人教版必修二直线与方程单元测试题(含答案)

1第三章《直线与方程》单元检测试题时间120分钟，满分150分。一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．已知点A(1，3)，B(－1，33)，则直线AB的倾斜角是()A．60°B．30°C．120°D．150°[答案]C2．直线l过点P(－1,2)，倾斜角为45°，则直线l的方程为()A．x－y＋1＝0B．x－y－1＝0C．x－y－3＝0D．x－y＋3＝0[答案]D3．如果直线ax＋2y＋2＝0与直线3x－y－2＝0平行，则a的值为()A．－3B．－6C．32D．23[答案]B4．直线xa2－yb2＝1在y轴上的截距为()A．|b|B．－b2C．b2D．±b[答案]B5．已知点A(3,2)，B(－2，a)，C(8,12)在同一条直线上，则a的值是()A．0B．－4C．－8D．4[答案]C6．如果AB0，BC0，那么直线Ax＋By＋C＝0不经过()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限[答案]D7．已知点A(1，－2)，B(m,2)，且线段AB的垂直平分线的方程是x＋2y－2＝0，则实数m的值是()A．－2B．－7C．3D．1[答案]C8．经过直线l1：x－3y＋4＝0和l2：2x＋y＝5＝0的交点，并且经过原点的直线方程是()A．19x－9y＝0B．9x＋19y＝0C．3x＋19y＝0D．19x－3y＝0[答案]C9．已知直线(3k－1)x＋(k＋2)y－k＝0，则当k变化时，所有直线都通过定点()A．(0,0)B．(17，27)C．(27，17)D．(17，114)[答案]C10．直线x－2y＋1＝0关于直线x＝1对称的直线方程是()A．x＋2y－1＝0B．2x＋y－1＝0C．2x＋y－3＝0D．x＋2y－3＝02[答案]D11．已知直线l的倾斜角为135°，直线l1经过点A(3,2)，B(a，－1)，且l1与l垂直，直线l2：2x＋by＋1＝0与直线l1平行，则a＋b等于()A．－4B．－2C．0D．2[答案]B12．等腰直角三角形ABC中，∠C＝90°，若点A，C的坐标分别为(0,4)，(3,3)，则点B的坐标可能是()A．(2,0)或(4,6)B．(2,0)或(6,4)C．(4,6)D．(0,2)[答案]A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．直线l与直线y＝1，x－y－7＝0分别交于A，B两点，线段AB的中点为M(1，－1)，则直线l的斜率为_________.[答案]－23[解析]设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y22＝－1，又y1＝1，∴y2＝－3，代入方程x－y－7＝0，得x2＝4，即B(4，－3)，又x1＋x22＝1，∴x1＝－2，即A(－2,1)，∴kAB＝－3－14－－2＝－23.14．点A(3，－4)与点B(5,8)关于直线l对称，则直线l的方程为_________.[答案]x＋6y－16＝0[解析]直线l就是线段AB的垂直平分线，AB的中点为(4,2)，kAB＝6，所以kl＝－16，所以直线l的方程为y－2＝－16(x－4)，即x＋6y－16＝0.15．若动点A，B分别在直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上移动，则AB的中点M到原点的距离的最小值为_________.[答案]32[解析]依题意，知l1∥l2，故点M所在直线平行于l1和l2，可设点M所在直线的方程为l：x＋y＋m＝0，根据平行线间的距离公式，得|m＋7|2＝|m＋5|2⇒|m＋7|＝|m＋5|⇒m＝－6，即l：x＋y－6＝0，根据点到直线的距离公式，得M到原点的距离的最小值为|－6|2＝32.16．若直线m被两平行线l1：x－y＋1＝0与l2：x－y＋3＝0所截得的线段的长为22，则m的倾斜角可以是①15°②30°③45°④60°⑤75°，其中正确答案的序号是_________.(写出所有正确答案的序号)[答案]①⑤[解析]两平行线间的距离为d＝|3－1|1＋1＝2，由图知直线m与l1的夹角为30°，l1的倾斜角为45°，3所以直线m的倾斜角等于30°＋45°＝75°或45°－30°＝15°.[点评]本题考查直线的斜率、直线的倾斜角、两条平行线间的距离，考查数形结合的思想．是高考在直线知识命题中不多见的较为复杂的题目，但是只要基础扎实、方法灵活、思想深刻，这一问题还是不难解决的．所以在学习中知识是基础、方法是骨架、思想是灵魂，只有以思想方法统领知识才能在考试中以不变应万变．三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)(2015·河南省郑州市高一上学期期末试题)已知直线l经过点P(－2,5)且斜率为－34，(1)求直线l的方程；(2)若直线m平行于直线l，且点P到直线m的距离为3，求直线m的方程．[解析](1)直线l的方程为：y－5＝－34(x＋2)整理得3x＋4y－14＝0.(2)设直线m的方程为3x＋4y＋n＝0，d＝|3×－2＋4×5＋n|32＋42＝3，解得n＝1或－29.∴直线m的方程为3x＋4y＋1＝0或3x＋4y－29＝0.18．