相似三角形题比较难有答案

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7、(2008年江苏省南通市)如图,四边形ABCD中,AD=CD,∠DAB=∠ACB=90°,过点D作DE⊥AC,垂足为F,DE与AB相交于点E.(1)求证:AB·AF=CB·CD(2)已知AB=15cm,BC=9cm,P是射线DE上的动点.设DP=xcm(x>0),四边形BCDP的面积为ycm2.①求y关于x的函数关系式;②当x为何值时,△PBC的周长最小,并求出此时y的值.7、(1)证明:∵AD=CD,DE⊥AC,∴DE垂直平分AC∴AF=CF,∠DFA=DFC=90°,∠DAF=∠DCF.∵∠DAB=∠DAF+∠CAB=90°,∠CAB+∠B=90°,∴∠DCF=∠DAF=∠B在Rt△DCF和Rt△ABC中,∠DFC=∠ACB=90°,∠DCF=∠B∴△DCF∽△ABC∴CDCFABCB,即CDAFABCB.∴AB·AF=CB·CD(2)解:①∵AB=15,BC=9,∠ACB=90°,∴AC=22ABBC=22159=12,∴CF=AF=6∴1(9)2yx×6=3x+27(x>0)②∵BC=9(定值),∴△PBC的周长最小,就是PB+PC最小.由(1)可知,点C关于直线DE的对称点是点A,∴PB+PC=PB+PA,故只要求PB+PA最小.显然当P、A、B三点共线时PB+PA最小.此时DP=DE,PB+PA=AB.由(1),∠ADF=∠FAE,∠DFA=∠ACB=90°,地△DAF∽△ABC.EF∥BC,得AE=BE=12AB=152,EF=92.∴AF∶BC=AD∶AB,即6∶9=AD∶15.∴AD=10.Rt△ADF中,AD=10,AF=6,∴DF=8.∴DE=DF+FE=8+92=252.∴当x=252时,△PBC的周长最小,此时y=12928、(2008湖南怀化)如图10,四边形ABCD、DEFG都是正方形,连接AE、CG,AE与CG相交于点M,CG与AD相交于点N.求证:(1)CGAE;(2).MNCNDNANDPAEFCBGFEDCBA10、(2008湖北恩施)如图11,在同一平面内,将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG摆放在一起,A为公共顶点,∠BAC=∠AGF=90°,它们的斜边长为2,若∆ABC固定不动,∆AFG绕点A旋转,AF、AG与边BC的交点分别为D、E(点D不与点B重合,点E不与点C重合),设BE=m,CD=n.(1)请在图中找出两对相似而不全等的三角形,并选取其中一对进行证明.(2)求m与n的函数关系式,直接写出自变量n的取值范围.(3)以∆ABC的斜边BC所在的直线为x轴,BC边上的高所在的直线为y轴,建立平面直角坐标系(如图12).在边BC上找一点D,使BD=CE,求出D点的坐标,并通过计算验证BD2+CE2=DE2.(4)在旋转过程中,(3)中的等量关系BD2+CE2=DE2是否始终成立,若成立,请证明,若不成立,请说明理由.8、证明:(1)四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形,,90,ADCDDEDGADCEDG,ADECDGADECDG△≌△,AECG(2)由(1)得,又CNDANMDCGDAECDGADE,,ANMNANDNCNMNCNDN,即∴AMN∽CDN10、解:(1)∆ABE∽∆DAE,∆ABE∽∆DCA∵∠BAE=∠BAD+45°,∠CDA=∠BAD+45°∴∠BAE=∠CDA又∠B=∠C=45°∴∆ABE∽∆DCA(2)∵∆ABE∽∆DCAGyxOFEDCBA∴CDBACABE由依题意可知CA=BA=2∴nm22∴m=n2自变量n的取值范围为1n2.(3)由BD=CE可得BE=CD,即m=n∵m=n2∴m=n=2∵OB=OC=21BC=1∴OE=OD=2-1∴D(1-2,0)∴BD=OB-OD=1-(2-1)=2-2=CE,DE=BC-2BD=2-2(2-2)=22-2∵BD2+CE2=2BD2=2(2-2)2=12-82,DE2=(22-2)2=12-82∴BD2+CE2=DE2(4)成立证明:如图,将∆ACE绕点A顺时针旋转90°至∆ABH的位置,则CE=HB,AE=AH,∠ABH=∠C=45°,旋转角∠EAH=90°.