人教版2017高中数学选修1-2推理与证明课件PPT

第二章推理与证明第二章推理与证明2.2.1综合法与分析法1、了解综合法的思考过程、特点,会用综合法证明题目.2、了解分析法的分析思路,会用分析法证明题目.3、能用分析法分析证题思路,用综合法书写证明过程.应用:1、证明不等式2、证明等式内容：本课主要学习综合法与分析法。通过两个引例出发,引入综合法与分析法,通过对比掌握它们证题的特点,并总结出它们之间的区别与联系,为在实际问题中分析问题寻找解题方法做好铺垫.重点:会用综合法和分析法证明问题;了解综合法与分析法的思考过程.难点:根据问题的特点,结合综合法与分析法的思考过程、特点,选择适当的证明方法.本课选用了两个例题。例题设置难易适度,每个例题后有针对性的练习,便于学生巩固和掌握,且第一个例题与变式训练分别用分析法和综合法来证明,让学生真正体会两种方法的优点与作用，另外,第二个例题可以用综合法，也可以用分析法,从而锻炼学生灵活应用方法解决问题的能力.采用一讲一练针对性讲解的方式，重点理解综合法与分析法的应用。通过观看视频，大家一起讨论一下我们应该如何测的恒星之间的距离呢？如何测的恒星之间的距离复习推理合情推理（或然性推理）演绎推理（必然性推理）归纳(特殊到一般）类比（特殊到特殊）三段论（一般到特殊）合情推理是发现的方法，演绎推理是数学中严格证明的工具.怎样用演绎推理来证明呢？这是要讲究方法的.今天,我们就来认识一些基本的证明方法……合情推理得到的结论是不可靠的，需要证明.数学中证明的方法有哪些呢？间接证明（反证法）分析法综合法直接证明证明的方法引例一:证明不等式:222()xxxR2222(1)110xxx222xx证法1:由2(1)0x2(1)110x2220xx222xx证法2:由证法2是从已经成立的事实出发,经过正确推理,得到要证的结论.------综合法引例二:求证3725分析:从待证不等式不易发现证明的出发点,因此我们直接从待证不等式出发,分析其成立的充分条件.证明:要证明3725,只需证22(37)(25),即证1022120,即证22110,即证215,即证2125,因为2125显然成立,所以原不等式成立.在本例中,由于我们很难想到从“2125”入手,所以用综合法证明比较困难.以上采用的证明方法就是分析法.利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等,经过一系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫做综合法.用P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等,Q表示所要证明的结论.则综合法用框图表示为:1PQ12QQ23QQnQQ…综合法是由一个个推理组成的.特点：由因索果综合法概念从要证明的结论出发，逐步寻求推证过程中，使每一步结论成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件为止，这种证明的方法叫做分析法．这个明显成立的条件可以是：已知条件、定理、定义、公理等特点：执果索因（逆推）则分析法用框图表示为:得到一个明显成立的条件PP12QP1PP23…分析法概念(1)区别:综合法是从已知条件出发,逐步推向未知,每步寻找的是必要条件;分析法是从待求结论出发,逐步靠拢已知,每步寻找的是充分条件.(2)优缺点:综合法和分析法是直接证明的两种基本方法,两种方法各有优缺点,综合法从条件推出结论,能较简捷地解决问题,但不便于思考;分析法解题方向较为明确,容易寻找到解题的思路和方法,缺点是思路逆行,叙述较繁.1.综合法:要点:顺推证法;由因导果．2.分析法:要点:逆推证法;执果索因．3.综合法与分析法的区别及优缺点综合法与分析法的比较【分析法】从结论出发，寻找结论成立的充分条件直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件.要证：只要证：只需证：显然成立上述各步均可逆所以结论成立要证：所以结论成立格式分析基本不等式：(a0,b0)的证明.a+bab2证明:因为;所以所以所以成立()b20a20a+bab2a+baba+bab2证明:要证只需证只需证只需证因为成立所以成立a+bab22a+bab20a+bab()b20a()b20aa+bab2还原成综合法：证明:因为;所以当且仅当a=b时取等号所以所以成立证明:要证只需证只需证而当且仅当成立所以成立综合法：ababbaaabbbaab0aabbbaab2()()()()0aabbababab=abababba0,0ab22abbaabba，10,0,abababba例、已知求证：22abbaabbaababba3322,ababababab设是两个正实数，且，求证：证明：方法一（分析法）证明:要证只需证只需证只需证即只需证而由已知条件可知显然成立，所以命题得证.3322+ababab22(+)()()abaabbabab22aabbab2220aabb2()0abab2()0ab方法二（综合法）证明:即即由条件可知即，所以命题得证.22aabbab2220aabbab2()0ab0ab22(+)()()abaabbabab3322ababab例2：在△ＡＢＣ中，三个内角Ａ、Ｂ、Ｃ对应的边分别为a、b、c，且Ａ、Ｂ、Ｃ成等差数列，a、b、c成等比数列，求证△ＡＢＣ为等边三角形．证明：CA2BCB成等差数列、、A3BCBAacbcba2成等比数列、、accaBaccab22222cos2由余弦定理得0)(222caacacca即ca是等边三角形ABC解决数学问题时，往往要先作语言的转换，如把文字语言转换成符号语言，或把符号语言转换成图形语言。