与三角形“四心”相关的向量问题[1]

qq:253177084向量专题复习杭州市特级教师张士巍一、与三角形“四心”相关的向量问题题1：已知O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足||||ABACOPOAABAC,[0,).则P点的轨迹一定通过△ABC的A.外心B.内心C.重心D.垂心解：由已知得||||ABACAPABAC，||ABAB是AB方向上的单位向量，||ACAC是AC方向上的单位向量，根据平行四边形法则知构成菱形，点P在∠BAC的角平分线上，故点P的轨迹过△ABC的内心，选B.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m练习：在直角坐标系xoy中，已知点A(0,1)和点B(–3,4)，若点C在∠AOB的平分线上，且||2OC，则OC=_________________.略解：点C在∠AOB的平线上，则存在(0,)使()||||OAOBOCOAOB=34(0,1)(,)55=39(,)55,而||2OC，可得103，∴10310(,)55OC.题2：已知O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足()OPOAABAC,[0,).则P点的轨迹一定通过△ABC的()A.外心B.内心C.重心D.垂心解：由已知得()APABAC，设BC的中点为D，则根据平行四边形法则知点P在BC的中线AD所在的射线上，故P的轨迹过△ABC的重心，选C.题3：已知O是平面上的一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足()||sin||sinABACOPOAABBACC,[0,),则动点P的轨迹一定通过△ABC的()A.重心B.垂心C.外心D.内心解：由已知得()||sin||sinABACAPABBACC，qq:253177084由正弦定理知||sin||sinABBACC，∴()||sinAPABACABB，设BC的中点为D，则由平行四边形法则可知点P在BC的中线AD所在的射线上，所以动点P的轨迹一定通过△ABC的重心，故选A.题4：已知O是平面上的一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足()||cos||cosABACOPOAABBACC,[0,),则动点P的轨迹一定通过△ABC的()A.重心B.垂心C.外心D.内心解：由已知得()||cos||cosABACAPABBACC，∴()||cos||cosABBCACBCAPBCABBACC=||||cos()||||cos()||cos||cosABBCBACBCCABBACC=(||||)BCBC=0，∴APBC，即AP⊥BC，所以动点P的轨迹通过△ABC的垂心，选B.题5：已知O是平面上的一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足()2||cos||cosOBOCABACOPABBACC,[0,),则动点P的轨迹一定通过△ABC的()A.重心B.垂心C.外心D.内心解：设BC的中点为D，则2OBOCOD，则由已知得()||cos||cosABACDPABBACC，∴()||cos||cosABBCACBCDPBCABBACC=||||cos()||||cos()||cos||cosABBCBACBCCABBACC=(||||)BCBC=0.∴DP⊥BC，P点在BC的垂直平分线上，故动点P的轨迹通过△ABC的外心.选C.qq:253177084题6：三个不共线的向量,,OAOBOC满足()||||ABCAOAABCA=(||BAOBBA+||CBCB)=()||||BCCAOCBCCA=0，则O点是△ABC的()A.垂心B.重心C.内心D.外心解：||||ABCAABCA表示与△ABC中∠A的外角平分线共线的向量，由()||||ABCAOAABCA=0知OA垂直∠A的外角平分线，因而OA是∠A的平分线，同理，OB和OC分别是∠B和∠C的平分线，故选C.题7：已知A、B、C是平面上不共线的三点，O为△ABC的外心，动点P满足1[(1)(1)(12)]3OPOAOBOC(,0)R，则P的轨迹一定通过△ABC的()A.内心B.垂心C.重心D.AB边的中点解：CPOPOC=1[(1)(1)2(1)]3OAOBOC=1[()()]3OAOCOBOC=1()3CACB,由平行四边形法则知CACB必过AB边的中点，注意到0，所以P的轨迹在AB边的中线上，但不与重心重合，故选D.题8：已知O是△ABC所在平面上的一点，若OAOBOC=0,则O点是△ABC的()A.外心B.内心C.重心D.垂心解：若OAOBOC=0,则OAOBOC，以OA、OB为邻边作平行四边形OAC1B，设OC1与AB交于点D，则D为AB的中点，有1OAOBOC，得1OCOC，即C、O、D、C1四点共线，同理AE、BF亦为△ABC的中线，所以O是△ABC的重心.选C.qq:253177084题9：已知O是△ABC所在平面上的一点，若1()3POPAPBPC(其中P为平面上任意一点),则O点是△ABC的()A.外心B.内心C.重心D.垂心解：由已知得3POOAOPOBOPOCOP，∴33POOPOAOBOC，即OAOBOC=0，由上题的结论知O点是△ABC的重心.故选C.题10：已知O是△ABC所在平面上的一点，若OAOBOBOCOCOA，则O点是△ABC的()A.外心B.内心C.重心D.