反比例函数(提高)知识讲解

反比例函数（提高）【学习目标】1.理解反比例函数的概念和意义，能根据问题的反比例关系确定函数解析式．2.能根据解析式画出反比例函数的图象，初步掌握反比例函数的图象和性质．3.会用待定系数法确定反比例函数解析式，进一步理解反比例函数的图象和性质．【要点梳理】要点一、反比例函数的定义一般地，形如kyx(k为常数，0k)的函数称为反比例函数，其中x是自变量，y是函数，定义域是不等于零的一切实数.要点诠释：（1）在kyx中，自变量x是分式kx的分母，当0x时，分式kx无意义，所以自变量x的取值范围是，函数y的取值范围是0y.故函数图象与x轴、y轴无交点；（2）kyx()可以写成()的形式，自变量x的指数是－1，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一条件.（3）kyx()也可以写成的形式，用它可以迅速地求出反比例函数的比例系数k，从而得到反比例函数的解析式.要点二、确定反比例函数的关系式确定反比例函数关系式的方法仍是待定系数法，由于反比例函数kyx中，只有一个待定系数k，因此只需要知道一对xy、的对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式.用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤是：（1）设所求的反比例函数为：kyx(0k)；（2）把已知条件（自变量与函数的对应值）代入关系式，得到关于待定系数的方程；（3）解方程求出待定系数k的值；（4）把求得的k值代回所设的函数关系式kyx中.要点三、反比例函数的图象和性质1、反比例函数的图象特征：反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限；反比例函数的图象关于原点对称，永远不会与x轴、y轴相交，只是无限靠近两坐标轴.要点诠释：（1）若点(ab，)在反比例函数kyx的图象上，则点(ab，)也在此图象上，所以反比例函数的图象关于原点对称；（2）在反比例函数(k为常数，0k)中，由于，所以两个分支都无限接近但永远不能达到x轴和y轴．2、反比例函数的性质（1）如图1，当0k时，双曲线的两个分支分别位于第一、三象限，在每个象限内，y值随x值的增大而减小；（2）如图2，当0k时，双曲线的两个分支分别位于第二、四象限，在每个象限内，y值随x值的增大而增大；要点诠释：反比例函数的增减性不是连续的，它的增减性都是在各自的象限内的增减情况，反比例函数的增减性都是由反比例系数k的符号决定的；反过来，由双曲线所在的位置和函数的增减性，也可以推断出k的符号.要点四、反比例函数()中的比例系数k的几何意义过双曲线xky(0k)上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得矩形的面积为k.过双曲线xky(0k)上任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点和原点，所得三角形的面积为2k.要点诠释：只要函数式已经确定，不论图象上点的位置如何变化，这一点与两坐标轴的垂线和两坐标轴围成的面积始终是不变的.【典型例题】类型一、反比例函数定义1、k为何值时，2221()kkykkx是反比例函数？【答案与解析】解：由222110kkkk得0201kkkk或且∴2k【总结升华】根据反比例函数关系式的一般式(0)kykx，也可以写成1(0)ykxk，后一种写法中x的次数为－1，可知此函数为反比例函数，必须具备两个条件，2211kk且20kk，二者缺一不可．类型二、确定反比例函数的解析式2、已知12yyy，1y与x成正比例，2y与x成反比例，且当x＝1时，y＝7；当x＝2时，y＝8．(1)y与x之间的函数关系式；(2)自变量的取值范围；(3)当x＝4时，y的值．【答案与解析】解：(1)∵1y与x成正比例，∴设111(0)ykxk．∵2y与x成反比例，∴设222(0)kykx．∴2121kyyykxx．把17xy与28xy分别代入上式，得12217,28.2kkkk∴123,4.kk所以y与x的函数解析式为43yxx．(2)自变量的取值范围是x≠0．(3)当x＝4时，434134y．【总结升华】注意，比例系数要分别用1k和2k表示，不能用成同一个比例系数k.举一反三：【变式】已知y与23x成反比例，且41x时，2y，求y与x的函数关系式．【答案】解：因为y与23x成反比例，所以23kyx，且21234k，解得5k.所以y与x的函数关系式为523yx.类型三、反比例函数的图象和性质3、若A(1x，1y)、B(2x，2y)在函数12yx的图象上，当1x、2x满足________时，12yy.【答案】120xx或120xx或210xx；【解析】12yx的图象在一、三象限，在每个象限内，随着x的增大，函数值y减小，所以120xx或120xx时，12yy.当B点在三象限，A点在一象限，即210xx，也满足12yy.【总结升华】反比例函数的增减性是在每个象限内讨论的，A、B两点要分成同在一象限、同在三象限和分属一、三象限讨论，这样才能把情况考虑完整.举一反三：【变式】如图所示，正比例函数2ykx与反比例函数1kyx在同一坐标系中的图象不可能是（）【答案】D；提示：对于D项，由正比例函数2ykx的图象经过第二、第四象限，得k＜0，由反比例函1kyx的图象位于第一、第三象限，得k＞1，k不存在，故D项错误．解决这类图象问题的一般解法是先根据函数表达式的大致图象来确定函数表达式中字母系数的符号或范围，再根据字母系数的符号或范围确定另一个函数图象的大致位置．类型四、反比例函数综合4、如图所示，已知双曲线(0)kykx，经过Rt△OAB斜边OB的中点D，与直角边AB交于点C，DE⊥OA，3OBCS△，求反比例函数的解析式．【答案与解析】解：过点D作DM⊥AB于点M．∴DM∥OA，∴∠BDM＝∠BOA．在△BDM和△EOD中90DMBOEDBDMBOAODDB°∴△BDM≌△DOE(AAS)，∴12DMOEOA，12BMDEAB．设D(ab，)，则B(2ab，2)．∵12ODEAOCSSab△△，∴3OBCABDESS△梯形．即(2)32bba，解得：2ab．∴反比例函数的解析式为2yx．【总结升华】本题欲求解析式有两个思路可考虑，一个是求D点或C点的坐标，另一个就是求△DOE或△AOC的面积，从条件看，求D点或C点坐标的可能不大，于是从求△DOE或△AOC的面积入手思考，由于D、C、B三点坐标间的特殊关系，设出D点的坐标就可以将B、C两点的坐标表示出来，然后运用3OBCS△求出D点两坐标之积，就不难求出解析式．