高中数学必修4公开课课件1.1.1--任意角

第一章三角函数1.1任意角和弧度制1.1.1任意角什么是角？范围是多大？定义：有公共端点的两条射线组成的几何图形叫角.顶点边边角的范围：0°～360°初中定义跳水运动员向内、向外转体两周半，这是多大角度?经过1小时，秒针、分针各转了多少度？想想用什么办法才能推广到任意角?关键是用运动的观点来看待角的变化.上述这些例子有的角不仅不在0°～360°范围内，而且有方向,如何解决这一问题呢?有必要将角的概念及范围推广.一、任意角的概念平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形叫做角.1.角的概念的推广OAB始边终边顶点2.角的构成要素始边终边顶点ABO方向这样，我们就把角的概念推广到了任意角.正角：按逆时针方向旋转形成的角负角：按顺时针方向旋转形成的角零角：一条射线没有作任何旋转形成的角任意角规定：oy二、象限角x思考1：为了进一步研究角的需要，我们常在直角坐标系内讨论角，并使角的顶点与原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合，那么对一个任意角，角的终边可能落在哪些位置？思考2:如果角的终边在第几象限，我们就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限，或称这个角为轴线角.那么下列各角：-50°，405°，210°,-200°，-450°分别是第几象限角？-50°xyOxyO210°-450°xyO405°xyO-200°xyO第四象限角第一象限角第三象限角第二象限角轴线角思考3：锐角与第一象限角是什么关系？钝角与第二象限角是什么关系？直角与轴线角是什么关系？锐角一定是第一象限角，第一象限角不一定是锐角.钝角一定是第二象限角，第二象限角不一定是钝角.直角一定是轴线角，轴线角不一定是直角.思考4：第二象限角一定比第一象限角大吗？象限角只能反映角的终边所在象限，不能反映角的大小.三、终边相同的角思考1：-32°，328°，-392°是第几象限角？这些角有什么内在联系？－32°-392°xyo328°思考2：所有与-32°角终边相同的角，连同-32°角在内，可构成一个集合S，你能用描述法表示集合S吗？ooS=ββ=-32+k360,kZ思考3：一般地，所有与角α终边相同的角，连同角α在内所构成的集合S可以怎样表示？S={β|β=α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和.终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同，终边相同的角有无数多个，它们相差360°的整数倍例1.在0°～360°范围内，找出与-950°12′角终边相同的角，并判定它是第几象限角.关键是通过加减360°的整数倍，在0°～360°范围内找到终边相同的角.,思考4：终边在x轴正半轴、负半轴，y轴正半轴、负半轴上的角分别如何表示？终边在x轴正半轴：α=k·360°，k∈Z；终边在x轴负半轴：α=180°＋k·360°，k∈Z；终边在y轴正半轴：α=90°＋k·360°，k∈Z；终边在y轴负半轴：α=270°＋k·360°，k∈Z.例2.写出终边在y轴上的角的集合.解：在0°～360°范围内，终边在y轴上的角有两个，即90°，270°角（图1.1-6）.因此，所有与90°角终边相同的角构成集合S1={β|β=90°+k·360°，k∈Z},而所有与270°角终边相同的角构成集合S2={β|β=270°+k·360°，k∈Z},（图1.1-6）于是，终边在y轴上的角的集合S=S1∪S2={β|β=90°+2k·180°，k∈Z}∪{β|β=90°+180°+2k·180°，k∈Z}={β|β=90°+2k·180°，k∈Z}∪{β|β=90°+（2k+1）180°，k∈Z}={β|β=90°+n·180°，n∈Z}.例3.写出终边在直线y=x上的角的集合S，并把S中适合不等式-360°≤β＜720°的元素β写出来.解：如图1.1-7，在直角坐标系中画出直线y=x,可以发现它与x轴的夹角是45°,在0°～360°范围内，终边在直线y=x上的角有两个：45°,225°.图1.1-7因此，终边在直线y=x上的角的集合S={β|β=45°+k·360°,k∈Z}∪{β|β=225°+k·360°,k∈Z}={β|β=45°+k·180°,k∈Z}S中适合不等式-360°≤β720°的元素是45°-2×180°=-315°,45°-1×180°=-135°,45°+0×180°=45°,45°+1×180°=225°,45°+2×180°=405°,45°+3×180°=585°.思考是如何变换的？S={β|β=45°+2k·180°,k∈Z}∪{β|β=45°+(2k+1)·180°,k∈Z}={β|β=45°+k·180°,k∈Z}1.下列说法正确的是（）A.终边相同的角一定相等B.第一象限角都是锐角C.锐角都是第一象限角D.小于90°的角都是锐角2.A=｛小于90°的角｝，B=｛第一象限角｝，则A∩B=（）A.｛锐角｝B.｛小于90°的角｝C.｛第一象限角｝D.以上都不对CD3.(2012·济南高一检测)已知角α是第三象限角,则角-α的终边在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限B4.已知角α的终边在下图中阴影所表示的范围内（不包括边界），那么α∈___________________________________________.xyOθ{k180180gk180,kZ}g1.角的概念推广后，角的大小可以任意取值.把角放在直角坐标系中进行研究，对于一个给定的角，都有唯一的一条终边与之对应，并使得角具有代数和几何双重意义.2.终边相同的角有无数个，在0°～360°范围内与已知角β终边相同的角有且只有一个.