第3节稳定性、收敛性和误差估计

常微分方程初值问题数值解法第1章§3稳定性、收敛性和误差估计本节讨论线性多步法的几个基本理论问题：稳定性、收敛性和误差估计以及有重要意义的绝对稳定性和相对稳定性。3.1局部截断误差、相容性考虑初值问题§3稳定性、收敛性和误差估计()a1.3(),uftu′=[]=∈Ttt,0[]T,0()b1.3()00utu=0,00≠=∑∑=+=+kkjjnkjjjnjfhuαβαL,2,1,0=n以及逼近的线性p阶k步法（3.2）[][]∑=+′−+=kjjjjhtuhjhtuhtuL0)()();(βα[])()();(00jhtuhjhtuhtuLnjkjnjkjn+′−+=∑∑==βα)()(2)1(11+++++=pppphOtuhc[]htuLtutfhtunjnjnjkjjnjkj);())(,()(00+=++=+=∑∑βα[]htuLn);()()(2)1(11+++++=pppphOtuhc要想un→u(tn)，必须在某种条件下（3.2）逼近(3.1)a。当u(t)有p+2次连续微商为（3.1）的解时，则由（2.36）和（2.37），我们有或（3.6）（3.5）（3.4）（3.3）()11121211(2)(2)!1!ppppkkkkppαααβββ−−+++−+++−LL=+1pc（3.7）引入差分算子[]htuLn);(—局部截断误差；)()(2)1(11+++++pppphOtuhc—局部截断误差主项；Cp+1—局部截断误差主项系数L[u(tn);h]，用un+j代替u(tn+j)就得到（3.2））。我们关心的是整体截断误差en=u(tn)-un。由于L[u(tn);h]→0(h→0)。故用线性p阶k步法建立起了的差分方程（3.2）是微分方程(3.1)a的逼近（即（3.5）中舍去()jnjnutu++=()1,,1,0−=kjL特别，若如下局部化假设成立：用多步法（3.2）计算un+k时，un+j(j=0,1,…,k-1)精确。即()()()()()[][]htuLutftutfhutunknknknknkknknj);(,,+−=−++++++βα()()()knknknknutftutf++++−,,=()()()knknknknuututf++++−′η,()()()()[],();jkunknknknknhftutuLuthαβη++++′−−=其中hn+k介于u(tn+k)与un+k之间。从而若多步法是显格式：bk=0并且ak=1，则u(tn+k)-un+k=L[u(tn);h]由（3.5）式减（3.2）式得由微分中值定理总而言之若多步法是隐格式：bk≠0并且en+k与L[u(tn);h]成比例。()knknutu++−)()(2)1(11+++++=pnppphOtuhc（3.8）()()001(),kkjnjjnjnjjjuthftuthαβ+++==⎡⎤−⎢⎥⎣⎦∑∑[]htuLhn);(1()()[])1(,)(otutftunnn=−′−[]()hohtuLn=);(()2hO=现在考虑一般k步法（3.2）（不必要求是p阶的方法），对任的保证是要求满足：当h→0时，差分算子（3.2）逼近微分算子成立，也就是()()tutftu,)(=′ntt=而，令，则只需使成立即可。当h→0时（3.10）（3.9）()意光滑解u(t)，为使（3.2）的解un收敛到u(tn)，昀基本（低）（3.1)a，即()()(),nnnutftut′−−(1)o=jkjjλαλρ∑==0)(jkjjλβλσ∑==0)(()10,ρ=()()11σρ=′00=c0)1(0==⇔∑=kjjαρ01=c()01)1(00=−′=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−⇔∑∑==σρβαkjjkjjj⇔()()11σρ=′定义3.1如果解初值问题（3.1）的多步法（3.2）至少是一阶的，则称多步法（3.2）是相容的。