考点36-圆的方程-高考全攻略之备战2019年高考数学(理)考点一遍过

（1）掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程.（2）能用圆的方程解决一些简单的问题.一、圆的方程圆的标准方程圆的一般方程定义在平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫圆，确定一个圆最基本的要素是圆心和半径方程圆心半径区别与联系（1）圆的标准方程明确地表现出圆的几何要素，即圆心坐标和半径长；（2）圆的一般方程的代数结构明显，圆心坐标和半径长需要通过代数运算才能得出；（3）二者可以互化：将圆的标准方程展开可得一般方程，将圆的一般方程配方可得标准方程注：当D2+E2－4F=0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示一个点(,)22DE；当D2+E2－4F＜0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0没有意义，不表示任何图形．二、点与圆的位置关系标准方程的形式一般方程的形式点（x0，y0）在圆上点（x0，y0）在圆外点（x0，y0）在圆内三、必记结论（1）圆的三个性质①圆心在过切点且垂直于切线的直线上；②圆心在任一弦的中垂线上；③两圆相切时，切点与两圆心三点共线．（2）两个圆系方程具有某些共同性质的圆的集合称为圆系，它们的方程叫圆系方程．①同心圆系方程：2220()()()xaybrr，其中a，b为定值，r是参数；②半径相等的圆系方程：2220()()()xaybrr＝，其中r为定值，a，b为参数．考向一求圆的方程1．求圆的方程必须具备三个独立的条件．从圆的标准方程来看，关键在于求出圆心坐标和半径，从圆的一般方程来讲，能知道圆上的三个点即可求出圆的方程，因此，待定系数法是求圆的方程常用的方法．2．用几何法求圆的方程，要充分运用圆的几何性质，如“圆心在圆的任一条弦的垂直平分线上”，“半径、弦心距、弦长的一半构成直角三角形”．典例1圆心在y轴上，半径为1，且过点1,3的圆的方程是A．2221xyB．2221xyC．2231xyD．2231xy【答案】C【解析】设圆心坐标为0,a，圆的半径为1，且过点1,3，220131a，解得3a，所求圆的方程为2231xy.故选C.【名师点睛】本题考查圆的方程，考查学生的计算能力，属于基础题.设出圆心坐标，利用半径为1，且过点1,3，即可求得结论.1．已知圆22:684Cxy，O为坐标原点，则以OC为直径的圆的方程为A．2234100xyB．2234100xyC．223425xyD．223425xy考向二与圆有关的对称问题1．圆的轴对称性:圆关于直径所在的直线对称．2．圆关于点对称：（1）求已知圆关于某点对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置;（2）两圆关于点对称，则此点为两圆圆心连线的中点．3．圆关于直线对称：（1）求已知圆关于某条直线对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置;（2）两圆关于直线对称，则此直线为两圆圆心连线的垂直平分线．典例2（1）已知圆C1：（x+1）2+（y－1）2=1，圆C2与圆C1关于直线x－y－1=0对称，则圆C2的方程为A．22(())221xyB．22(())221xyC．22(())221xyD．22(())221xy（2）若圆（x+1）2+（y－3）2=9上相异两点P，Q关于直线kx+2y－4=0对称，则k的值为_________．【答案】（1）B；（2）2．【解析】（1）圆C1的圆心为（－1，1），半径长为1，设圆C2的圆心为（a，b），由题意得111022ab且1=1+1ba，解得a=2，b=－2，所以圆C2的圆心为（2，－2），且半径长为1，故圆C2的方程为（x－2）2+（y+2）2=1．（2）已知圆（x+1）2+（y－3）2=9的圆心为（－1，3），由题设知，直线kx+2y－4=0过圆心，则k×（－1）+2×3－4=0，解得k=2．2．圆22210xyaxy关于直线1xy对称的圆的方程为221xy，则实数a的值为A．0B．1C．±2D．2考向三与圆有关的轨迹问题1．求轨迹方程的步骤如下：建系，设点：建立适当的坐标系，设曲线上任一点坐标,()Mxy．写集合：写出满足复合条件P的点M的集合|MPM．列式：用坐标表示PM，列出方程,0fxy．化简：化方程,0fxy为最简形式．证明：证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点．2．求与圆有关的轨迹方程的方法典例3已知点P（2,2），圆C：x2＋y2－8y＝0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点．（1）求点M的轨迹方程；（2）当|OP|＝|OM|时，求直线l的方程及POM△的面积．【答案】（1）M的方程为（x－1）2＋（y－3）2＝2；（2）l的方程为y＝－13x＋83，POM△的面积为165．3．已知点2,2P，圆C：2280xyy，过点P的动直线l与圆C交于,AB两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点.（1）求M的轨迹方程；（2）当OPOM时，求l的方程及POM△的面积.考向四与圆有关的最值问题对于圆中的最值问题，一般是根据条件列出关于所求目标的式子——函数关系式，然后根据函数关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法等，应用不等式的性质求出最值．特别地，要利用圆的几何性质，根据式子的几何意义求解，这正是数形结合思想的应用．典例4与直线40xy和圆22220xyxy都相切的半径最小的圆的方程是A．