概率论与数理统计第七章课后习题及参考答案

1概率论与数理统计第七章课后习题及参考答案1．设X服从两点分布),1(pB，1X，2X，…，nX是来自该总体的一个样本，求未知参数p的矩估计量．解：pXEX)(，即未知参数p的矩估计量为Xpˆ．2．在一批零件中随机抽取8个，测得长度如下(单位：mm)001.53，003.53，001.53，005.53，000.53，998.52，002.53，006.53设零件长度测定值服从正态分布．求均值，方差2的矩估计值，并用矩估计法估计零件长度小于004.53的概率．解：由于Xˆ，niiXXn122)(1ˆ，故均值，方差2的矩估计值分别为002.5381ˆ81iixx，000006.0)(81ˆ8122iixx，可知零件长度X～)000006.0,002.53(N，故7939.0)82.0()000006.0002.53004.53()004.53(XP．3．设总体X的概率密度为其他．,0,,)()1(cxxcxf其中0c为已知，1，为未知参数，1X，2X，…，nX为总体的一个样本，1x，2x，…，nx为一组相应的样本观测值，求未知参数的矩估计量和估计值．解：xxxfXEd),()(cxxcxd)1(1dcxxcc，令XXE)(，即1cX，得的矩估计量为2cXXˆ．从而的矩估计量值为cxxˆ．4．设总体X的概率密度为其他．,0,,)(6)(3cxxxxf1X，2X，…，nX是来自总体X的一个样本．(1)求的矩估计量ˆ；(2)ˆ是的无偏估计吗？(3)求的方差)ˆ(D．解：xxxfXEd),()(2d)(6032xxx，(1)令XXE)(，即2X，由此得的矩估计量为X2ˆ．(2)22)(2)(2)2()ˆ(XEXEXEE，故ˆ是的无偏估计．(3)xxfxXEd),()(222033103d)(6xxx，从而222201)]([)()(XEXEXD．由此得nnXDnXDXDD52014)(4)(4)2()ˆ(22．5．设总体X的概率密度为其他．,0,10,)1(),(xxxf其中1是未知参数，1X，2X，…，nX是来自X的一个样本．试求参数3的矩估计和极大似然估计．现有样本观测值1.0，2.0，9.0，8.0，7.0及7.0，求参数的矩估计值和极大似然估计值．解：xxxfXEd),()(21d)1(10xxx，令XXE)(，即21X，解得的矩估计量为XX112ˆ．似然函数为)()1(),,,,(2121nnnxxxxxxL，10ix，1，对数似然函数为)ln()1ln(ln21nxxxnL，令0ln1dlnd1niixnL，解得1lnˆ1niixn，从而的极大似然估计量为1lnˆ1niiXn．代入观测值，得到的矩估计值和极大似然估计值分别为134112ˆxx，2112.012112.11lnˆ1niixn．6．设1x，2x，…，nx是总体X的一组样本观测值．设X的概率密度为.,0,,e),()(xxxfx其中，未知．证明：的极大似然估计值为}{minˆ1inix．证：似然函数为4})(exp{),,,,(121niinxxxxL，ix，0})(exp{dd1niixnL，所以)(L是的单调增函数，从而对满足条件ix的任意，有}}){min(exp{})(exp{)(111niiniiniixxxL，即)(L在}{min1inix时取最大值，故的极大似然估计值为}{minˆ1inix．7．(1)设总体X具有分布律X123P2)1(22)1(其中，(10)为未知数．已知取得了样本值11x，22x，13x，求的矩估计值和最大似然估计值．(2)设1X，2X，…，nX是来自参数为的泊松分布总体的一个样本，试求的矩估计量和极大似然估计量．解：(1)因为23)1(3)1(221)(22XE，令23X，解得)3(21ˆX，从而的矩估计值为65)343(21ˆ．样本的似然函数为)1(2)1(2),,,(522321xxxL，令0)65(2dd4L，解得65，又因为0108635)32(20dd6536522L，5故65是)(L的极大值点，也是最大值点，则的极大似然估计值为65ˆ．(2)参数为的泊松分布的分布律为e!),(xxfx，,2,1,0x，)(XE，令X，解得的矩估计量为Xˆ．样本的似然函数为nnxnxxxxxxLniie!!!),,,,(21211，对数似然函数为nxxxxLnnii)!!!ln(lnln211，令01dlnd1nxLnii，解得niixn11，则的极大似然估计量为XXnnii11ˆ．8．设总体X的概率密度为.,0,,5e),()(5xxxfx1X，2X，…，nX是取自总体X的样本，试求参数的极大似然估计．