实际问题与一元一次方程(二)(提高)

让更多的孩子得到更好的教育地址：北京市西城区新德街20号4层电话：[phone]传真：[phone]第1页共8页实际问题与一元一次方程（二）（提高）知识讲解撰稿：孙景艳审稿：赵炜【学习目标】(1)进一步提高分析实际问题中数量关系的能力，能熟练找出相等关系并列出方程；(2)熟悉利润，存贷款，数字及方案设计问题的解题思路．【要点梳理】要点一、用一元一次方程解决实际问题的一般步骤列方程解应用题的基本思路为：问题分析抽象方程求解检验解答．由此可得解决此类问题的一般步骤为：审、设、列、解、检验、答．要点诠释：（1）“审”是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，以及它们之间的关系，寻找等量关系．（2）“设”就是设未知数，一般求什么就设什么为x，但有时也可以间接设未知数．（3）“列”就是列方程，即列代数式表示相等关系中的各个量，列出方程，同时注意方程两边是同一类量，单位要统一．（4）“解”就是解方程，求出未知数的值．（5）“检验”就是指检验方程的解是否符合实际意义，当有不符合的解时，及时指出，舍去即可．（6）“答”就是写出答案，注意单位要写清楚．要点三、常见列方程解应用题的几种类型（续）1．利润问题（1）=100%利润利润率进价(2)标价＝成本(或进价)×(1＋利润率)(3)实际售价＝标价×打折率(4)利润＝售价－成本(或进价)＝成本×利润率注意：“商品利润＝售价－成本”中的右边为正时，是盈利；当右边为负时，就是亏损.打几折就是按标价的十分之几或百分之几十销售．2．存贷款问题（1）利息=本金×利率×期数（2）本息和（本利和）＝本金＋利息＝本金＋本金×利率×期数＝本金×(1＋利率×期数)（3）实得利息=利息-利息税（4）利息税=利息×利息税率（5）年利率＝月利率×12（6）月利率＝年利率×1213.数字问题已知各数位上的数字，写出两位数，三位数等这类问题一般设间接未知数，例如：若一个两位数的个位数字为a，十位数字为b，则这个两位数可以表示为10b+a．4．方案问题选择设计方案的一般步骤：让更多的孩子得到更好的教育地址：北京市西城区新德街20号4层电话：[phone]传真：[phone]第2页共8页（1）运用一元一次方程解应用题的方法求解两种方案值相等的情况．（2）用特殊值试探法选择方案，取小于（或大于）一元一次方程解的值，比较两种方案的优劣性后下结论．【典型例题】类型一、利润问题1．文星商店以每支4元的价格进100支钢笔，卖出时每支的标价6元，当卖出一部分钢笔后，剩余的打9折出售，卖完时商店赢利188元，其中打9折的钢笔有几支?【答案与解析】解：设打折的钢笔有x支，则有：6(100-x)+6×90%x＝100×4+188解得x＝20答：打9折的钢笔有20支．【总结升华】本题可以采用列表法分析问题：售价数量售出总价按标价出售6100-x6(100-x)剩余的打折出售6×90%x6×90%x此外本题还可以这样列方程：(6-4)(100-x)+(6×0.9-4)x＝188，这是以利润作为相等关系来构建方程的，其结果一样．举一反三：【高清课堂：实际问题与一元一次方程(二)388413思考与研究1】【变式】某种商品的标价为900元，为了适应市场竞争，店主打出广告：该商品九折出售，并返100元现金.这样他仍可获得10%的利润率（相对于进货价），问此商品的进货价是多少？（用四舍五入法精确到个位）【答案】解：设此商品的进货价为x元，依题意，得：(900×0.9-100)-x=10%x，得：x=564511∴x≈645.答：此商品的进价约为645元.类型二、存贷款问题2．某公司从银行贷款20万元，用来生产某种产品，已知该贷款的年利率为15%(不计复利)，每个产品成本是3.2元，售价是5元，应纳税款为销售款的10%．如果每年生产10万个，并把所得利润(利润＝售价－成本－应纳税款)用来偿还贷款，问几年后能一次性还清?