还要通过细致的分析，把其中的隐含条件明确表示出来．)sin)(cossin(cossincos:222244左边证明右边2cossincos22等式成立2cossincos44，求证：对任意锐角1.知识与技能:(1)综合法：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立.(2)分析法：从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）.(3)综合法与分析法的区别：综合法是从已知条件出发，逐步推向未知，每步寻找的是必要条件；分析法是从待求结论出发，逐步靠拢已知，每步寻找的是充分条件.2.思想与方法:顺推与逆推的思想.必做题：1.要证明不等式67225成立，只需证明：.2.已知22222aa与22的大小关系是.3.已知,ab是不相等的正数，2abxyab，，则xy，的大小关系是_________．4.已知,,abc是不全相等的正数，求证：abcbacacbcba6)()()(222222.22(67)(225)2222222aaxy必做题：4.证明：222,0bcbca,22()2abcabc,①同理22()2bcaabc,②22()2cababc,③因为,,abc不全相等，所以222bcbc,222caac,222abab三式不能全取等号，从而①、②、③三式也不能全取等号,∴abcbacacbcba6)()()(222222选做题：1.用分析法证明：若0a，则221122aaaa.2.已知函数1yx，222yxxt，11()2tyxx(0)x的最小值恰好是方程320xaxbxc的三个根，其中01t．求证：223ab；选做题答案：1.证明：要证221122.aaaa，只需证221122.aaaa由0a，所以两边均大于零，因此只需证222211(2)(2)aaaa只需证2222221111442222()aaaaaaaa，只需证22121()2aaaa，只需证2222111(2)2aaaa，即证2212aa，它显然成立．∴原不等式成立．2.证明:三个函数的最小值依次为1，1t，1t，由(1)0f，得1cab∴3232()(1)fxxaxbxcxaxbxab2(1)[(1)(1)]xxaxab，故方程2(1)(1)0xaxab的两根是1t，1t．故11(1)tta，111ttab．由22(11)(1)tta，可得222(1)(1)aba.∴223ab.2.2直接证明与间接证明2.2.2反证法反证法内容：反证法的概念、步骤应用:1.直接证明难以下手的命题2.“至少”、“至多”型命题3.否定性命题4.某些存在性命题本课主要学习反证法。反证法是从否定命题的结论入手，并把对命题结论的否定作为推理的已知条件，进行正确的逻辑推理，使之得到与已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题等相矛盾的结论.本课以视频王戎的故事引入新课，从生活实例抽象出反证法的概念、步骤.让学生感受到了反证法处处可在，也从这些具体的例子中更加熟悉反证法的步骤.并能利用反证法解决简单的问题.证明方法的选择，以及如何发现证明思路是本课的难点.由于学生的实际情况不同，且本节内容涉及过多以往知识点的应用，建议教师在使用本课件时灵活掌握.在讲述反证法的应用时，采用例题与变式结合的方法，通过例1和变式1,让学生明白:当直接证明命题难以下手时，改变其思维方向，从反面进行思考，问题可能解决得十分干脆。通过例2和例3,告诉学生:“至少”、“至多”型命题常用反证法.采用一讲一练针对性讲解的方式，重点理解和巩固反证法的运用方法.1.直接证明的两种基本证法：综合法和分析法2.这两种基本证法的推证过程和特点：由因导果执果索因3、在实际解题时，两种方法如何运用？通常用分析法寻求思路，再由综合法书写过程综合法已知条件结论分析法结论已知条件路边苦李古时候有个人叫王戎，7岁那年的某天，他和小伙伴在路边玩，看见一颗李子树上的果实多得把树枝都快压断了，小伙伴们都跑去摘，只有王戎站着没动.他说：“李子是苦的，我不吃.”小伙伴摘来一尝，李子果然苦的没法吃.小伙伴问王戎：“这就怪了！你又没吃怎么知道李子是苦的啊？”王戎说：“如果李子是甜的，树长在路边，李子早就没有了！李子现在还这么多，所以啊，肯定李子是苦的，不好吃！”王戎推断李子是苦涩的道理和你的方法一样吗？是什么方法？反证法是我们常见的一种证明方法，它隶属于间接证明，今天我们就来一起探讨反证法在证明问题中的应用.反证法路边苦李（1）如果有5只鸽子飞进两只鸽笼，至少有3只鸽子在同一只鸽笼，对吗？（2）A、B、C三个人，A说B撒谎，B说C撒谎，C说A、B都撒谎。则C在撒谎吗？为什么？分析:假设C没有撒谎,则A、B都撒谎.由A撒谎,知B没有撒谎.那么假设C没有撒谎不成立,则C必定是在撒谎.这与B撒谎矛盾.把这种不是直接从原命题的条件逐步推得命题成立的证明方法称为间接证明注：反证法是最常见的间接证法，反证法：假设命题结论的反面成立,经过正确的推理,引出矛盾，因此说明假设错误,从而证明原命题成立,这样的的证明方法叫反证法.（归谬法）反证法的思维方法：正难则反例1：求证：是无理数。2解析：直接证明难以下手的命题，改变其思维方向，从反面进行思考，问题可能解决得十分干脆。例1：求证：是无理数。22证明：假设是有理数则存在互质的整数m,n使得mn22mn222mn22()mmmkkN是偶数，从而必是偶数，故设22222,=knnk从而有4即22nn是偶数，即是偶