垂心解：由OAOBOBOC，则0OAOBOBOC，即()0OBOAOC，得0OBCA，所以OBCA.同理可证OCAB，OABC.∴O是△ABC的垂心.选D.题11：已知O为△ABC所在平面内一点，满足2222||||||||OABCOBCA=22||||OCAB，则O点是△ABC的()A.垂心B.重心C.内心D.外心解：由已知得2222||||||||OAOBCABC()()OAOBOAOB=(CA)()BCCABC()BAOAOB=()CACBBA()BAOAOBACBC=02BAOC=0，∴OC⊥BA.同理OACB，OBAC.故选A.题12：已知O是△ABC所在平面上的一点，若()OAOBAB=()OBOCBC=()OCOACA=0，则O点是△ABC的()A.外心B.内心C.重心D.垂心解：由已知得：()()OAOBOBOA=()()OBOCOCOB=()()OCOAOAOC=02222OBOAOCOB=22OAOC=0qq:253177084||||||OAOBOC.所以O点是△ABC的外心.选A.题13：已知O是△ABC所在平面上的一点，若aOAbOBcOC=0，则O点是△ABC的()A.外心B.内心C.重心D.垂心解：∵OBOAAB，OCOAAC，则()abcOAbABcAC=0，得()||||bcABACAOabcABAC.因为||ABAB与||ACAC分别为AB和AC方向上的单位向量，设||||ABACAPABAC，则AP平分∠BAC.又AO、AP共线，知AO平分∠BAC.同理可证BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，所以O点是△ABC的内心.题14：已知O是△ABC所在平面上的一点，若aPAbPBcPCPOabc(其中P是△ABC所在平面内任意一点)，则O点是△ABC的()A.外心B.内心C.重心D.垂心解：由已知得bPBcPCcPAbPAPOPAabc=bABcACPAabc，∴bABcACAOabc=()bcABACabccb=()||||bcABACabcABAC，由上题结论知O点是△ABC的内心.故选B.题15：设O为△ABC的外心，G为△ABC的重心，求证：1()3OGOAOBOC.证明：根据题9中P点的任意性即可证得.证明略.题16：设O为△ABC的外心，H为△ABC的垂心，则OHOAOBOC.证明：在△ABC的外接圆O中作直径BD，连接AD、DC，则有：OBOD,AD⊥AB,DC⊥BC,又H是垂心，则AH⊥BC,CH⊥AB,∴CH∥AD,AH∥DC,于是AHCD是平行四边形，∴AHDC.∴OHOAAHOADCOAOCODOAOBOC.ABCOHDqq:253177084练习1：△ABC的外接圆的圆心为O，两边上的高的交点为H，OH=()mOAOBOC，则实数m=____________.解1：由上题结论知m=1.解2：∵O为△ABC的外接圆的圆心，所以()OBOCBC，又H为三角形的垂心，则AHBC，故AH∥()OBOC，设()AHOBOC.则OHOAAHOAOBOC，又OH=()mOAOBOC，所以m=1.练习2：△ABC中，AB=1,BC=6,CA=2,△ABC的外接圆的圆心为O，若AOABAC，求实数,的值.解：BCACAB，两边平方得12ABAC.分别取AB、AC的中点M、N，连接OM、ON.则OMAMAO=1()2ABABAC=1()2ABAC.又O为△ABC的外接圆的圆心，则OMAB=0，即有1022.同理有ONAC=0，得2402.解得45，35.二、与三角形形状相关的向量问题题17：已知非零向量AB与AC满足()||||ABACBCABAC=0且12||||ABACABAC，则△ABC为()A.三边均不相等的三角形B.直角三角形C.等腰非等边三角形D.等边三角形解：由()||||ABACBCABAC=0，知角A的平分线垂直于BC，故△ABC为等腰三角形，即|AB|=|AC|；由12||||ABACABAC1cos2||||ABACAABAC，∴A=600.所以△ABC为等边三角形，选D.题18：已知O为△ABC所在平面内一点，满足|||2|OBOCOBOCOA，则△ABC一定是()A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形qq:253177084解：由已知得||||CBOBOAOCOA||||ABACABAC，可知以AB与AC为邻边的平行四边形是矩形，所以AB⊥AC，选B.题19：已知△ABC，若对任意tR，||BAtBC≥||AC，则△ABC()A.必为锐角三角形B.必为钝角三角形C.必为直角三角形D.答案不确定解法1：∵CABABC，∴||||||CAACBABC，∴||BAtBC≥||BABC……①①式右边表示A、C两点之间的距离，记tBCBP，则①式左边表示直线BC外一点A与直线BC上动点P之间的距离，由||PA≥||CA恒成立知，A在直线BC上的射影就是C点，所以AC⊥BC，故选C.解法2：令ABC，过点A作AD⊥BC于点D,由||BAtBC≥||AC，得222||2||BAtBABCtBC≥2||AC，令f(t)=222||2||BAtBABCtBC，则f(t)≥2||AC恒成立，只要f(t)的最小值大于或等于2||AC，而当t=2||BABCBC时，f(t)取最小值，此时：22222||2||coscos||BABABA≥2||AC，即22||sinBA≥2||AC，∴||sinBA≥||AC，从而有|AD|≥|AC|,∴2ACB,故选C.题20：已知a,b,c分别为△ABC中∠A,∠B,∠C的对边，G为△ABC的重心，且aGAbGBcGC=0,则△ABC为()A.等腰