相似三角形题比较难有答案

7、（2008年江苏省南通市）如图，四边形ABCD中，AD＝CD，∠DAB＝∠ACB＝90°，过点D作DE⊥AC，垂足为F，DE与AB相交于点E.（1）求证：AB·AF＝CB·CD（2）已知AB＝15cm，BC＝9cm，P是射线DE上的动点.设DP＝xcm（x＞0），四边形BCDP的面积为ycm2.①求y关于x的函数关系式；②当x为何值时，△PBC的周长最小，并求出此时y的值.7、（1）证明：∵AD＝CD，DE⊥AC，∴DE垂直平分AC∴AF＝CF，∠DFA＝DFC＝90°，∠DAF＝∠DCF.∵∠DAB＝∠DAF＋∠CAB＝90°，∠CAB＋∠B＝90°，∴∠DCF＝∠DAF＝∠B在Rt△DCF和Rt△ABC中，∠DFC＝∠ACB＝90°，∠DCF＝∠B∴△DCF∽△ABC∴CDCFABCB，即CDAFABCB.∴AB·AF＝CB·CD（2）解：①∵AB＝15，BC＝9，∠ACB＝90°，∴AC＝22ABBC＝22159＝12，∴CF＝AF＝6∴1(9)2yx×6＝3x＋27（x＞0）②∵BC＝9（定值），∴△PBC的周长最小，就是PB＋PC最小.由（1）可知，点C关于直线DE的对称点是点A，∴PB＋PC＝PB＋PA，故只要求PB＋PA最小.显然当P、A、B三点共线时PB＋PA最小.此时DP＝DE，PB＋PA＝AB.由（1），∠ADF＝∠FAE，∠DFA＝∠ACB＝90°，地△DAF∽△ABC.EF∥BC，得AE＝BE＝12AB＝152，EF＝92.∴AF∶BC＝AD∶AB，即6∶9＝AD∶15.∴AD＝10.Rt△ADF中，AD＝10，AF＝6，∴DF＝8.∴DE＝DF＋FE＝8＋92＝252.∴当x＝252时，△PBC的周长最小，此时y＝12928、(2008湖南怀化)如图10，四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接AE、CG,AE与CG相交于点M，CG与AD相交于点N．求证：（1）CGAE；（2）.MNCNDNANDPAEFCBGFEDCBA10、(2008湖北恩施)如图11，在同一平面内,将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG摆放在一起，A为公共顶点，∠BAC=∠AGF=90°，它们的斜边长为2，若∆ABC固定不动，∆AFG绕点A旋转，AF、AG与边BC的交点分别为D、E(点D不与点B重合,点E不与点C重合),设BE=m，CD=n.（1）请在图中找出两对相似而不全等的三角形，并选取其中一对进行证明.（2）求m与n的函数关系式，直接写出自变量n的取值范围.（3）以∆ABC的斜边BC所在的直线为x轴，BC边上的高所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系(如图12).在边BC上找一点D，使BD=CE，求出D点的坐标，并通过计算验证BD2＋CE2=DE2.（4）在旋转过程中,(3)中的等量关系BD2＋CE2=DE2是否始终成立,若成立,请证明,若不成立,请说明理由.8、证明：（1）四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形,,90,ADCDDEDGADCEDG,ADECDGADECDG△≌△，AECG（2）由（1）得，又CNDANMDCGDAECDGADE,,ANMNANDNCNMNCNDN，即∴AMN∽CDN10、解:(1)∆ABE∽∆DAE,∆ABE∽∆DCA∵∠BAE=∠BAD+45°,∠CDA=∠BAD+45°∴∠BAE=∠CDA又∠B=∠C=45°∴∆ABE∽∆DCA(2)∵∆ABE∽∆DCAGyxOFEDCBA∴CDBACABE由依题意可知CA=BA=2∴nm22∴m=n2自变量n的取值范围为1n2.(3)由BD=CE可得BE=CD,即m=n∵m=n2∴m=n=2∵OB=OC=21BC=1∴OE=OD=2－1∴D(1－2,0)∴BD=OB－OD=1-(2－1)=2－2=CE,DE=BC－2BD=2-2(2－2)=22－2∵BD2＋CE2=2BD2=2(2－2)2=12－82,DE2=(22－2)2=12－82∴BD2＋CE2=DE2(4)成立证明:如图,将∆ACE绕点A顺时针旋转90°至∆ABH的位置,则CE=HB,AE=AH,∠ABH=∠C=45°,旋转角∠EAH=90°.