1.12反比例函数(提高)知识讲解

1.12反比例函数（提高）【学习目标】1.理解反比例函数的概念和意义，能根据问题的反比例关系确定函数解析式．2.能根据解析式画出反比例函数的图象，初步掌握反比例函数的图象和性质．3.会用待定系数法确定反比例函数解析式，进一步理解反比例函数的图象和性质．4.会解决一次函数和反比例函数有关的问题．【要点梳理】要点一、反比例函数的定义一般地，形如kyx(k为常数，0k)的函数称为反比例函数，其中x是自变量，y是函数，自变量x的取值范围是不等于0的一切实数.要点诠释：（1）在kyx中，自变量x是分式kx的分母，当0x时，分式kx无意义，所以自变量x的取值范围是，函数y的取值范围是0y.故函数图象与x轴、y轴无交点.（2）kyx()可以写成()的形式，自变量x的指数是－1，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一条件.（3）kyx()也可以写成的形式，用它可以迅速地求出反比例函数的比例系数k，从而得到反比例函数的解析式.要点二、确定反比例函数的关系式确定反比例函数关系式的方法仍是待定系数法，由于反比例函数kyx中，只有一个待定系数k，因此只需要知道一对xy、的对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式.用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤是：（1）设所求的反比例函数为：kyx(0k)；（2）把已知条件（自变量与函数的对应值）代入关系式，得到关于待定系数的方程；（3）解方程求出待定系数k的值；（4）把求得的k值代回所设的函数关系式kyx中.要点三、反比例函数的图象和性质1、反比例函数的图象特征：反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限；反比例函数的图象关于原点对称，永远不会与x轴、y轴相交，只是无限靠近两坐标轴.要点诠释：（1）若点(ab，)在反比例函数kyx的图象上，则点(ab，)也在此图象上，所以反比例函数的图象关于原点对称；（2）在反比例函数(k为常数，0k)中，由于，所以两个分支都无限接近但永远不能达到x轴和y轴．2、画反比例函数的图象的基本步骤：（1）列表：自变量的取值应以0为中心，在0的两侧取三对（或三对以上）互为相反数的值，填写y值时，只需计算右侧的函数值，相应左侧的函数值是与之对应的相反数；（2）描点：描出一侧的点后，另一侧可根据中心对称去描点；（3）连线：按照从左到右的顺序连接各点并延伸，连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线.注意双曲线的两个分支是断开的，延伸部分有逐渐靠近坐标轴的趋势，但永远不与坐标轴相交；（4）反比例函数图象的分布是由k的符号决定的：当0k时，两支曲线分别位于第一、三象限内，当0k时，两支曲线分别位于第二、四象限内．3、反比例函数的性质（1）如图1，当0k时，双曲线的两个分支分别位于第一、三象限，在每个象限内，y值随x值的增大而减小；（2）如图2，当0k时，双曲线的两个分支分别位于第二、四象限，在每个象限内，y值随x值的增大而增大；要点诠释：反比例函数的增减性不是连续的，它的增减性都是在各自的象限内的增减情况，反比例函数的增减性都是由反比例系数k的符号决定的；反过来，由双曲线所在的位置和函数的增减性，也可以推断出k的符号.要点四：反比例函数()中的比例系数k的几何意义过双曲线xky(0k)上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得矩形的面积为k.过双曲线xky(0k)上任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点和原点，所得三角形的面积为2k.要点诠释：只要函数式已经确定，不论图象上点的位置如何变化，这一点与两坐标轴的垂线和两坐标轴围成的面积始终是不变的.【典型例题】类型一、反比例函数定义1、当k为何值时22(1)kykx是反比例函数？【思路点拨】根据反比例函数解析式(0)kykx，也可以写成1(0)ykxk的形式，后一种表达方法中x的次数为-1，由此可知函数是反比例函数，要具备的两个条件为221k且10k，二者必须同时满足，缺一不可．【答案与解析】解：令221,10,kk①②由①得，k＝±1，由②得，k≠1．综上，k＝－1，即k＝－1时，22(1)kykx是反比例函数．【总结升华】反比例函数解析式的三种形式：①kyx；②1ykx；③.(0)xykk．类型二、确定反比例函数解析式2、若反比例函数kyx与一次函数24yx的图象都过点A(m，2)，(1)求点A的坐标．(2)求反比例函数的解析式．【答案与解析】解：(1)∵点A(m，2)在24yx的图象上．∴224m，解得m＝3．∴A点的坐标为(3，2)．(2)∵点A(3，2)在反比例函数kyx上，∴23k，解得6k．∴反比例函数的解析式为6yx．【总结升华】(1)因为点A(m，2)在一次函数24yx的图象上，所以只需将A点坐标代入即可求出m即A点的坐标．(2)因为点A也在kyx的图象上，只需将所得的A点坐标代入kyx中即可求出反比例函数的解析式．举一反三：【变式】已知12yyy，1y与x成正比例，2y与x成反比例，且当x＝1时，y＝7；当x＝2时，y＝8．(1)y与x之间的函数关系式；(2)自变量的取值范围；(3)当x＝4时，y的值．【答案】解：(1)∵1y与x成正比例，∴设111(0)ykxk．∵2y与x成反比例，∴设222(0)kykx．∴2121kyyykxx．把17xy与28xy分别代入上式，得12217,28.2kkkk∴123,4.kk所以y与x的函数解析式为43yxx．(2)自变量的取值范围是x≠0．(3)当x＝4时，434134y．