22112xyB．22114xyC．22112xyD．22114xy【答案】C【名师点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，考查了数形结合的思想，计算能力，属于中档题.典例5已知点(),xy在圆22()(23)1xy++上．（1）求xy的最大值和最小值；（2）求yx的最大值和最小值．【答案】（1）xy的最大值为21，最小值为21；（2）yx的最大值为2323，最小值为2323.【解析】（1）设txy+，则yxt＝，t可视为直线yxt＝的纵截距，∴x＋y的最大值和最小值就是直线与圆有公共点时直线纵截距的最大值和最小值，即直线与圆相切时的纵截距．由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，即|2(3)|12t，解得21t或21t．∴xy的最大值为21，最小值为21．（2）yx可视为点(),xy与原点连线的斜率，yx的最大值和最小值就是过原点的直线与该圆有公共点的斜率的最大值和最小值，即直线与圆相切时的斜率．设过原点的直线的方程为ykx，由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，即2|23|11kk，解得2323k或2323k．∴yx的最大值为2323，最小值为2323．【名师点睛】1．与圆的几何性质有关的最值（1）记O为圆心，圆外一点A到圆上距离最小为||AOr，最大为||AOr；（2）过圆内一点的弦最长为圆的直径，最短为以该点为中点的弦；（3）记圆心到直线的距离为d，直线与圆相离，则圆上点到直线的最大距离为dr，最小距离为dr；（4）过两定点的所有圆中，面积最小的是以这两个定点为直径端点的圆．2．与圆的代数结构有关的最值（1）形ybxa形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；（2）形如taxby形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；（3）形如22()()xayb形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．4．已知方程224240xyxy，则22xy的最大值是A．14－65B．14＋65C．9D．141．若方程22448430xyxy表示圆，则其圆心为A．11,2B．11,2C．11,2D．11,22．若直线0xya是圆2220xyx的一条对称轴，则a的值为A．1B．1C．2D．23．对于aR，直线1210axya恒过定点P，则以P为圆心，2为半径的圆的方程是A．224210xyxyB．224230xyxyC．224210xyxyD．224230xyxy4．若过点2,0有两条直线与圆222210xyxym相切，则实数m的取值范围是A．,1B．1,C．1,0D．1,15．已知A（－4，－5）、B（6，－1），则以线段AB为直径的圆的方程A．（x＋1）2＋（y－3）2＝29B．（x－1）2＋（y＋3）2＝29C．（x＋1）2＋（y－3）2＝116D．（x－1）2＋（y＋3）2＝1166．圆上的点到直线的距离最大值是A．B．C．D．7．圆C的圆心在y轴正半轴上，且与x轴相切，被双曲线2213yx的渐近线截得的弦长为3，则圆C的方程为A．2211xyB．2233xyC．22312xyD．2224xy8．若直线10laxby：经过圆M：224210xyxy的圆心，则222(2)ab的最小值为A．5B．5C．25D．109．已知圆C：22341xy与圆M关于x轴对称，Q为圆M上的动点，当Q到直线2yx的距离最小时，Q点的横坐标为A．222B．222C．232D．23210．过点()1,1P的直线将圆形区域22{()4|,}xyxy分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为A．20xyB．10yC．0xyD．340xy11．已知点1,,Qm，P是圆C：22244xaya上任意一点，若线段PQ的中点M的轨迹方程为2211xy，则m的值为A．1B．2C．3D．412．已知圆22:22330Cxyxy，点0,(0)Amm，AB、两点关于x轴对称．若圆C上存在点M，使得0AMBM，则当m取得最大值时，点M的坐标是A．332,22B．323,22C．333,22D．333,2213．在平面直角坐标系中，三点0,0O,2,4A，6,2B，则三角形OAB的外接圆方程是__________．14．设点M（x0,1），若在圆O：x2＋y2＝1上存在点N，使得∠OMN＝45°，则x0的取值范围是________．15．已知x,y满足2x－4x－4＋2y＝0,则22xy的最大值为________．16．已知圆C的圆心坐标为00,Cxx，且过定点6,4P．（1）写出圆C的方程；（2）当0x为何值时，圆C的面积最小，并求出此时圆C的标准方程．17．在平面直角坐标系xOy中，已知点1,2A，0,0O.（1）在x轴的正半轴上求一点M，使得以OM为直径的圆过A点，并求该圆的方程;（2）在（1）的条件下，点P在线段OM内，且AP平分OAM，试求P点的坐标.18．已知圆过点1,2A，1,4B．求：（1）周长最小的圆的方程；（2）圆心在直线240xy上的圆的方程．19．已知圆22:25Cxy，直线:120lmxym，mR．（1）求证：对mR，直线l与圆C总有两个不同的交点,AB；（2）求弦AB的中点M的轨迹方程，并说明其轨迹是什么曲线.1．【答案】C2．【答案】D【解析】将圆22210xyaxy化为标准方程为222124aaxy.∴圆心坐标为,12a，半径为2a，∵圆22210xyaxy关于直线1xy对称的圆的方程为221xy，∴101102a，∴2a，故选D.【名师点睛】本题主要考查两圆关于直线对称的性质，解答本题的关键是利用