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第1页，共11页选修3-1计算题一、计算题1.如图所示，BC是半径为R的14圆弧形的光滑且绝缘的轨道，位于竖直平面内，其下端与水平绝缘轨道平滑连接，整个轨道处在水平向左的匀强电场中，电场强度为𝐸，𝑃为一质量为m，带正电q的小滑块(体积很小可视为质点)，重力加速度为g．(1)若小滑块P能在圆弧轨道上某处静止，求其静止时所受轨道的支持力的大小．(2)若将小滑块P从C点由静止释放，滑到水平轨道上的A点时速度减为零，已知滑块与水平轨道间的动摩擦因数为𝜇求：①滑块通过圆弧轨道末端B点时的速度大小以及所受轨道的支持力大小②水平轨道上A、B两点之间的距离．2.在电场强度为𝐸=104𝑁/𝐶，方向水平向右的匀强电场中，用一根长𝐿=1𝑚的绝缘轻细杆，固定一个带正电𝑞=5×10−6𝐶的小球，细杆可绕轴O在竖直平面内自由转动.如图所示，现将杆从水平位置A轻轻释放，在小球运动到最低点B的过程中，(取𝑔=10𝑚/𝑠2)求：(1)𝐴、B两位置的电势差多少？(2)电场力对小球做功多少？(3)小球的电势能变化了多少？第2页，共11页3.如图所示为一真空示波管的示意图，电子从灯丝K发出(初速度可忽略不计)，经灯丝与A板间的电压𝑈1加速，从A板中心孔沿中心线KO射出，然后进入两块平行金属板M、N形成的偏转电场中(偏转电场可视为匀强电场)，电子进入M、N间电场时的速度与电场方向垂直，电子经过偏转电场后打在荧光屏上的P点.已知M、N两板间的电压为𝑈2，两板间的距离为d，板长为L，电子的质量为m，电荷量为e，不计电子受到的重力及它们之间的相互作用力．(1)求电子穿过A板时速度的大小𝑣0；(2)求电子从偏转电场射出时的侧移量y；(3)若要使电子打在荧光屏上P点的上方，应使M、N两板间的电压𝑈2增大还是减小？4.回旋加速器是用来加速带电粒子的装置，如图所示.它的核心部分是两个D形金属盒，两盒相距很近(缝隙的宽度远小于盒半径)，分别和高频交流电源相连接，使带电粒子每通过缝隙时恰好在最大电压下被加速.两盒放在匀强磁场中，磁场方向垂直于盒面，带电粒子在磁场中做圆周运动，粒子通过两盒的缝隙时反复被加速，直到最大圆周半径时通过特殊装置被引出.若D形盒半径为R，所加磁场的磁感应强度为𝐵.设两D形盒之间所加的交流电压的最大值为U，被加速的粒子为𝛼粒子，其质量为m、电量为𝑞.𝛼粒子从D形盒中央开始被加速(初动能可以忽略)，经若干次加速后，𝛼粒子从D形盒边缘被引出.求：(1)𝛼粒子被加速后获得的最大动能𝐸𝑘；(2)𝛼粒子在第n次加速后进入一个D形盒中的回旋半径与紧接着第𝑛+1次加速后进入另一个D形盒后的回旋半径之比；(3)𝛼粒子在回旋加速器中运动的时间；(4)若使用此回旋加速器加速氘核，要想使氘核获得与𝛼粒子相同的动能，请你通过分析，提出一个简单可行的办法．第3页，共11页5.有一种“双聚焦分析器”质谱仪，工作原理如图所示.其中加速电场的电压为U，静电分析器中有会聚电场，即与圆心𝑂1等距的各点电场强度大小相同，方向沿径向指向圆心𝑂1.磁分析器中以𝑂2为圆心、圆心角为90∘的扇形区域内，分布着方向垂直于纸面的匀强磁场，其左边界与静电分析器的右边界平行.由离子源发出一个质量为m、电荷量为q的正离子(初速度为零，重力不计)，经加速电场加速后，从M点沿垂直于该点的场强方向进入静电分析器，在静电分析器中，离子沿半径为R的四分之一圆弧轨道做匀速圆周运动，并从N点射出静电分析器.而后离子由P点垂直于磁分析器的左边界且垂直于磁场方向射入磁分析器中，最后离子垂直于磁分析器下边界从Q点射出，并进入收集器.测量出Q点与圆心𝑂2的距离为𝑑.