连接HD,在∆EAD和∆HAD中∵AE=AH,∠HAD=∠EAH-∠FAG=45°=∠EAD,AD=AD.∴∆EAD≌∆HAD∴DH=DE又∠HBD=∠ABH+∠ABD=90°FDHAGECB∴BD2+HB2=DH2即BD2＋CE2=DE211、（08浙江温州）如图，在RtABC△中，90A，6AB，8AC，DE，分别是边ABAC，的中点，点P从点D出发沿DE方向运动，过点P作PQBC于Q，过点Q作QRBA∥交AC于R，当点Q与点C重合时，点P停止运动．设BQx，QRy．（1）求点D到BC的距离DH的长；（2）求y关于x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；（3）是否存在点P，使PQR△为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由．11、解：（1）RtA，6AB，8AC，10BC．点D为AB中点，132BDAB．90DHBA，BB．BHDBAC△∽△，DHBDACBC，3128105BDDHACBC．（2）QRAB∥，90QRCA．CC，RQCABC△∽△，RQQCABBC，10610yx，即y关于x的函数关系式为：365yx．（3）存在，分三种情况：①当PQPR时，过点P作PMQR于M，则QMRM．1290，290C，1C．84cos1cos105C，45QMQP，ABCDERPHQM21ABCDERPHQ（第1题图）1364251255x，185x．②当PQRQ时，312655x，6x．③当PRQR时，则R为PQ中垂线上的点，于是点R为EC的中点，11224CRCEAC．tanQRBACCRCA，366528x，152x．综上所述，当x为185或6或152时，PQR△为等腰三角形．12、（08山东省日照市）在△ABC中，∠A＝90°，AB＝4，AC＝3，M是AB上的动点（不与A，B重合），过M点作MN∥BC交AC于点N．以MN为直径作⊙O，并在⊙O内作内接矩形AMPN．令AM＝x．（1）用含x的代数式表示△ＭNP的面积S；（2）当x为何值时，⊙O与直线BC相切？（3）在动点M的运动过程中，记△ＭNP与梯形BCNM重合的面积为y，试求y关于x的函数表达式，并求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？12、解：（1）∵MN∥BC，∴∠AMN=∠B，∠ANM＝∠C．∴△AMN∽△ABC．∴AMANABAC，即43xAN．∴AN＝43x．……………2分∴S=2133248MNPAMNSSxxx．（0＜x＜4）……………3分（2）如图2，设直线BC与⊙O相切于点D，连结AO，OD，则AO=OD=21MN．在Rt△ABC中，BC＝22ABAC=5．ABCDERPHQABCDERPHQABCMNP图1O由（1）知△AMN∽△ABC．∴AMMNABBC，即45xMN．∴54MNx，∴58ODx．…………………5分过M点作MQ⊥BC于Q，则58MQODx．在Rt△BMQ与Rt△BCA中，∠B是公共角，∴△BMQ∽△BCA．∴BMQMBCAC．∴55258324xBMx，25424ABBMMAxx．∴x＝4996．∴当x＝4996时，⊙O与直线BC相切．…………………………………7分（3）随点M的运动，当P点落在直线BC上时，连结AP，则O点为AP的中点．∵MN∥BC，∴∠AMN=∠B，∠AOM＝∠APC．∴△AMO∽△ABP．∴12AMAOABAP．AM＝MB＝2．故以下分两种情况讨论：①当0＜x≤2时，2Δ83xSyPMN．∴当x＝2时，2332.82y最大………8分②当2＜x＜4时，设PM，PN分别交BC于E，F．∵四边形AMPN是矩形，∴PN∥AM，PN＝AM＝x．又∵MN∥BC，∴四边形MBFN是平行四边形．∴FN＝BM＝4－x．∴424PFxxx．又△PEF∽△ACB．∴2PEFABCSPFABS．∴2322PEFSx．………………………………………………9分ABCMND图2OQABCMNP图4OEFABCMNP图3OMNPPEFySS＝222339266828xxxx．……………………10分当2＜x＜4时，29668yxx298283x．∴当83x时，满足2＜x＜4，2y最大．……………………11分综上所述，当83x时，y值最大，最大值是2．…………………………12分