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第1页，共13页2019年湖南省长沙一中高考数学模拟试卷（理科）（一）（5月份）副标题题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合𝐴={𝑥|(𝑥+1)(𝑥−2)≤0}，𝐵={−1,0，1，2，3}，则𝐴∩𝐵=()A.{−1,0，1}B.{−1,0，1，2}C.{0,1，2}D.{0,1，2，3}【答案】B【解析】解：由题意可得𝐴={𝑥|−1≤𝑥≤2}，𝐵={−1,0，1，2，3}，所以𝐴∩𝐵={−1,0，1，2}．故选：B．求出A不等式的解集确定出A，找出A与B的交集即可．此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2.已知i为虚数单位，复数z满足(1+2𝑖)𝑧=(1+𝑖)(2−𝑖)，则|𝑧|=()A.√105B.√22C.√2D.√10【答案】C【解析】解：由(1+2𝑖)𝑧=(1+𝑖)(2−𝑖)，得𝑧=(1+𝑖)(2−𝑖)1+2𝑖=3+𝑖1+2𝑖=(3+𝑖)(1−2𝑖)(1+2𝑖)(1−2𝑖)=1−𝑖，∴|𝑧|=√2．故选：C．把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，代入复数模的计算公式求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．3.已知cos2(𝛼+𝜋4)=16，则sin2𝛼=()A.16B.−23C.12D.23【答案】D【解析】解：由cos2(𝛼+𝜋4)=16，得1+cos(2𝛼+𝜋2)2=16，∴cos(2𝛼+𝜋2)=−23，则−sin2𝛼=−23，sin2𝛼=23．故选：D．由二倍角的余弦结合诱导公式化简求值．本题考查三角函数的化简求值，考查诱导公式及二倍角公式的应用，是基础题．4.一个封闭的棱长为2的正方体容器，当水平放置时，如图，水面的高度正好为棱长的一半.若将该正方体任意旋转，则容器里水面的最大高度为()第2页，共13页A.1B.√2C.√3D.2√33【答案】C【解析】解：正方体的对角线长为2√3，故当正方体旋转的新位置的最大高度为2√3，又水的体积是正方体体积的一半，∴容器里水面的最大高度为对角线的一半，即最大液面高度为√3．故选：C．根据水的体积为容器体积的一半可知液面高度为物体新位置高度的一半．本题考查了几何体的体积计算，属于基础题．5.若非零向量𝑎⃗⃗、𝑏⃗满足|𝑎|=2|𝑏⃗|=4,(𝑎−2𝑏⃗)⋅𝑎=0，则𝑎⃗⃗在𝑏⃗方向上的投影为()A.4B.8C.14D.18【答案】A【解析】解：非零向量𝑎⃗⃗、𝑏⃗满足|𝑎|=2|𝑏⃗|=4,(𝑎−2𝑏⃗)⋅𝑎=0，可得𝑎2−2𝑎⋅𝑏=0，所以𝑎⋅𝑏⃗=|𝑎⃗|22=8，从而𝑎⃗⃗在𝑏⃗方向上的投影为：𝑎⃗⋅𝑏⃗|𝑏⃗|=82=4．故选：A．利用已知条件求出向量的数量积的值，然后求解𝑎⃗⃗在𝑏⃗方向上的投影．本题考查向量的数量积的应用．𝑎⃗⃗在𝑏⃗方向上的投影的求法，是基本知识的考查．6.形状如图所示的2个游戏盘中(图①是半径为2和4的两个同心圆，O为圆心；图②是正六边形，点P为其中心)各有一个玻璃小球，依次摇动2个游戏盘后，将它们水平放置，就完成了一局游戏，则一局游戏后，这2个盘中的小球都停在阴影部分的概率是()A.116B.18C.16D.14【答案】A【解析】解：“一局游戏后，这二个盘中的小球都停在阴影部分”分别记为事件𝐴1、𝐴2，由题意知，𝐴1、𝐴2互相独立，且𝑃(𝐴1)=316，𝑃(𝐴2)=13，∴𝑃(𝐴1𝐴2)=𝑃(𝐴1)𝑃(𝐴2)=316×13=116．故选：A．