位于Q点正下方的收集器入口离Q点的距离为0.5𝑑.(题中的U、m、q、R、d都为已知量)(1)求静电分析器中离子运动轨迹处电场强度E的大小；(2)求磁分析器中磁场的磁感应强度B的大小和方向；(3)现将离子换成质量为4m，电荷量仍为q的另一种正离子，其它条件不变.磁分析器空间足够大，离子不会从圆弧边界射出，收集器的位置可以沿水平方向左右移动，要使此时射出磁分析器的离子仍能进入收集器，求收集器水平移动的距离．6.质谱仪是测量带电粒子的质量和分析同位素的重要工具.如图所示为质谱仪的原理示意图.现利用这种质谱议对某电荷进行测量.电荷的带电量为q，质量为m，电荷从容器A下方的小孔S，无初速度飘入电势差为U的加速电场.加速后垂直进入磁感强度为B的匀强磁场中，然后从D点穿出，从而被接收器接受.问：(1)电荷的电性；(2)𝑆𝐷的水平距离为多少．第4页，共11页7.质谱仪是一种精密仪器，是测量带电粒子的质量和分析同位素的重要工具.图中所示的质谱仪是由加速电场和偏转磁场组成.带电粒子从容器A下方的小孔𝑆1飘入电势差为U的加速电场，其初速度几乎为0，然后经过𝑆3沿着与磁场垂直的方向进入磁感应强度为B的匀强磁场中，最后打到照相底片D上.不计粒子重力．(1)若由容器A进入电场的是质量为m、电荷量为q的粒子，求：𝑎.粒子进入磁场时的速度大小v；𝑏.粒子在磁场中运动的轨道半径𝑅.(2)若由容器A进入电场的是互为同位素的两种原子核𝑃1、𝑃2，由底片上获知𝑃1、𝑃2在磁场中运动轨迹的直径之比是√2：1.求𝑃1、𝑃2的质量之比𝑚1：𝑚2．8.质谱仪是一种测定带电粒子质量和分析同位素的重要工具，它的构造原理如图所示.离子源S产生的各种不同正离子束(速度可看作为零)，经加速电场(加速电场极板间的距离为d、电势差为𝑈)加速，然后垂直进入磁感应强度为B的有界匀强磁场中做匀速圆周运动，最后到达记录它的照相底片P上.设离子在P上的位置与入口处𝑆1之间的距离为x．(1)求该离子的荷质比𝑞𝑚；(2)若离子源产生的是带电量为q、质量为𝑚1和𝑚2的同位素离子(𝑚1𝑚2)，它们分别到达照相底片上的𝑃1、𝑃2位置(图中末画出)，求𝑃1、𝑃2间的距离△𝑥．第5页，共11页9.如图所示，两平行金属导轨所在的平面与水平面夹角𝜃=37∘，导轨的一端接有电动势𝐸=3𝑉、内阻𝑟=0.5𝛺的直流电源，导轨间的距离𝐿=0.4𝑚.在导轨所在空间内分布着磁感应强度𝐵=0.5𝑇、方向垂直于导轨所在平面向上的匀强磁场.现把一个质量𝑚=0.04𝑘𝑔的导体棒ab放在金属导轨上，导体棒与金属导轨垂直、且接触良好，导体棒的电阻𝑅=1.0𝛺，导体棒恰好能静止.金属导轨电阻不计.(𝑔取10𝑚/𝑠2，sin37∘=0.6，cos37∘=0.8)求：(1)𝑎𝑏受到的安培力大小；(2)𝑎𝑏受到的摩擦力大小．10.如图所示，PQ和MN为水平平行放置的金属导轨，相距1m，导体棒ab跨放在导轨上，棒的质量为𝑚=0.2𝑘𝑔，棒的中点用细绳经滑轮与物体相连，物体的质量𝑀=0.3𝑘𝑔，棒与导轨的动摩擦因数为𝜇=0.5，匀强磁场的磁感应强度𝐵=2𝑇，方向竖直向下，为了使物体以加速度𝑎=3𝑚/𝑠2加速上升，应在棒中通入多大的电流？方向如何？(𝑔=10𝑚/𝑠2)11.如图回旋加速器D形盒的半径为r，匀强磁场的磁感应强度为𝐵.一个质量了m、电荷量为q的粒子在加速器的中央从速度为零开始加速．(1)求该回旋加速器所加交变电场的频率；(2)求粒子离开回旋加速器时获得的动能；(3)设两D形盒间的加速电压为U，质子每次经电场加速后能量增加，加速到上述能量所需时间(不计在电场中的加速时间)．第6页，共11页答案和解析【答案】1.