（3.12）为使多步法（3.2）是相容，必须且只需（3.11）引进多步法（3.2）的第一和第二特征多项式：事实上，从(3.12)和(3.13)的定义，由（2.34）可推出，若为一阶的方法，应有（3.13）()()()()()21ln11ppcOρλλσλλλ++−=−+−1λ→当时00=∑=jkjα100kkmmjjjjjmjαβ−===∑∑pm,,2,1L=()jpkjjpkjjpjβα∑∑=+=+≠0101证明：由于方法为p阶的，则应有阶条件：多步法（3.2）可以借助于第一和第二特征多项式来研究。定理线性k步法（3.2）是p(p≥1）阶的当且仅当存在系数c≠0，使得另一方面，取l=ez，则l→1对应于z→0,再利用Taylor展开，得()()zzezeσρ−00kkjzjzjjjjezeαβ===−∑∑000011!!kkmmmmjjjmjmjzzjzmmαβ∞∞====⎛⎞⎛⎞=−⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠∑∑∑∑()1001011!1!kkmmmmjjmjmjjzjzmmαβ∞∞−====⎛⎞⎛⎞=−⎜⎟⎜⎟−⎝⎠⎝⎠∑∑∑∑10001!kkmmmjjmjjjmjzmαβ∞−===⎛⎞=−⎜⎟⎝⎠∑∑∑()121pppczOz+++=+那么，对于某一个c≠0成立等价于有阶条件成立。代回变换l=ez即证得定理。11001!kkmmpjjjjjpjzpαβ−+==⎛⎞=−⎜⎟⎝⎠∑∑()2pOz++()nnnnffhuu−+=+++11232()2,ρλλλ=−()31,22σλλ=−()()()λσλλρln−()()()()⎟⎠⎞⎜⎝⎛−++−+++=211231ln112zzzz⎟⎠⎞⎜⎝⎛+⎟⎠⎞⎜⎝⎛++−−+=1233121322zzzzzzL()43125zOz+=3512C=。故上述二步方法是二阶的，误差主项系数解：由则例设已给定显式方法:试求它的阶p及误差主项系数。1−=λdefz为应用上述定理，利用来表达是方便的。⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−+=++++nnnnnfffhuu1253412231223()()()λσλλρln−()()()()()⎟⎠⎞⎜⎝⎛++−++−+−+=125134112231ln11223zzzzz⎟⎠⎞⎜⎝⎛++⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−+−−++=12512233131212243223zzzzzzzzzL()5483zOz+=43.8C=故上述三步显式方法是三阶的，误差主项系数。同样地，对于多步法由展开式，G.Dahlquist研究了线性多步法的阶与根条件的⎩⎨⎧++≤.,2,1为偶数当为奇数，当kkkkp因此，在构造线性多步法时，要兼顾根条件与精度阶两方面。关系，并指出，当方法满足根条件的时，其阶附注：利用关系式确定r(l)和s(l)线性多步法是由其特征多项式r(l)和s(l)所确定的,而这两个多项式又有其内在联系，即它们满足一定的关系式。个多项式就可以唯一确定。关系式可以唯一确定r(l)，使方法（3.2）的p≥k阶；如果给定r(l)利用上述关系式可以唯一确定s(l),使方法（3.2）的p≥k+1阶。具体地说，如果给定s(l),利用上述如果给定r(l)和s(l)两个多项式之一，利用上述关系式，另一显然，要确定k步Gear方法，昀方便的作法是:(),kσλλ=令1,zλ=+再令则可写成()即可得到的r(l)表达式，从而得到k步k阶Gear方法。()()()111ln1++++=+kkzOzzzρ把ln(1+z)和(1+z)k展成z的幂级数，然后整理成(1+z)的幂级数()()()()211ln1zOzzz+++=+ρ()()2212zOzzz++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=()2zOz+=()()211zOz+−+=()111,++++=nnnnutfhuu舍去O(z2)，得r(l)=l-1。对应的一步一阶Gear公式为：例1给定s(l)=l,k=1，试确定相应的r(l)。解：我们有隐式的Euler方法。