先根据几何概型的概率公式得到在二个图形中，小球停在阴影部分的概率，因为二个小球是否停在阴影部分相互之间没有关系，根据相互独立事件同时发生的概率得到结果．第3页，共13页本题考查几何概型的概率公式，考查相互独立事件同时发生的概率，属于基础题．7.若函数𝑓(𝑥)=√3sin𝜔𝑥+cos𝜔𝑥(𝜔0)，且𝑓(𝛼)=2，𝑓(𝛽)=0，|𝛼−𝛽|的最小值是𝜋2，则𝑓(𝑥)的单调递增区间是()A.[2𝑘𝜋−5𝜋6,2𝑘𝜋+𝜋6](𝑘∈𝑧)B.[2𝑘𝜋−2𝜋3,2𝑘𝜋+𝜋3](𝑘∈𝑧)C.[𝑘𝜋−𝜋3,𝑘𝜋+𝜋6](𝑘∈𝑧)D.[𝑘𝜋−5𝜋12,𝑘𝜋+𝜋12](𝑘∈𝑧)【答案】B【解析】解：∵𝑓(𝑥)=√3sin𝜔𝑥+cos𝜔𝑥(𝜔0)=2sin(𝜔𝑥+𝜋6)，∵𝑓(𝛼)=2，𝑓(𝛽)=0，|𝛼−𝛽|的最小值是𝜋2，∴𝑇=2𝜋，𝜔=1，则𝑓(𝑥)=2sin(𝑥+𝜋6)，令−12𝜋+2𝑘𝜋≤𝑥+𝜋6≤12𝜋+2𝑘𝜋可得，2𝑘𝜋−2𝜋3≤𝑥≤2𝑘𝜋+13𝜋，𝑘∈𝑍故选：B．先利用辅助角公式对已知函数进行化简，然后结合正弦函数性质可求周期T，进而可求𝜔，从而可求本题主要考查了正弦函数的图象性质的简单应用，属于基础试题8.《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，前九个节气日影长之和为85.5尺，则芒种日影长为()A.1.5尺B.2.5尺C.3.5尺D.4.5尺【答案】B【解析】解：设此等差数列{𝑎𝑛}的公差为d，则𝑎1+𝑎4+𝑎7=3𝑎1+9𝑑=31.5，9𝑎1+9×82𝑑=85.5，解得：𝑑=−1，𝑎1=13.5．则𝑎12=13.5−11=2.5．故选：B．设此等差数列{𝑎𝑛}的公差为d，则𝑎1+𝑎4+𝑎7=3𝑎1+9𝑑=31.5，9𝑎1+9×82𝑑=85.5，解得：d，𝑎1.利用通项公式即可得出．本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9.平面直径坐标系xOy中，动点P到圆(𝑥−2)2+𝑦2=1上的点的最小距离与其到直线𝑥=−1的距离相等，则P点的轨迹方程是()A.𝑦2=8𝑥B.𝑥2=8𝑦C.𝑦2=4𝑥D.𝑥2=4𝑦【答案】A【解析】解：设动点𝑃(𝑥,𝑦)，∵动点P到直线𝑥=−1的距离等于它到圆：(𝑥−2)2+𝑦2=1的点的最小距离，第4页，共13页∴|𝑥+1|=√(𝑥−1)2+(𝑦−0)2−1，化简得：6𝑥−2+2|𝑥+1|=𝑦2，当𝑥≥−1时，𝑦2=8𝑥，当𝑥−1时，𝑦2=4𝑥−4−8，不合题意．∴点P的轨迹方程为：𝑦2=8𝑥．故选：A．设动点𝑃(𝑥,𝑦)，由已知得|𝑥+1|=√(𝑥−1)2+(𝑦−0)2−1，由此能求出点P的轨迹方程．本题考查点的轨迹方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意两点间距离公式的合理运用．10.已如定点𝑃(1,9)，动点𝑄(𝑥,𝑦)在线性约東条件{3𝑥−𝑦−6≤0𝑥−𝑦+2≥0𝑦≥0所表示的平面区域内，则直线PQ的斜率k的取值范围为()A.[−1,7]B.[−7.1]C.(−∞,−1]∪[7,+∞)D.[−9,−1]∪[7,+∞)【答案】C【解析】解：由约束条件作出可行域如图：定点𝑃(1,9)，动点𝑄(𝑥,𝑦)在线性约東条件{3𝑥−𝑦−6≤0𝑥−𝑦+2≥0𝑦≥0所表示的平面区域内，则直线PQ的斜率𝑘=𝑦−9𝑥−1，由题意可得𝐴(4,6)，𝐵(0,2)可得𝑘𝑃𝐴=9−61−4=−1，𝑘𝑃𝐵=9−21−0=7，直线PQ的斜率k的取值范围为：(−∞,−1]∪[7,+∞)．故选：C．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案；再由直线过定点𝑃(1,9)，由两点求斜率公式求得PB，PA的斜率，可得k的取值范围．