaxc()(2)fxfaxc()()fbxfbxc()(2)fxfbxc得(2)(2)faxfbx得()(22)fxfbax∴函数()yfx是以2b－2a为周期的函数。3、函数()yfx有一个对称中心（a，c）和一个对称轴xb（a≠b）时，该函数也是周期函数，且一个周期是4()ba。特别地：————————————————————————————————————————四．例题应用1、函数xaxy2cos2sin的图象关于直线8x对称，则a的值为（）A.1B.2C.2D.12.定义在R上的函数满足:()(4),fxfx且2x时()fx递增，12124,(2)(2)0xxxx，则12()()fxfx的值（）A.恒正B.恒负C.等于0D.正负都有可能3．xfy是定义在R上的偶函数，其图象关于直线2x对称，且当2,2x时，12xxf，则当2,6x时，()fx4．已知函数f(x)的定义域为R，且对任意正整数x，都有f(x)＝f(x－1)＋f(x＋1)若f(0)＝2004，则f(2004)解：因为f(x)＝f(x－1)＋f(x＋1)所以f(x＋1)＝f(x)＋f(x＋2)两式相加得0＝f(x－1)＋f(x＋2)即：f(x＋3)＝－f(x)∴f(x＋6)＝f(x)f(x)是以6为周期的周期函数2004＝6×334∴f(2004)＝f(0)＝20045已知f(x)是定义在R上的偶函数，定义在R上的奇函数g(x)过点(－1,1)且g(x)＝f(x－1)，则f(2007)＋f(2008)＝解析：f(x)＝f(－x)＝g(1－x)＝－g(x－1)＝－f(x－2)＝f(x－4)，∴f(2007)＝f(－1)＝g(0)＝0，f(2008)＝f(0)＝g(1)＝－1，∴f(2007)＋f(2008)＝－1.答案：－16．()fx是定义在R上的以3为周期的奇函数，且(2)0f，则方程()0fx在区间（0，6）内解的个数的最小值是（）A．2B．3C．4D．5解：()fx是R上的奇函数，则(0)0f，由(3)()fxfx得(3)0f，(2)0f(5)0f(2)0f(1)0(1)0ff∴(4)0f∴x=1，2，3，4，5时，()0fx这是答案中的五个解。但是(15)(153)(15)fff又(15)(15)ff知(15)0f而0(15)(153)(45)fff知1.5,4.5,()0xxfx也成立，可知：在（0，6）内的解的个数的最小值为7。7．设函数()fx在（，）上满足(2)(2)fxfx，(7)(7)fxfx，且在闭区间[0，7]上，只有(1)(3)0ff。⑴试判断函数()yfx的奇偶性；⑵试求方程()0fx在闭区间[－2005，2005]上的根的个数，并证明你的结论解：⑴由(2)(2)fxfx，(7)(7)fxfx得函数()yfx的对称轴为2x，7x。由前面的知识可知函数的一个周期为T=10。因为函数()yfx在[0，7]上只有(1)(3)0ff可知(0)0f，(7)0f又(3)0,(3)(310)(7)ffff且∴(7)0f而(7)0f且(7)0f，则(7)(7)ff，(7)(7)ff因此，函数()yfx既不是奇函数，也不是偶函数。⑵由(3)(1)0ff，可得(11)(13)(7)(9)0ffff故函数()yfx在[0，10]和[－10，0]上均有两个解，满足()0fx；从而可知函数()yfx在[0，2005]上有402个解，在[－2005，0]上有400个解。所以，函数()yfx在[－2005，2005]上共有802个解。8．已知函数的图象与函数的图象关于原点成中心对称,求的解析式。四大性质综合应用1．(2010·湖北八校)设函数f(x)的定义域、值域分别为A、B，且A∩B是单元集，下列命题①若A∩B＝{a}，则f(a)＝a；②若B不是单元集，则满足f[f(x)]＝f(x)的x值可能不存在；③若f(x)具有奇偶性，则f(x)可能为偶函数；④若f(x)不是常数函数，则f(x)不可能为周期函数．其中，正确命题的序号为________．解析：如f(x)＝x＋1，A＝[－1,0]，B＝[0,1]满足A∩B＝{0}，但f(0)≠0，且满足f[f(x)]＝f(x)的x可能不存在，①错，②正确；如，f(x)＝1，A＝R，B＝{1}，则f(x)＝1，A＝R是偶函数，③正确；如f(x)＝x－2k＋1，A＝[2k－1,2k]，B＝[0,1]，k∈Z，f(x)是周期函数，但不是常数函数，所以④错误．答案：②③2．对于定义在R上的函数f(x)，有下述四个命题，其中正确命题的序号为________．①若f(x)是奇函数，则f(x－1)的图象关于点A(1,0)对称；②若对x∈R，有f(x＋1)＝f(x－1)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称；③若函数f(x－1)的图象关于直线x＝1对称，则f(x)为偶函数；④函数y＝f(1＋x)与函数y＝f(1－x)的图象关于直线x＝1对称．解析：f(x－1)的图象是由f(x)的图象向右平移一个单位而得到，又f(x)是奇函数，其图象关于原点对称，所以f(x－1)的图象关于点A(1,0)对称，故①正确；由f(x＋1)＝f(x－1)可知f(x)的周期为2，无法判断其对称轴，故②错误；f(x－1)的图象关于直线x＝1对称，则f(x)关于y轴对称，故f(x)为偶函数，③正确；y＝f(1＋x)的图象是由y＝f(x)的图象向左平移一个单位后得到，y＝f(1－x)是由y＝f(x)的图象关于y轴对称后再向右平移一个单位而得到，两者图象关于y轴对称，故④错误．答案：①③3．定义在R上的函数满足对任意恒有，且不恒为0。（1）求和的值；（2）试判断的奇偶性，并加以证明；（3）若时为增函数，求满足不等式的的取值集合。解析：（1）令，得∴令，得∴（2）令，由，得又∴又∵不恒为0∴为偶函数（3）由知又由（2）知∴又∵在上为增函数∴故的取值集合为4.已知函数，其中，为自然对数的底数。（1）讨论函数的单调性；（2）求函数在区间[0，1]上的最大值。解析：（1）①当时，令，得若，则，从而在（0，+）上单调递增若，则，从而在（）上单调递减②当时，令，得，故或若，则，从而在（）上单调递减若，则，从而在（0，）上单调递增若，则，从而在（）上单调递减（2）①当时，在区间上的最大值是1②当时，在区间[0，1]上的最大值是③当时，在区间[0，1]上的最大值是