(本小题满分12分)求经过两直线3x－2y＋1＝0和x＋3y＋4＝0的交点，且垂直于直线x＋3y＋4＝0的直线方程．[解析]解法一：设所求直线方程为3x－2y＋1＋λ(x＋3y＋4)＝0，即(3＋λ)x＋(3λ－2)y＋(1＋4λ)＝0.由所求直线垂直于直线x＋3y＋4＝0，得－13·(－3＋λ3λ－2)＝－1.解得λ＝310.故所求直线方程是3x－y＋2＝0.解法二：设所求直线方程为3x－y＋m＝0.由3x－2y＋1＝0，x＋3y＋4＝0，解得x＝－1，y＝－1，即两已知直线的交点为(－1，－1)．又3x－y＋m＝0过点(－1，－1)，故－3＋1＋m＝0，m＝2.故所求直线方程为3x－y＋2＝0.19．(本小题满分12分)已知A(4，－3)，B(2，－1)和直线l：4x＋3y－2＝0，求一点P，使|PA|＝|PB|，且点P到直线l的距离等于2.[分析]解决此题可有两种思路，一是代数法，由“|PA|＝|PB|”和“到直线的距离为2”列方程求解；二是几何法，利用点P在AB的垂直平分线上及距离为2求解．4[解析]解法1：设点P(x，y)．因为|PA|＝|PB|，所以x－42＋y＋32＝x－22＋y＋12.①又点P到直线l的距离等于2，所以|4x＋3y－2|5＝2.②由①②联立方程组，解得P(1，－4)或P(277，－87)．解法2：设点P(x，y)．因为|PA|＝|PB|，所以点P在线段AB的垂直平分线上．由题意知kAB＝－1，线段AB的中点为(3，－2)，所以线段AB的垂直平分线的方程是y＝x－5.所以设点P(x，x－5)．因为点P到直线l的距离等于2，所以|4x＋3x－5－2|5＝2.解得x＝1或x＝277.所以P(1，－4)或P(277，－87)．[点评]解决解析几何问题的主要方法就是利用点的坐标反映图形的位置，所以只要将题目中的几何条件用坐标表示出来，即可转化为方程的问题．其中解法2是利用了点P的几何特征产生的结果，所以解题时注意多发现，多思考．20．(本小题满分12分)△ABC中，A(0,1)，AB边上的高CD所在直线的方程为x＋2y－4＝0，AC边上的中线BE所在直线的方程为2x＋y－3＝0.(1)求直线AB的方程；(2)求直线BC的方程；(3)求△BDE的面积．[解析](1)由已知得直线AB的斜率为2，∴AB边所在的直线方程为y－1＝2(x－0)，即2x－y＋1＝0.(2)由2x－y＋1＝0，2x＋y－3＝0得x＝12，y＝2.即直线AB与直线BE的交点为B(12，2)．设C(m，n)，则由已知条件得m＋2n－4＝0，2·m2＋n＋12－3＝0，解得m＝2，n＝1，∴C(2,1)．5∴BC边所在直线的方程为y－12－1＝x－212－2，即2x＋3y－7＝0.(3)∵E是线段AC的中点，∴E(1,1)．∴|BE|＝12－12＋2－12＝52，由2x－y＋1＝0，x＋2y－4＝0得x＝25，y＝95，∴D(25，95)，∴D到BE的距离为d＝|2×25＋95－3|22＋12＝255，∴S△BDE＝12·d·|BE|＝110.21．(本小题满分12分)直线过点P(43，2)且与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，是否存在这样的直线同时满足下列条件：(1)△AOB的周长为12；(2)△AOB的面积为6.若存在，求直线的方程；若不存在，请说明理由．[解析]设直线方程为xa＋yb＝1(a0，b0)，若满足条件(1)，则a＋b＋a2＋b2＝12，①又∵直线过点P(43，2)，∵43a＋2b＝1.②由①②可得5a2－32a＋48＝0，解得a＝4，b＝3，或a＝125，b＝92，∴所求直线的方程为x4＋y3＝1或5x12＋2y9＝1，即3x＋4y－12＝0或15x＋8y－36＝0.若满足条件(2)，则ab＝12，③由题意得，43a＋2b＝1，④由③④整理得a2－6a＋8＝0，解得a＝4，b＝3或a＝2，b＝6，6∴所求直线的方程为x4＋y3＝1或x2＋y6＝1，即3x＋4y－12＝0或3x＋y－6＝0.综上所述：存在同时满足(1)(2)两个条件的直线方程，为3x＋4y－12＝0.22．(本小题满分12分)在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的长为2，宽为1，AB，AD边分别在x轴、y轴的正半轴上，A点与坐标原点重合，如图，将矩形折叠，使A点落在线段DC上．(1)若折痕所在直线的斜率为k，试求折痕所在直线的方程；(2)当－2＋3≤k≤0时，求折痕长的最大值．[解析](1)①当k＝0时，A点与D点重合，折痕所在的直线方程为y＝12.②当k≠0时，将矩形折叠后A点落在线段DC上的点记为G(a,1)，∴A与G关于折痕所在的直线对称，有kOG·k＝－1⇒1a·k＝－1⇒a＝－k.故G点坐标为(－k,1)，从而折痕所在直线与OG的交点坐标(即线段OG的中点)为M(－k2，12)．故折痕所在的直线方程为y－12＝k(x＋k2)，即y＝kx＋k22＋12.由①②得折痕所在的直线方程为y＝kx＋k22＋12.(2)当k＝0时，折痕的长为2.当－2＋3≤k＜0时，折痕所在直线交直线BC于点E(2,2k＋k22＋12)，交y轴于点N(0，k2＋12)．则|NE|2＝22＋[k2＋12－(2k＋k22＋12)]2＝4＋4k2≤4＋4(7－43)＝32－163.此时，折痕长度的最大值为32－163＝2(6－2)．而2(6－2)＞2，故折痕长度的最大值为2(6－2)．