高二数学椭圆的离心率

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高二数学椭圆的离心率(1)1.已知椭圆的左焦点为F,C与过原点的直线相交于A,B两点,连接AF、BF,若|AB|=10,|AF|=6,cos∠ABF=,则C的离心率e=_________.2.在平面直角坐标系xOy中,椭圆C的标准方程为(a>b>0),右焦点为F,右准线为l,短轴的一个端点为B,设原点到直线BF的距离为d1,F到l的距离为d2,若d2=,则椭圆C的离心率为_________.3.椭圆为定值,且的左焦点为F,直线x=m与椭圆相交于点A、B,△FAB的周长的最大值是12,则该椭圆的离心率是_________.4.在△ABC中,AB=BC,.若以A,B为焦点的椭圆经过点C,则该椭圆的离心率e=_________.5.已知长方形ABCD,AB=4,BC=3,则以A、B为焦点,且过C、D两点的椭圆的离心率为_________.6.设F1,F2是椭圆C:(a>b>0)的左、右焦点,过F1的直线l与C交于A,B两点.若AB⊥AF2,|AB|:|AF2|=3:4,则椭圆的离心率为_________.7.已知F1、F2分别是椭圆的左、右焦点,点P是椭圆上的任意一点,则的取值范围是_________.8.椭圆(a>b>0)的左焦点为F,直线x=m与椭圆相交于A,B两点,若△FAB的周长最大时,△FAB的面积为ab,则椭圆的离心率为_________.椭圆的离心率(2)1.已知椭圆内有两点A(1,3),B(3,0),P为椭圆上一点,则|PA|+|PB|的最大值为_________.2.椭圆,F1,F2分别是其左、右焦点,若椭圆上存在点P满足|PF1|=2|PF2|,则该椭圆离心率的取值范围是_________.3.设A为椭圆(a>b>0)上一点,点A关于原点的对称点为B,F为椭圆的右焦点,且AF⊥BF,设∠ABF=θ.(1)|AB|=_________;(2)若θ∈[,],则该椭圆离心率的取值范围为_________.4.从一块短轴长为2b的椭圆形玻璃镜中划出一块面积最大的矩形,其面积的取值范围是[3b2,4b2],则该椭圆离心率e的取值范围是_________.5.已知A,B,P为椭圆+=1(m,n>0)上不同的三点,且A,B连线经过坐标原点,若直线PA,PB的斜率乘积kPA•kPB=﹣2,则该椭圆的离心率为_________.6.已知椭圆的方程为,过椭圆的右焦点且与x轴垂直的直线与椭圆交于P、Q两点,椭圆的右准线与x轴交于点M,若△PQM为正三角形,则椭圆的离心率等于_________.7.已知椭圆的上焦点为F,左、右顶点分别为B1,B2,下顶点为A,直线AB2与直线B1F交于点P,若,则椭圆的离心率为_________.8.如图,P是椭圆上的一点,F是椭圆的左焦点,且,则点P到该椭圆左准线的距离为_________.高二数学椭圆的离心率参考答案与试题解析一.填空题(共16小题)1.(2013•辽宁)已知椭圆的左焦点为F,C与过原点的直线相交于A,B两点,连接AF、BF,若|AB|=10,|AF|=6,cos∠ABF=,则C的离心率e=.考点:椭圆的简单性质.3338114专题:计算题;压轴题;圆锥曲线的定义、性质与方程.分析:设椭圆右焦点为F',连接AF'、BF',可得四边形AFBF'为平行四边形,得|AF|=|BF'|=6.△ABF中利用余弦定理算出|BF|=8,从而得到|AF|2+|BF|2=|AB|2,得∠AFB=90°,所以c=|OF|=|AB|=5.根据椭圆的定义得到2a=|BF|+|BF'|=14,得a=7,最后结合椭圆的离心率公式即可算出椭圆C的离心率.