类型三、反比例函数的图象和性质3、若A(1x，1y)、B(2x，2y)在函数12yx的图象上，当1x、2x满足________时，12yy.【答案】120xx或120xx或210xx；【解析】12yx的图象在一、三象限，在每个象限内，随着x的增大，函数值y减小，所以120xx或120xx时，12yy.当B点在三象限，A点在一象限，即210xx，也满足12yy.【总结升华】反比例函数的增减性是在每个象限内讨论的，A、B两点要分成同在一象限、同在三象限和分属一、三象限讨论，这样才能把情况考虑完整.举一反三：【变式】如图所示，已知k≠0，在同一坐标系中，函数(1)ykx与kyx的图象大致为下面的（）．【答案】D；提示：同一平面直角坐标系中，要同时确定一次函数与反比例函数的图象，可分k＞0、k＜0两种情况讨论．A项中，(1)ykx与kyx中的k大于0，但直线与y轴的交点位于x轴下方，k又应小于0，不符合题意；B项中，kyx中的k＞0，而(1)ykx中的k＜0，不符合题意；C项中，kyx与(1)ykx的k均小于0，但是直线与y轴的交点又位于x轴的上方，k又应大于0，所以不符合题意．类型四、反比例函数综合4、如图所示，反比例函数的图象与一次函数yaxb的图象交于M(2，m)，N(－1，－4)两点.(1)求反比例函数和一次函数的关系式；(2)根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数值的x的取值范围．【思路点拨】(1)由点N的坐标为(－1，－4)，根据待定系数法可求反比例函数的关系式．从而求出点M的坐标．再根据M、N的坐标，用待定系数法可求出一次函数的关系式；(2)结合图象位置和两交点的坐标，可得到使反比例函数大于一次函数的值的x的取值范围．【答案与解析】解：(1)设反比例函数的关系式为kyx．由N(－1，－4)，得41k，∴k＝4．∴反比例函数的关系式为4yx．∵点M(2，m)在双曲线4yx上，∴422m．∴点M(2，2)．设一次函数的关系式为yaxb，由M(2，2)、N(－1，－4)，得22,4.abab解得2,2.ab∴一次函数的关系式为22yx．(2)由图象可知，当x＜－1或0＜x＜2时，反比例函数的值大于一次函数的值．【总结升华】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数的交点坐标同时满足两个函数的解析式．也考查了待定系数法确定函数解析式以及观察函数图象的能力．举一反三：【变式】如图所示，已知正比例函数yax的图象与反比例函数kyx的图象交于点A(3，2)．（1）试确定上述正比例函数和反比例函数的表达式．（2）根据图象回答，在第一象限内，当x取何值时，反比例函数的值大于正比例函数的值？（3）M(mn，)是反比例函数图象上的一动点，其中0＜m＜3，过点M作直线MB∥x轴，交y轴于点B；过点A作直线AC∥y轴交x轴于点C，交直线MB于点D．当四边形OADM的面积为6时，请判断线段BM与DM的大小关系，并说明理由．【答案】解：（1）将A(3，2)分别代入kyx，yax中，得23k，3a＝2．∴k＝6，23a．∴反比例函数的表达式为6yx，正比例函数的表达式为23yx．（2）观察图象，在第一象限内，当0＜x＜3时，反比例函数的值大于正比例函数的值．（3）BM＝DM．理由：∵1||32OMBOACSSk△△，∴63312OMBOACOBDCOADMSSSS△△矩形四边形，即OC·OB＝12．∵OC＝3，∴OB＝4，即n＝4．∴632mn．∴32MB，33322MD．∴MB＝MD．【巩固练习】一.选择题1.在反比例函数12myx的图象上有两点A11,xy，B22,xy，当120xx时，有12yy，则m的取值范围是（）A．0mB．0mC．12mD．12m2.如图所示的图象上的函数关系式只能是()．A.yxB.1yxC.21yxD.1||yx3.已知0ab，点P(ab，)在反比例函数ayx的图像上，则直线yaxb不经过的象限是().A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限4.在函数21ayx（a为常数）的图象上有三个点1(1)y，，21()4y，，31()2y，，则函数值1y、2y、3y的大小关系是（）.A．2y3y1yB．3y2y1yC．1y2y3yD．3y1y2y5.如图，过y轴上任意一点P，作x轴的平行线，分别与反比例函数4yx和2yx的图象交于A点和B点，若C为x轴上任意一点，连接AC，BC，则△ABC的面积为（）A.3B.4C.5D.66.如图，已知双曲线kyx（0k）经过直角三角形OAB斜边OA的中点D，且与直角边AB相交于点C．若点A的坐标为（﹣6，4），则△AOC的面积为（）A.12B.9C.6D.4二.填空题7.如图所示是三个反比例函数xky1、xky2、xky3的图象，由此观察得到1k、2k、3k的大小关系是____________________（用“＜”连接）.8.如图，矩形ABCD的边AB与y轴平行，顶点A的坐标为（1，2），点B与点D在反比例函数6yx（x＞0）的图象上，则点C的坐标为_________．9.设P（ab，），Q（bc，）是反比例函数3yx在第一象限内的点．则11()()bcab＝．10.已知A（11,xy），B（22,xy）都在6yx图象上．若123xx，则12yy的值为_________．11.如图，正比例函数3yx的图象与反比例函数kyx（k＞0）的图象交于点A，若k取1，2，3…20，对应的Rt△AOB的面积分别为12320,,....,SSSS，则1220....SSS＝________.12.如图所示，点1A，2A，3A在x轴上，且11223OAAAAA，分别过点1A，2A，3A作y轴的平行线，与反比例函数y＝8x（x＞0）的图象分别交于点1B，2B，3B,分别过点1B，2B，3B作x轴的平行线，分别于y轴交于点1C，2C，3C,连接1OB，2OB，3OB,那么图中阴影部分