本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．11.已知三棱锥𝑃−𝐴𝐵𝐶的棱AP、AB、AC两两垂直，且长度都为√3，以顶点P为球心2为半径作一个球，则球面与三棱锥的表面相交所得到的四段弧长之和等于()A.2𝜋3B.5𝜋6C.𝜋D.3𝜋2【答案】D【解析】解：如图，𝐴𝑃=√3，𝐴𝑁=1，∠𝐴𝑃𝑁=𝜋6，∠𝑁𝑃𝑀=𝜋12，∴𝑀𝑁⏜=𝜋12×2=𝜋6．同理𝐺𝐻⏜=𝜋6，第5页，共13页𝐻𝑁⏜=𝜋2×1=𝜋2，𝐺𝑀⏜=𝜋3×2=2𝜋3，球面与三棱锥的表面相交所得到的四段弧长之和等于𝜋6+𝜋6+𝜋2+2𝜋3=3𝜋2．故选：D．画出图，根据弧长公式求解本小题主要考查球面距离及相关计算、正方体的几何特征等基础知识，考查运算求解能力，考查空间想象能力、化归与转化思想.属于中档题．12.已知函数𝑓(𝑥)=−𝑥3+1+𝑎(1𝑒≤𝑥≤𝑒,e是自然对数的底)与𝑔(𝑥)=3ln𝑥的图象上存在关于x轴对称的点，则实数a的取值范围是()A.[0,𝑒3−4]B.[0,1𝑒3+2]C.[1𝑒3+2,𝑒3−4]D.[𝑒3−4,+∞)【答案】A【解析】解：根据题意，若函数𝑓(𝑥)=−𝑥3+1+𝑎(1𝑒≤𝑥≤𝑒,e是自然对数的底)与𝑔(𝑥)=3ln𝑥的图象上存在关于x轴对称的点，则方程−𝑥3+1+𝑎=−3ln𝑥在区间[1𝑒,𝑒]上有解，−𝑥3+1+𝑎=−3ln𝑥⇔𝑎+1=𝑥3−3ln𝑥，即方程𝑎+1=𝑥3−3ln𝑥在区间[1𝑒,𝑒]上有解，设函数𝑔(𝑥)=𝑥3−3ln𝑥，其导数𝑔′(𝑥)=3𝑥2−3𝑥=3(𝑥3−1)𝑥，又由𝑥∈[1𝑒,𝑒]，𝑔′(𝑥)=0在𝑥=1有唯一的极值点，分析可得：当1𝑒≤𝑥≤1时，𝑔′(𝑥)0，𝑔(𝑥)为减函数，当1≤𝑥≤𝑒时，𝑔′(𝑥)0，𝑔(𝑥)为增函数，故函数𝑔(𝑥)=𝑥3−3ln𝑥有最小值𝑔(1)=1，又由𝑔(1𝑒)=1𝑒3+3，𝑔(𝑒)=𝑒3−3；比较可得：𝑔(1𝑒)𝑔(𝑒)，故函数𝑔(𝑥)=𝑥3−3ln𝑥有最大值𝑔(𝑒)=𝑒3−3，第6页，共13页故函数𝑔(𝑥)=𝑥3−3ln𝑥在区间[1𝑒,𝑒]上的值域为[1,𝑒3−3]；若方程𝑎+1=𝑥3−3ln𝑥在区间[1𝑒,𝑒]上有解，必有1≤𝑎+1≤𝑒3−3，则有0≤𝑎≤𝑒3−4，即a的取值范围是[0,𝑒3−4]；故选：A．根据题意，可以将原问题转化为方程𝑎+1=𝑥3−3ln𝑥在区间[1𝑒,𝑒]上有解，构造函数𝑔(𝑥)=𝑥3−3ln𝑥，利用导数分析𝑔(𝑥)的最大最小值，可得𝑔(𝑥)的值域，进而分析可得方程𝑎+1=𝑥3−3ln𝑥在区间[1𝑒,𝑒]上有解，必有1≤𝑎+1≤𝑒3−3，解可得a的取值范围，即可得答案．本题考查了构造函数法求方程的解及参数范围；关键是将已知存在关于x轴对称的点转化为方程𝑎−𝑥3=−3ln𝑥⇔−𝑎=3ln𝑥−𝑥3在上有解．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知双曲线𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(𝑎0,𝑏0)的一条新近线的斜率为√3，则此双曲线的离心率为______．【答案】2【解析】解：双曲线𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(𝑎0,𝑏0)的一条新近线的斜率为√3，可得𝑏𝑎=√3，所以，𝑐2−𝑎2𝑎2=3，所以𝑐2𝑎2=4，所以𝑒=𝑐𝑎=2．故答案为：2．利用双曲线的渐近线的斜率，得到a，b的关系，然后求解双曲线的离心率即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．14.已知等比数列{𝑎𝑛}的前n项和为𝑆𝑛，前n项积为𝑇𝑛，若𝑆3=𝑎2+4𝑎1，𝑇5=243，则𝑎1的值为______．