七下第九章整式乘法与因式分解知识点归纳小结

11七下第九章整式乘法与因式分解知识点归纳小结知识点归纳：一、幂的运算：1、同底数幂的乘法法则：nmnmaaa（nm,都是正整数）同底数幂相乘，底数不变，指数相加。注意底数可以是多项式或单项式。如：532)()()(bababa2、幂的乘方法则：mnnmaa)(（nm,都是正整数）幂的乘方，底数不变，指数相乘。如：10253)3(幂的乘方法则可以逆用：即mnnmmnaaa)()(如：23326)4()4(43、积的乘方法则：nnnbaab)(（n是正整数）。积的乘方，等于各因数乘方的积。如：（523)2zyx=5101555253532)()()2(zyxzyx4、同底数幂的除法法则：nmnmaaa（nma,,0都是正整数，且)nm同底数幂相除，底数不变，指数相减。如：3334)()()(baababab5、多项式按字母的升（降）幂排列：1223223yxyyxx按x的升幂排列：按x的降幂排列：按y的升幂排列：按y的降幂排列：例.已知x2＋x－1＝0，求x3＋2x2＋3的值．二、单项式、多项式的乘法运算：6、单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。如：xyzyx3232)2()3(22xyxy=?2232)()(baba=?7、单项式乘以多项式，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，即mcmbmacbam)((cbam,,,都是单项式)。如：)(3)32(2yxyyxx=。8、多项式与多项式相乘，用多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所的的积相加。9、合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项.例如：_______3aa；________22aa；________8253baba22__________________210242333222xxyxyxxyxyyx10、平方差公式：22))((bababa注意平方差公式展开只有两项公式特征：左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数。右边是相同项的平方减去相反项的平方。选如：))((zyxzyx=11、完全平方公式：2222)(bababa完全平方公式的口诀：首平方+尾平方，首尾2倍在中央，符号跟着2倍走,系数计算不能忘。例如：____________522ba；_______________32yx例（1）,21xx求221xx的值。（2）,16)(2yx4)(2＝yx，求xy的值。公式的变形使用：（1）abbaabbaba2)(2)(2222；abbaba4)()(22,222)()]([)(bababa；222)()]([)(bababa,b-a=-(a-b)（2）三项式的完全平方公式：bcacabcbacba222)(2222三、因式分解的常用方法．1、提公因式法（1）会找多项式中的公因式；公因式的构成一般情况下有三部分：①系数一各项系数的最大公约数；②字母——各项含有的相同字母；③指数——相同字母的最低次数；（2）提公因式法的步骤：第一步是找出公因式；第二步是提取公因式并确定另一因式．需注意的是，提取完公因式后，另一个因式的项数与原多项式的项数一致，这一点可用来检验是否漏项．（3）注意点：①提取公因式后各因式应该是最简形式，即分解到“底”；②如果多项式的第一项的系数是负的，一般要提出“－”号，使括号内的第一项的系数是正的．2、公式法运用公式法分解因式的实质是：把整式中的乘法公式反过来使用；常用的公式：①平方差公式：a2－b2＝（a＋b)（a－b）②完全平方公式：a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2a2－2ab＋b2＝（a－b）2*在学习过程中，学会利用整体思考问题的数学思想方法和实际运用意识。如：对于任意自然数n，22)5()7(nn都能被24整除。333．若x2+2(m-3)x+16是完全平方式，则m的值等于…………………()A.3B.-5C.7.D.7或-13.配方法：分解因式2616xx说明：这种设法配成有完全平方式的方法叫做配方法，配方后将二次三项式化为两个平方式，然后用平方差公式分解．当然，本题还有其它方法，请大家试验．4.十字相乘法：（1）．2()xpqxpq型的因式分解这类式子在许多问题中经常出现，其特点是：(1)二次项系数是1；(2)常数项是两个数之积；(3)一次项系数是常数项的两个因数之和．22()()()()()xpqxpqxpxqxpqxxpqxpxpxq因此，2()()()xpqxpqxpxq运用这个公式，可以把某些二次项系数为1的二次三项式分解因式．例1.把下列各式因式分解：(1)276xx(2)21336xx说明：此例可以看出，常数项为正数时，应分解为两个同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同．例2.把下列各式因式分解：(1)2524xx(2)2215xx说明：此例可以看出，常数项为负数时，应分解为两个异号的因数，其中绝对值较大的因数与一次项系数的符号相同．例3.把下列各式因式分解：(1)226xxyy(2)222()8()12xxxx分析：(1)把226xxyy看成x的二次三项式，这时常数项是26y，一次项系数是y，把26y分解成3y与2y的积，而3(2)yyy，正好是一次项系数．(2)由换元思想，只要把2xx整体看作一个字母a，可不必写出，只当作分解二次三项式2812aa．※5．一般二次三项式2axbxc型的因式分解大家知道，2112212122112()()()axcaxcaaxacacxcc．反过来，就得到：2121221121122()()()aaxacacxccaxcaxc我们发现，二次项系数a分解成12aa，常数项c分解成12cc，把1212,,,aacc写成1122acac，44这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到1221acac，如果它正好等于2axbxc的一次项系数b，那么2axbxc就可以分解成1122()()axcaxc，其中11,ac位于上一行，22,ac位于下一行．这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法．必须注意，分解因数及十字相乘都有多种可能情况，所以往往要经过多次尝试，才能确定一个二次三项式能否用十字相乘法分解．例4.把下列各式因式分解：(1)21252xx(2)22568xxyy说明：用十字相乘法分解二次三项式很重要．当二次项系数不是1时较困难，具体分解时，为提高速度，可先对有关常数分解，交叉相乘后，若原常数为负数，用减法”凑”，看是否符合一次项系数，否则用加法”凑”，先”凑”绝对值，然后调整，添加正、负号．6、分组分解法：1ababab－c＋b－aca2－2ab＋b2－c2例题:1如图，矩形花园ABCD中，AB=a，AD=b，花园中建有一条矩形道路LMQP及一条平行四边形道路RSTK，若LM=RS=c，则花园中可绿化部分的面积为（）A．2bacabbcB．acbcaba2C．2cacbcabD．ababcb222．通过计算几何图形的面积可表示一些代数恒等式，右图可表示的代数恒等式是（）A．2222——bababaB．2222bababaC．ababaa2222D．22——bababa3计算(1)－3(x2－xy)+x(－2y+2x)(2)2(3)(3)(9)xxx(3)2)1()4)(4(aaa(4)3232yxyx553．先化简，再求值：2)12()1(5)23)(23(xxxxx，其中31x4已知a2－3a＋1＝0．求aa1、221aa和21aa的值.5．若m2＋2mn＋2n2－6n＋9＝0，求m和n的值．解：∵m2＋2mn＋2n2—6n＋9＝0∴m2＋2mn＋n2＋n2－6n＋9＝0∴(m＋n)2＋(n－3)2＝0∴m＋n＝0，n－3＝0∴m＝－3，n＝36.问题(1)已知△ABC的三边长a,b,c都是正整数，且满足a2＋b2－6a－6b＋18＋3c＝0，请问△ABC是什么形状?