【答案与解析】解：设x年后能一次性还清贷款，根据题意，得(5-3.2-5×10%)·10x＝20+20×15%x．解之，得x＝2．答：所以2年后能一次性还清贷款．【总结升华】解答本题利用了类比的数学方法，把贷款与存款相类比，贷款金额相当于存款本金，贷款的年利率相当于存款的年利率，每年产品的利润＝售价－成本－应纳税款，产品的总利润等于本息和．让更多的孩子得到更好的教育地址：北京市西城区新德街20号4层电话：[phone]传真：[phone]第3页共8页举一反三：【高清课堂：实际问题与一元一次方程(二)388413贷款问题】【变式】小华父母为了准备她上大学时的16000元学费，在她上初一时参加教育储蓄，准备先存一部分，等她上大学时再贷一部分.小华父母存的是六年期（年利率为2.88%），上大学贷款的部分打算用8年时间还清（年贷款利息率为6.21%），贷款利息的50%由政府补贴.如果参加教育储蓄所获得的利息与申请贷款所支出的利息相等，小华父母用了多少钱参加教育储蓄？还准备贷多少款？【答案】解：设小华父母用x元参加教育储蓄，依题意，x×2.88%×6=(16000-x)×6.21%×8×50%,解得,x≈9436(元)16000-9436=6564(元).答：小华父母用9436元参加教育储蓄，还准备贷6564元.类型三、数字问题3．一个两位数，十位数字比个位数字的4倍多1，将这两个数字调换顺序所得的数比原数小63，求原数．【答案与解析】解：设这个两位数的个位数字为x，则十位数字为4x+1．根据题意得：10(4x+1)+x＝10x+(4x+1)+63，解得x＝2，∴4x+1＝4×2+1＝9，故这个两位数为92．答：这个两位数是92．【总结升华】在数字问题中应注意：（1）求的是一个两位数，而不是两个数；（2）这类应用题，一般设间接未知数，切勿求出x就答；（3）两位数的表示方法是10位上的数字乘以10，把所得的结果和个位数字相加类型四、方案设计问题4．某牛奶加工厂有鲜奶9吨，若在市场上直接销售鲜奶，每吨可获取利润500元，制成酸奶销售，每吨可获取利润1200元；制成奶片销售，每吨可获利润2000元，该工厂的生产能力是：如制成酸奶，每天可加工3吨；制成奶片每天可加工1吨，受人员限制，两种加工方式不可同时进行，受气温条件限制，这批牛奶必须在4天内全部销售或加工完毕．为此，该厂某领导提出了两种可行方案：方案1：尽可能多的制成奶片，其余直接销售鲜牛奶；方案2：将一部分制成奶片，其余制成酸奶销售，并恰好4天完成．你认为选择哪种方案获利最多，为什么?【答案与解析】解：（1）若选择方案1，依题意，总利润=2000元×4+500元×(9-4)=10500元．（2）若选择方案2．设将x吨鲜奶制成奶片，则用(9-x)吨鲜奶制成酸奶销售，依题意得，9413xx，解得1.5x．让更多的孩子得到更好的教育地址：北京市西城区新德街20号4层电话：[phone]传真：[phone]第4页共8页当1.5x时，97.5x．总利润=2000元×1.5+1200元×7.5=12000元．∵1200010500，∴选择方案2较好．答：选择方案2获利最多，只要在四天内用7.5吨鲜奶加工成酸奶，用1.5吨的鲜奶加工成奶片．【总结升华】如果题目中的数量关系较复杂，常借助列表，画线段图，示意图等手段帮助我们理顺题目中的数量关系，列出方程．例如本题方案2中，设将x吨鲜奶制成奶片，则列表如下：每吨利润吨数工效天数酸奶12009x393x奶片2000x11x合计94从表中能一目了然条件之间的关系，从而，得到等量关系．举一反三：【变式1】商场出售的A型冰箱每台售价2190元，每日耗电量为1度，而B型节能冰箱每台售价比A型冰箱高出10%，但每日耗电量却为0.55度．现将A型冰箱打折出售(打一折后的售价为原价的110)，问商场将A型冰箱打几折，消费者买A型冰箱10年的总费用与B型冰箱10年的总费用相当(每年365天，每度电按0.40元计算)．