解答:解:设椭圆的右焦点为F',连接AF'、BF'∵AB与FF'互相平分,∴四边形AFBF'为平行四边形,可得|AF|=|BF'|=6∵△ABF中,|AB|=10,|AF|=6,cos∠ABF=,∴由余弦定理|AF|2=|AB|2+|BF|2﹣2|AB|×|BF|cos∠ABF,可得62=102+|BF|2﹣2×10×|BF|×,解之得|BF|=8由此可得,2a=|BF|+|BF'|=14,得a=7∵△ABF中,|AF|2+|BF|2=100=|AB|2∴∠AFB=90°,可得|OF|=|AB|=5,即c=5因此,椭圆C的离心率e==故答案为:点评:本题给出椭圆经过中心的弦AB与左焦点构成三边分别为6、8、10的直角三角形,求椭圆的离心率.着重考查了椭圆的定义与标准方程、椭圆的简单几何性质等知识,属于中档题.2.(2013•江苏)在平面直角坐标系xOy中,椭圆C的标准方程为(a>b>0),右焦点为F,右准线为l,短轴的一个端点为B,设原点到直线BF的距离为d1,F到l的距离为d2,若d2=,则椭圆C的离心率为.考点:椭圆的简单性质.3338114专题:圆锥曲线的定义、性质与方程.分析:根据“d2=”结合椭圆的半焦距,短半轴,长半轴构成直角三角形,再由等面积法可得d1=,从而得到a与b的关系,可求得,从而求出离心率.解答:解:如图,准线l:x=,d2=,由面积法得:d1=,若d2=,则,整理得a2﹣ab﹣=0,两边同除以a2,得+()﹣=0,解得.∴e==.故答案为:.点评:本题主要考查椭圆的几何性质,即通过半焦距,短半轴,长半轴构成的直角三角形来考查其离心率,还涉及了等面积法.3.(2012•四川)椭圆为定值,且的左焦点为F,直线x=m与椭圆相交于点A、B,△FAB的周长的最大值是12,则该椭圆的离心率是.考点:椭圆的简单性质.3338114专题:计算题;压轴题.分析:先画出图象,结合图象以及椭圆的定义求出△FAB的周长的表达式,进而求出何时周长最大,即可求出椭圆的离心率.解答:解:设椭圆的右焦点E.如图:由椭圆的定义得:△FAB的周长为:AB+AF+BF=AB+(2a﹣AE)+(2a﹣BE)=4a+AB﹣AE﹣BE;∵AE+BE≥AB;∴AB﹣AE﹣BE≤0,当AB过点E时取等号;∴△FAB的周长:AB+AF+BF=4a+AB﹣AE﹣BE≤4a;∴△FAB的周长的最大值是4a=12⇒a=3;∴e===.故答案:.点评:本题主要考察椭圆的简单性质.在解决涉及到圆锥曲线上的点与焦点之间的关系的问题中,圆锥曲线的定义往往是解题的突破口.4.(2010•资阳三模)在△ABC中,AB=BC,.若以A,B为焦点的椭圆经过点C,则该椭圆的离心率e=.考点:椭圆的简单性质;椭圆的应用.3338114专题:计算题;压轴题.分析:设AB=BC=1,则,由此可知,从而求出该椭圆的离心率.解答:解:设AB=BC=1,则,∴,.答案:.点评:本题考查椭圆的性质及应用,解题时要注意的正确选取.5.(2007•福建)已知长方形ABCD,AB=4,BC=3,则以A、B为焦点,且过C、D两点的椭圆的离心率为.考点:椭圆的简单性质.3338114专题:压轴题.分析:由已知c=2,=3⇒b2=3a⇒a2﹣4=3a⇒a=4,由此可以求出该椭圆的离心率.解答:解:∵AB=4,BC=3,A、B为焦点,∴c=2,=3,∴b2=3a,∴a2﹣4=3a∴a=4,∴e=.故答案:.点评:本题考查椭圆的性质和应用,解题时要认真审题,仔细解答.6.(2013•浙江模拟)设F1,F2是椭圆C:(a>b>0)的左、右焦点,过F1的直线l与C交于A,B两点.若AB⊥AF2,|AB|:|AF2|=3:4,则椭圆的离心率为.考点:椭圆的简单性质.3338114专题:计算题.分析:由AB⊥AF2,|AB|:|AF2|=3:4,利用椭圆的定义可求得|AF1|=2,从而可得a的值,再由勾股定理可求得2c的值.解答:解:∵F1,F2是椭圆C+=1(a>b>0)的左、右焦点,过F1的直线l与C交于A,B两点,AB⊥AF2,|AB|:|AF2|=3:4,如图:∴不妨令|AB|=3,|AF2|=4,再令|AF1|=x,由椭圆的定义得:|AF1|+|AF2|=2a,①|BF1|+|BF2|=2a②①+②得:x+4+3﹣x+5=4a,∴a=3,x=2.在Rt△F1F2A中,=+,∴4c2=4+16=20,∴c=.∴椭圆的离心率为e=.