连接HD,在∆EAD和∆HAD中∵AE=AH,∠HAD=∠EAH-∠FAG=45°=∠EAD,AD=AD.∴∆EAD≌∆HAD∴DH=DE又∠HBD=∠ABH+∠ABD=90°FDHAGECB∴BD2+HB2=DH2即BD2+CE2=DE211、(08浙江温州)如图,在RtABC△中,90A,6AB,8AC,DE,分别是边ABAC,的中点,点P从点D出发沿DE方向运动,过点P作PQBC于Q,过点Q作QRBA∥交AC于R,当点Q与点C重合时,点P停止运动.设BQx,QRy.(1)求点D到BC的距离DH的长;(2)求y关于x的函数关系式(不要求写出自变量的取值范围);(3)是否存在点P,使PQR△为等腰三角形?若存在,请求出所有满足要求的x的值;若不存在,请说明理由.11、解:(1)RtA,6AB,8AC,10BC.点D为AB中点,132BDAB.90DHBA,BB.BHDBAC△∽△,DHBDACBC,3128105BDDHACBC.(2)QRAB∥,90QRCA.CC,RQCABC△∽△,RQQCABBC,10610yx,即y关于x的函数关系式为:365yx.(3)存在,分三种情况:①当PQPR时,过点P作PMQR于M,则QMRM.1290,290C,1C.84cos1cos105C,45QMQP,ABCDERPHQM21ABCDERPHQ(第1题图)1364251255x,185x.②当PQRQ时,312655x,6x.③当PRQR时,则R为PQ中垂线上的点,于是点R为EC的中点,11224CRCEAC.tanQRBACCRCA,366528x,152x.综上所述,当x为185或6或152时,PQR△为等腰三角形.12、(08山东省日照市)在△ABC中,∠A=90°,AB=4,AC=3,M是AB上的动点(不与A,B重合),过M点作MN∥BC交AC于点N.以MN为直径作⊙O,并在⊙O内作内接矩形AMPN.令AM=x.(1)用含x的代数式表示△MNP的面积S;(2)当x为何值时,⊙O与直线BC相切?(3)在动点M的运动过程中,记△MNP与梯形BCNM重合的面积为y,试求y关于x的函数表达式,并求x为何值时,y的值最大,最大值是多少?12、解:(1)∵MN∥BC,∴∠AMN=∠B,∠ANM=∠C.∴△AMN∽△ABC.∴AMANABAC,即43xAN.∴AN=43x.……………2分∴S=2133248MNPAMNSSxxx.(0<x<4)……………3分(2)如图2,设直线BC与⊙O相切于点D,连结AO,OD,则AO=OD=21MN.在Rt△ABC中,BC=22ABAC=5.ABCDERPHQABCDERPHQABCMNP图1O由(1)知△AMN∽△ABC.∴AMMNABBC,即45xMN.∴54MNx,∴58ODx.…………………5分过M点作MQ⊥BC于Q,则58MQODx.在Rt△BMQ与Rt△BCA中,∠B是公共角,∴△BMQ∽△BCA.∴BMQMBCAC.∴55258324xBMx,25424ABBMMAxx.∴x=4996.∴当x=4996时,⊙O与直线BC相切.…………………………………7分(3)随点M的运动,当P点落在直线BC上时,连结AP,则O点为AP的中点.∵MN∥BC,∴∠AMN=∠B,∠AOM=∠APC.∴△AMO∽△ABP.∴12AMAOABAP.AM=MB=2.故以下分两种情况讨论:①当0<x≤2时,2Δ83xSyPMN.∴当x=2时,2332.82y最大………8分②当2<x<4时,设PM,PN分别交BC于E,F.∵四边形AMPN是矩形,∴PN∥AM,PN=AM=x.又∵MN∥BC,∴四边形MBFN是平行四边形.∴FN=BM=4-x.∴424PFxxx.又△PEF∽△ACB.∴2PEFABCSPFABS.∴2322PEFSx.………………………………………………9分ABCMND图2OQABCMNP图4OEFABCMNP图3OMNPPEFySS=222339266828xxxx.……………………10分当2<x<4时,29668yxx298283x.∴当83x时,满足2<x<4,2y最大.……………………11分综上所述,当83x时,y值最大,最大值是2.…………………………12分

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