【答案】解：设商场A型冰箱打x折，依题意，买A型冰箱需2190×10x元，10年的电费是365×10×1×0.4元；买B型冰箱需2190×(1+10%)元，10年的电费是365×10×0.55×0.4元，依题意，得：2190×10x+365×10×1×0.4＝2190×(1+10%)+365×10×0.55×0.4解得：x＝8答：商场将A型冰箱打8折出售，消费者买A型冰箱10年的总费用与B型冰箱10年的总费用相当．【变式2】某市居民生活用电的基本价格为每度0.40元，若每月用电量超过a度，超出部分按基本电价的70%收费．(1)某户五月份用电84度，共交电费30.72元，求a；(2)若该户六月份的电费平均每度0.36元，求六月份共用电多少度?应交电费多少元?【答案】解：(1)根据题意，得0.40a+0.40×70%×(84-a)＝30.72．解得：a＝60．(2)设该户六月份共用电x度，因0.36＜0.40，所以x＞60，于是超出部分电量为(x-60)度，依题意，得：0.40×60+0.4×70%(x-60)＝0.36x．解得：x＝90．所以0.36x＝0.36×90＝32.40元．答：(1)a＝60；(2)该用户六月份共用电90度，应交电费32.40元．让更多的孩子得到更好的教育地址：北京市西城区新德街20号4层电话：[phone]传真：[phone]第5页共8页撰稿：孙景艳审稿：赵炜【巩固练习】一、选择题1.(乌鲁木齐)阳光公司销售一种进价为21元的电子产品，按标价的九折销售，仍可获利20％，则这种电子产品的标价为()．A．26元B．27元C．28元D．29元2.某商场第一季度的利润是82.75万元，其中一月份的利润是25万元，若平均每月的增长率为x，则依题意列方程为（）A．25（1+x）2=82.75B．25+50x=82.75C．25+25（1+x）2=82.75D．25[1+（1+x）+（1+x）2]=82.753.某个体商贩在一次买卖中同时卖出两件上衣,每件售价均为135元,若按成本计算,其中一件盈利25%,一件亏本25%,则在这次买卖中他()A．不赚不赔B．赚9元C．赔18元D．赚18元4．从2008到2011期间，甲每年6月1日都到银行存入a元的一年定期储蓄．若年利率为q保持不变，且每年到期的存款本息均自动转为新的一年定期储蓄，到2011年6月1日，甲去银行不再存款，而是将所有存款的本息全部取回，则取回的金额是（）元．A．a（1+q）4B．a（1+q）5C.a（1+q）+a（1+q）2+a（1+q）3D.a+aq35.一个两位数，十位上是x，个位上是y，若把十位上和个位上对调，所得的两位数与原数的差是（）A．11的倍数B．2的倍数C．9的倍数D．不确定6.学友书店推出售书优惠方案：①一次性购书不超过100元的，不享受优惠；②一次性购书超过100元但不超过200元的，一律打九折；③一次性购书超过200元的，一律打八折．如果王明同学一次性购书付款162元，那么王明所购书的原价一定为()．A．180元B．202.5元C．180元或202.5元D．180元或200元二、填空题7．某商品的价格标签已丢失，售货员只知道“它的进价为80元，打七折售出后，仍可获利5%”，你认为售货员应标在标签上的价格为________元．8．某书城开展学生优惠购书活动,凡一次性购书不超过200元的一律九折优惠,超过200元的,其中200元按九折算,超过200元的部分按八折算.某学生第一次去购书付款72元,第二次去购书享受八折优惠,他查看了所买书的定价,发现两次共节约了34元.则该学生第二次购书实际付款______________元.9.在日历中竖列上相邻的三个数的和是45，则这三天的日期分别是________．10.在日历上，已知三个相邻数（横）的和为60，则这三天的日期分别是________．11．一个三位数，个位数字是x，百位数字比个