故答案为:.点评:本题考查椭圆的简单性质,突出考查椭圆的定义的应用,求得a与c的值是关键,考查转化与运算的能力,属于中档题.7.(2013•盐城一模)已知F1、F2分别是椭圆的左、右焦点,点P是椭圆上的任意一点,则的取值范围是.考点:椭圆的简单性质.3338114专题:圆锥曲线的定义、性质与方程.分析:利用椭圆的性质:当|PF2|=a+c=,时,即取得最大值,即可得出.解答:解:∵椭圆,∴a=,b=2=c.设k==,则当|PF1|=|PF2|时,k取得最小值0;当|PF2|=a+c=,时,即时,k=取得最大值.∴k的取值范围是.故答案为.点评:熟练掌握椭圆的性质:当|PF2|=a+c=,时,则取得最大值是解题的关键.8.(2013•盐城二模)椭圆(a>b>0)的左焦点为F,直线x=m与椭圆相交于A,B两点,若△FAB的周长最大时,△FAB的面积为ab,则椭圆的离心率为.考点:椭圆的简单性质.3338114专题:圆锥曲线的定义、性质与方程.分析:先画出图象,结合图象以及椭圆的定义求出△FAB的周长的表达式,进而求出何时周长最大,即可求出椭圆的离心率.解答:解:设椭圆的右焦点E.如图:由椭圆的定义得:△FAB的周长为:AB+AF+BF=AB+(2a﹣AE)+(2a﹣BE)=4a+AB﹣AE﹣BE;∵AE+BE≥AB;∴AB﹣AE﹣BE≤0,当AB过点E时取等号;∴△FAB的周长:AB+AF+BF=4a+AB﹣AE﹣BE≤4a;∴△FAB的周长的最大值是4a;此时,△FAB的面积为×2c×=ab,∴a2=2bc,平方得,a4=4(a2﹣c2)c2即4e4﹣4e2+1=0∴e=.故答案为:.点评:本题主要考查椭圆的简单性质.在解决涉及到圆锥曲线上的点与焦点之间的关系的问题中,圆锥曲线的定义往往是解题的突破口.9.(2013•松江区二模)已知椭圆内有两点A(1,3),B(3,0),P为椭圆上一点,则|PA|+|PB|的最大值为15.考点:椭圆的简单性质.3338114专题:计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程.分析:根据椭圆的方程,算出它的焦点坐标为B(3,0)和B'(﹣3,0).因此连接PB'、AB',根据椭圆的定义得|PA|+|PB|=|PA|+(2a﹣|PB'|)=10+(|PA|﹣|PB'|).再由三角形两边之差小于第三边,得到当且仅当点P在AB'延长线上时,|PA|+|PB|=10+|AB'|=15达到最大值,从而得到本题答案.解答:解:∵椭圆方程为,∴焦点坐标为B(3,0)和B'(﹣3,0)连接PB'、AB',根据椭圆的定义,得|PB|+|PB'|=2a=10,可得|PB|=10﹣|PB'|因此,|PA|+|PB|=|PA|+(10﹣|PB'|)=10+(|PA|﹣|PB'|)∵|PA|﹣|PB'|≤|AB'|∴|PA|+|PB|≤10+|AB'|=10+=10+5=15当且仅当点P在AB'延长线上时,等号成立综上所述,可得|PA|+|PB|的最大值为15故答案为:15点评:本题给出椭圆内部一点A,求椭圆上动点P与A点和一个焦点距离B和的最大值,着重考查了椭圆的定义、标准方程和简单几何性质等知识,属于基础题.10.(2012•浙江模拟)椭圆,F1,F2分别是其左、右焦点,若椭圆上存在点P满足|PF1|=2|PF2|,则该椭圆离心率的取值范围是[,1).考点:椭圆的简单性质.3338114专题:计算题.分析:由椭圆的定义可得e(x+)=2•e(﹣x),解得x=,由题意可得﹣a≤≤a,解不等式求得离心率e的取值范围.解答:解:设点P的横坐标为x,∵|PF1|=2|PF2|,则由椭圆的定义可得e(x+)=2•e(﹣x),∴x=,由题意可得﹣a≤≤a,∴≤e<1,则该椭圆的离心率e的取值范围是[,1),故答案为:[,1)点评:本题考查椭圆的定义,以及简单性质的应用,由椭圆的定义可得e(x+)=2•e(﹣x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