解：(1)受力如图，滑块在某点受重力、支持力、电场力平衡，有：𝐹=√𝑚2𝑔2+𝑞2𝐸2，由牛顿第三定律得：𝐹𝑁=𝐹=√𝑚2𝑔2+𝑞2𝐸2(2)①小滑块从C到B的过程中，设滑块通过B点时的速度为𝑣𝐵，由动能定理得：𝑚𝑔𝑅−𝑞𝐸𝑅=12𝑚𝑣𝐵2代入数据解得：𝑣𝐵=√2(𝑚𝑔−𝑞𝐸)𝑅𝑚通过B前，滑块还是做圆周运动，由牛顿第二定律得：𝐹支−𝑚𝑔=𝑚𝑚𝐵2𝑅，由牛顿第三定律得：𝐹压=𝐹支代入数据解得：𝐹压=3𝑚𝑔−2𝑞𝐸(3)令A、B之间的距离为𝐿𝐴𝐵，小滑块从C经B到A的过程中，由动能定理得：𝑚𝑔𝑅−𝑞𝐸(𝑅+𝐿𝐴𝐵)−𝜇𝑚𝑔𝐿𝐴𝐵=0解得：𝐿𝐴𝐵=𝑚𝑔−𝑞𝐸𝜇𝑚𝑔+𝑞𝐸𝑅答：(1)滑块通过B点时的速度大小为√𝑚2𝑔2+𝑞2𝐸2；(2)滑块通过B点前瞬间对轨道的压力3𝑚𝑔−2𝑞𝐸；(3)水平轨道上A、B两点之间的距离𝑚𝑔−𝑞𝐸𝜇𝑚𝑔+𝑞𝐸𝑅．2.解：(1)𝐴𝐵之间沿电场方向的距离为L，则两点之间的电势差：𝑈=𝐸𝐿=104×1=10000𝑉(2)电场力做功：𝑊=𝑞𝑈=5×10−6×104=0.05𝐽(3)电场力做正功，小球的电势能减小，减小为0.05𝐽答：(1)𝐴、B两位置的电势差是10000v(2)电场力对小球做功0.05𝐽；(3)小球的电势能减小0.05𝐽．3.(1)设电子经电压𝑈1加速后的速度为𝑣0，由动能定理有：𝑒𝑈1=12𝑚𝑣02−0解得：𝑣0=√2𝑒𝑈1𝑚．(2)电子以速度𝑣0进入偏转电场后，垂直于电场方向做匀速直线运动，沿电场方向做初速度为零的匀加速直线运动.设偏转电场的电场强度为E，电子在偏转电场中运动的时间为t，加速度为a，电子离开偏转电场时的侧移量为𝑦.由牛顿第二定律和运动学公式有：𝑡=𝐿𝑣0𝐹=𝑚𝑎，𝐹=𝑒𝐸，𝐸=𝑈2𝑑𝑎=𝑒𝑈2𝑚𝑑𝑦=12𝑎𝑡2第7页，共11页解得：𝑦=𝑈2𝐿24𝑈1𝑑．(3)由𝑦=𝑈2𝐿24𝑈1𝑑知，增大偏转电压𝑈2可增大y值，从而使电子打到屏上的位置在P点上方．答：(1)电子穿过A板时速度的大小为√2𝑒𝑈1𝑚．(2)电子从偏转电场射出时的侧移量为𝑈2𝐿24𝑈1𝑑．(3)要使电子打在荧光屏上P点的上方，应使M、N两板间的电压𝑈2增大．4.解：(1)𝛼粒子在D形盒内做圆周运动，轨道半径达到最大时被引出，具有最大动能.设此时的速度为v，有𝑞𝑣𝐵=𝑚𝑣2𝑅可得𝑣=𝑞𝐵𝑅𝑚𝛼粒子的最大动能𝐸𝑘=12𝑚𝑣2=𝑞2𝐵2𝑅22𝑚(2)𝛼粒子被加速一次所获得的能量为𝑞𝑈，𝛼粒子被第n次和𝑛+1次加速后的动能分别为𝐸𝐾𝑛=12𝑚𝑣𝑛2=𝑞2𝐵2𝑅𝑛22𝑚=𝑛𝑞𝑈𝐸𝐾𝑛+1=12𝑚𝑣𝑛+12=𝑞2𝐵2𝑅𝑛+122𝑚=(𝑛+1)𝑞𝑈可得𝑅𝑛𝑅𝑛+1=√𝑛𝑛+1(3)设𝛼粒子被电场加速的总次数为a，则𝐸𝑘=𝑎𝑞𝑈=𝑞2𝐵2𝑅22𝑚可得𝑎=𝑞𝐵2𝑅22𝑚𝑈𝛼粒子在加速器中运动的时间是𝛼粒子在D形盒中旋转a个半圆周的总时间t．𝑡=𝑎𝑇2𝑇=2𝜋𝑚𝑞𝐵解得𝑡=𝜋𝐵𝑅22𝑈(4)加速器加速带电粒子的能量为𝐸𝑘=12𝑚𝑣2=𝑞2𝐵2𝑅22𝑚，由𝛼粒子换成氘核，有𝑞2𝐵2𝑅22𝑚=(𝑞2)2𝐵12𝑅22(𝑚2)，则𝐵1=√2𝐵，即磁感应强度需增大为原来的√2倍；高频交流电源的周期𝑇=2𝜋𝑚𝑞𝐵，由𝛼粒子换为氘核时，交流电源的周期应为原来的√22倍.5.解：(1)设离子进入静电分析器时的速度为v，离子在加速电场中加速的过程中，由动能定理得：𝑞𝑈=12𝑚𝑣2离子在静电分析器中做匀速圆周运动，由静电力提供向心力，根据牛顿第二定律有：𝑞𝐸=𝑚𝑣2𝑅第8页，共11页联立两式，解得：𝐸=2𝑈𝑅(2)离子在磁分析器中做匀速圆周运动，由牛顿第二定律有：𝑞𝑣𝐵=𝑚𝑣2𝑟由题意可知，圆周运动的轨道半径为：𝑟=𝑑故解得：𝐵=1𝑑√2𝑚𝑈𝑞，由左手定则判断得知磁场方向垂直纸面向外．(3)设质量为4m的正离