()()()()3211ln1zOzzz+++=+ρ()()32212zOzzz++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=()3223zOzz++=()()()322112123zOzz+++−+=()=λρ212232+−λλ()2212,21223++++=+−nnnnnutfhuuu()2212,323134+++++−=nnnnnutfhuuu舍去O(z3),得对应的2步2阶Gear公式为：解：我们有或者例2给定s(l)=l2,k=2，试确定相应的r(l)。jjkjnnTnhvuCvu−≤−≤≤0maxmax（3.14）定义3.2如果存在常数C（不依赖h和多步法（3.2）的解）和h0＞0，使()0,0hh∈∀和多步法（3.2）的任意解{un}和{vn}（初值不同）恒有3．2（零）稳定性则称多步法（3.2）是稳定（stable）。这说明，对一切充分小的h，多步法（3.2）的解连续地依赖于初值。定理3.1设r(l）是形如（3.11）的第一特征多项式，则多步法(3.2)稳定的充分必要条件是r(l)满足根条件。单位圆内(︱l︱≤1)，且位于单位圆上的都是即r(l)的所有特征值在单根。()00uf′=≡。00=+=∑jnkjjuαL,1,0=n1111jrmlnnjljjlucnξ−−===∑∑jkjnTnhuCu≤≤≤0maxmax必要性，将多步法（3.2）用于方程其解形如，又{vn=0}是上述k阶齐次差分方程的平凡解。此时不等式为：()0,0hh∈∀即{un}关于n和h(nh≤T，0≤h≤h0)而当h→0时，n→∞，因此r(l)满足根条件。此时（3.2）简化为：证明：一致有界。()00,,kkjnjjnjnjjjuhftuαβ+++===∑∑()jnjnkjjjnkjjvtfhv++=+=∑∑=,00βαnjnkjjbh=+=∑εα0,,1,0L=nhT00hh()()[]jnjnjnjnkjjnvtfutfb++++=−=∑,,0β充分性，设{un}和{vn}是（3.2）任意两个解，则令en=un-vn，则en满足其中（3.16）（3.15）()()vuLvtfutf−≤−,,0knnjjbBLε+=≤∑11111210100010kkkkkkαααααααα−−−−−−⎛⎞−−−−⎜⎟⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠LLOOMMOOMC+=−1nnCεεnb设B=max{︱b0︱,…,︱bk︱},f关于u满足Lipschitz条件：则将（3.15）写成向量形式：()Tnknknnεεε,,,21L−+−+=ε引进k维列向量和（3.17）()Tnknbh0,,0,1L−=αb，以及k×k阶矩阵+=0εCεnnln1-n0l−=∑bCl逐次递推，得（3.18）,,1,0L=nhT00hh()∑=−+==kjjnnnn12121,εεεε今设r(l)满足根条件，则由引理1.1，矩阵{Cn}一致有界。以表示向量的欧氏范数，‖C‖表示与向量的欧氏范数相容的矩阵范数，则存在常数M，使得CM≤knknknBLbhbhααα≤⋅⋅≤=−222bjnkjh+=∑ε0又,,1,0L（3.19）（3.20）=nhT00hhlnnlnMM−−=∑+≤bεε100∑∑−==−−+−+≤100110nlkjljnkhMBLMεαε∑∑=−+=−+=kjijnjikhMBLM0110εαε⎟⎠⎞⎜⎝⎛++++=∑∑∑−+==−=−iknkiiniinikhMBLMεεεα111010Lε()iknikkhMBLMεα∑−+=−++≤10101ε()⎟⎠⎞⎜⎝⎛+++≤≤∑−+=−+−−+ikniknknknkhMBLMεεαε2011011εε()⎟⎠⎞⎜⎝⎛+++≤∑−+=−+−ikniknkkhMBLkMMεεα201101()()iknikknkkhMBLkhMBLkMMεαεα∑−+=−−+−++++=20111011于是由（3.18）～（3.20）得从而（3.21）()0011max,,,,kMεεε−=L从而进一步取，()()⎟⎠⎞⎜⎝⎛+++−≤∑−+=−−−+iknikkknkhMBLkMMkhMBLεααε20101