解：ix时，样本的似然函数为})(5exp{5)(1niinxL，niixnL1)(55ln)(ln，6因为05dlndnL，所以)(lnL是的单调增函数，又因为ix，ni,,2,1，故当}{min1inix时)(lnL达到最大值．由此得的极大似然估计值为}{minˆ1inix，则其极大似然估计量为}{minˆ1iniX．9．设总体X服从对数正态分布，其概率密度为.0,0,0,e121),,(22)(ln212xxxxfx其中，0为未知参数，1X，2X，…，nX是取自该总体的一个样本，求参数，2的极大似然估计．解：ix时，似然函数为})(ln21exp{1)2(1),(122212niinnxxxxL，niinxxxxnnL1222122)(ln21)ln(ln22ln2),(ln，令0)(ln)(121ln22ln2ln0)(ln22ln12222212niiniixnnLxL解得，2的极大似然估计值为niixn1ln1ˆ，niixn122)ˆ(ln1ˆ，则其极大似然估计值量为niiXn1ln1ˆ，niiXn122)ˆ(ln1ˆ．10．设总体X的概率密度为.0,0,0,e1),(xxxfx7从该总体中抽取样本1X，2X，3X，考虑的如下4中估计：11ˆX；)(21ˆ212XX；)2(31ˆ3213XXX；)(31ˆ3214XXX．(1)这4个估计中，哪些是的无偏估计？(2)试比较这些估计方差．解：由题可知X～)1(E，则)(XE，2)(XD，从而有)ˆ(1E，)ˆ(2E，34)ˆ(3E，)ˆ(4E，21)ˆ(D，2221)ˆ(D，2332)ˆ(D，2431)ˆ(D．(1)由上可知1ˆ，2ˆ，4ˆ是的无偏估计，3ˆ不是的无偏估计．(2)由上可知)ˆ()ˆ()ˆ()ˆ(1324DDDD．11．(1)设ˆ是参数的无偏估计，且有0)ˆ(D，试证2)ˆ(不是2的无偏估计．(2)试证明均匀分布.,0,0,1),(其他xxf中未知参数的最大似然估计量不是无偏的．证：(1)由题可知，)ˆ(E，0)]ˆ([)ˆ()ˆ(22EED，所以)ˆ()]ˆ([)ˆ()ˆ(222DEDE，故2)ˆ(不是2的无偏估计．(2)易得iniX1maxˆ，ˆ的密度函数为.,0,0,1)()(1其他xxnxpn8则1d1d)()ˆ(011nnxxxnxxxpEnn，可知的最大似然估计量不是无偏的．12．设从均值为，方差为02的总体中，分别抽取容量为1n，2n的两独立样本．1X和2X分别是两样本的样本均值．试证对于任意常数a，b(1ba)，21XbXaY都是的无偏估计，并确定常数a，b使)(YD达到最小．证：因为)(XE，所以)(1XE，)(2XE，有)()()()(21baXbEXaEYE，即对于任意常数a，b(1ba)，21XbXaY都是的无偏估计．又2222122212)()()(bnanXDbXDaYD，记)(),(YDbaf，构造拉格朗日函数)1()(),,(22122banbnabaL，令0102022212baLbnbLanaL解得211nnna，212nnnb，即当211nnna，212nnnb时，)(YD最小．13．设1X，2X，…，nX是来自X的一个样本，)(XE，2)(XD．(1)确定常数c，使1121)(niiiXXc为2的无偏估计；9(2)确定常数c，使22cSX是2的无偏估计(X，2S是样本均值和样本方差)．解：(1)由题可知)(iXE，2)(iXD，222)(iXE，ni,,2,1，可得])([121niiiXXE])2([12121niiiiiXXXXEniiiiiXEXEXEXE11221)]()(2)()([2122222)1(2)2(nni，取)1(21nc，可使1121)(niiiXXc为2的无偏估计．(2)令2222222)]([)()()()(cXEXDScEXEcSXE22222)1(1cncn，取nc1即可．14．设总体X的均值为，方差为2，从总体中抽取样本1X，2X，3X，证明下列统计量：632ˆ3211XXX，442ˆ3212XXX，333ˆ3213XXX，都是总体均值)(XE的无偏估计量，并确定哪个估计量更有效．证：因为)(iXE，2)(iXD，ni,,2,1，所以613121)632()ˆ(3211XXXEE，414121)442()ˆ(3212XXXEE，313131)333()ˆ(3213XXXEE，故1ˆ，2ˆ，3ˆ都是的无偏估计量．又因为10222232111273619141)632()ˆ(XXXDD，262232128316116141)442()ˆ(XXXDD，2222321331919191)333()ˆ(XXXDD，故)ˆ()ˆ()ˆ(123DDD，即3ˆ最具有效性．15．设有k台仪器，已知用第i台仪器测量时，测定值总体的标准